MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdstr 16271
Description: The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdstr ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem dvdstr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1146 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค))
2 3simpc 1148 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 3simpb 1147 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 zmulcl 12642 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
54adantl 481 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
6 oveq2 7428 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€))
76adantr 480 . . . 4 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€))
8 eqeq2 2740 . . . . 5 ((๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘))
98adantl 481 . . . 4 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘))
107, 9mpbid 231 . . 3 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘)
11 zcn 12594 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12594 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
13 zcn 12594 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
14 mulass 11227 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
15 mul12 11410 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
1614, 15eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
1711, 12, 13, 16syl3an 1158 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
18173comr 1123 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
19183expb 1118 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
20193ad2antl1 1183 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
2120eqeq1d 2730 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ๐‘ โ†” (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘))
2210, 21imbitrrid 245 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ๐‘))
231, 2, 3, 5, 22dvds2lem 16246 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   ยท cmul 11144  โ„คcz 12589   โˆฅ cdvds 16231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-dvds 16232
This theorem is referenced by:  dvdstrd  16272  dvdsmultr1  16273  dvdsmultr2  16275  4dvdseven  16350  dvdsgcdb  16521  lcmgcdeq  16583  lcmdvdsb  16584  lcmftp  16607  lcmfdvdsb  16614  rpmulgcd2  16627  exprmfct  16675  rpexp  16694  pcpremul  16812  pcdvdsb  16838  pcprmpw2  16851  prmreclem3  16887  odmulg  19511  ablfac1b  20027  ablfac1eu  20030  wilth  27016  muval1  27078  dvdssqf  27083  sqff1o  27127  mpodvdsmulf1o  27139  dvdsmulf1o  27141  vmasum  27162  bposlem3  27232  lgsquad2lem1  27330  goldbachthlem2  46886
  Copyright terms: Public domain W3C validator