MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdstr 16242
Description: The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdstr ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem dvdstr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1145 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค))
2 3simpc 1147 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 3simpb 1146 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 zmulcl 12612 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
54adantl 481 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
6 oveq2 7412 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€))
76adantr 480 . . . 4 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€))
8 eqeq2 2738 . . . . 5 ((๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘))
98adantl 481 . . . 4 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘))
107, 9mpbid 231 . . 3 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘)
11 zcn 12564 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12564 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
13 zcn 12564 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
14 mulass 11197 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
15 mul12 11380 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
1614, 15eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
1711, 12, 13, 16syl3an 1157 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
18173comr 1122 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
19183expb 1117 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
20193ad2antl1 1182 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
2120eqeq1d 2728 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ๐‘ โ†” (๐‘ฆ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = ๐‘))
2210, 21imbitrrid 245 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ๐‘))
231, 2, 3, 5, 22dvds2lem 16217 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114  โ„คcz 12559   โˆฅ cdvds 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-dvds 16203
This theorem is referenced by:  dvdstrd  16243  dvdsmultr1  16244  dvdsmultr2  16246  4dvdseven  16321  dvdsgcdb  16492  lcmgcdeq  16554  lcmdvdsb  16555  lcmftp  16578  lcmfdvdsb  16585  rpmulgcd2  16598  exprmfct  16646  rpexp  16665  pcpremul  16783  pcdvdsb  16809  pcprmpw2  16822  prmreclem3  16858  odmulg  19474  ablfac1b  19990  ablfac1eu  19993  wilth  26954  muval1  27016  dvdssqf  27021  sqff1o  27065  mpodvdsmulf1o  27077  dvdsmulf1o  27079  vmasum  27100  bposlem3  27170  lgsquad2lem1  27268  goldbachthlem2  46767
  Copyright terms: Public domain W3C validator