Theorem dvdstr 16223

Description: The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdstr	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2		3simpc 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		3simpb 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		zmulcl 12542	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
6		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
8		eqeq2 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
10	7, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁)
11		zcn 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		zcn 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14		mulass 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)))
15		mul12 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
16	14, 15	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
17	11, 12, 13, 16	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
18	17	3comr 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
19	18	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
20	19	3ad2antl1 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
21	20	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁 ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
22	10, 21	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁))
23	1, 2, 3, 5, 22	dvds2lem 16197	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   · cmul 11033  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-dvds 16182

This theorem is referenced by:  dvdstrd  16224  dvdsmultr1  16225  dvdsmultr2  16227  4dvdseven  16302  dvdsgcdb  16474  lcmgcdeq  16541  lcmdvdsb  16542  lcmftp  16565  lcmfdvdsb  16572  rpmulgcd2  16585  exprmfct  16633  rpexp  16651  pcpremul  16773  pcdvdsb  16799  pcprmpw2  16812  prmreclem3  16848  odmulg  19453  ablfac1b  19969  ablfac1eu  19972  wilth  26997  muval1  27059  dvdssqf  27064  sqff1o  27108  mpodvdsmulf1o  27120  dvdsmulf1o  27122  vmasum  27143  bposlem3  27213  lgsquad2lem1  27311  goldbachthlem2  47534