MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds2add 16107
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2add ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘)))

Proof of Theorem dvds2add
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1149 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค))
2 3simpb 1150 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 zaddcl 12474 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
43anim2i 618 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค))
543impb 1116 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค))
6 zaddcl 12474 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
76adantl 483 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
10 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
11 adddir 11080 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) + (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
128, 9, 10, 11syl3an 1161 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) + (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
13123comr 1126 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) + (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
14133expb 1121 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) + (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
15 oveq12 7359 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) + (๐‘ฆ ยท ๐พ)) = (๐‘€ + ๐‘))
1614, 15sylan9eq 2798 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘€ + ๐‘))
1716ex 414 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘€ + ๐‘)))
18173ad2antl1 1186 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘€ + ๐‘)))
191, 2, 5, 7, 18dvds2lem 16086 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dvds2addd  16109  dvdssub2  16118  sumeven  16204  divalglem0  16210  pythagtriplem19  16640  4sqlem16  16767  dec2dvds  16870  lgsquadlem1  26650  congtr  41123  congadd  41124
  Copyright terms: Public domain W3C validator