Theorem dvds2add 16207

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2add	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem dvds2add

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2		3simpb 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		zaddcl 12518	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
5	4	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
6		zaddcl 12518	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
8		zcn 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		zcn 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
10		zcn 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
11		adddir 11109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
13	12	3comr 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
14	13	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)))
15		oveq12 7361	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾) + (𝑦 · 𝐾)) = (𝑀 + 𝑁))
16	14, 15	sylan9eq 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = (𝑀 + 𝑁))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = (𝑀 + 𝑁)))
18	17	3ad2antl1 1186	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝐾) = (𝑀 + 𝑁)))
19	1, 2, 5, 7, 18	dvds2lem 16185	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11010   + caddc 11015   · cmul 11017  ℤcz 12474   ∥ cdvds 16169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-dvds 16170

This theorem is referenced by:  dvds2addd  16209  dvdssub2  16218  sumeven  16304  divalglem0  16310  pythagtriplem19  16751  4sqlem16  16878  dec2dvds  16981  lgsquadlem1  27324  congtr  43063  congadd  43064