Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds2add | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds2add | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ + ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpa 1149 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
2 | 3simpb 1150 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
3 | zaddcl 12474 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ + ๐) โ โค) | |
4 | 3 | anim2i 618 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (๐พ โ โค โง (๐ + ๐) โ โค)) |
5 | 4 | 3impb 1116 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง (๐ + ๐) โ โค)) |
6 | zaddcl 12474 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ โค) | |
7 | 6 | adantl 483 | . 2 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (๐ฅ + ๐ฆ) โ โค) |
8 | zcn 12438 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
9 | zcn 12438 | . . . . . . . 8 โข (๐ฆ โ โค โ ๐ฆ โ โ) | |
10 | zcn 12438 | . . . . . . . 8 โข (๐พ โ โค โ ๐พ โ โ) | |
11 | adddir 11080 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ โง ๐พ โ โ) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) + (๐ฆ ยท ๐พ))) | |
12 | 8, 9, 10, 11 | syl3an 1161 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) + (๐ฆ ยท ๐พ))) |
13 | 12 | 3comr 1126 | . . . . . 6 โข ((๐พ โ โค โง ๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) + (๐ฆ ยท ๐พ))) |
14 | 13 | 3expb 1121 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โค โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) + (๐ฆ ยท ๐พ))) |
15 | oveq12 7359 | . . . . 5 โข (((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐) โ ((๐ฅ ยท ๐พ) + (๐ฆ ยท ๐พ)) = (๐ + ๐)) | |
16 | 14, 15 | sylan9eq 2798 | . . . 4 โข (((๐พ โ โค โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โง ((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐)) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = (๐ + ๐)) |
17 | 16 | ex 414 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = (๐ + ๐))) |
18 | 17 | 3ad2antl1 1186 | . 2 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐พ) = (๐ + ๐))) |
19 | 1, 2, 5, 7, 18 | dvds2lem 16086 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ + ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5104 (class class class)co 7350 โcc 10983 + caddc 10988 ยท cmul 10990 โคcz 12433 โฅ cdvds 16071 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2709 ax-sep 5255 ax-nul 5262 ax-pow 5319 ax-pr 5383 ax-un 7663 ax-resscn 11042 ax-1cn 11043 ax-icn 11044 ax-addcl 11045 ax-addrcl 11046 ax-mulcl 11047 ax-mulrcl 11048 ax-mulcom 11049 ax-addass 11050 ax-mulass 11051 ax-distr 11052 ax-i2m1 11053 ax-1ne0 11054 ax-1rid 11055 ax-rnegex 11056 ax-rrecex 11057 ax-cnre 11058 ax-pre-lttri 11059 ax-pre-lttrn 11060 ax-pre-ltadd 11061 ax-pre-mulgt0 11062 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3064 df-rex 3073 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3739 df-csb 3855 df-dif 3912 df-un 3914 df-in 3916 df-ss 3926 df-pss 3928 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4865 df-iun 4955 df-br 5105 df-opab 5167 df-mpt 5188 df-tr 5222 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6250 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6444 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7306 df-ov 7353 df-oprab 7354 df-mpo 7355 df-om 7794 df-2nd 7913 df-frecs 8180 df-wrecs 8211 df-recs 8285 df-rdg 8324 df-er 8582 df-en 8818 df-dom 8819 df-sdom 8820 df-pnf 11125 df-mnf 11126 df-xr 11127 df-ltxr 11128 df-le 11129 df-sub 11321 df-neg 11322 df-nn 12088 df-n0 12348 df-z 12434 df-dvds 16072 |
This theorem is referenced by: dvds2addd 16109 dvdssub2 16118 sumeven 16204 divalglem0 16210 pythagtriplem19 16640 4sqlem16 16767 dec2dvds 16870 lgsquadlem1 26650 congtr 41123 congadd 41124 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |