MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdstr 15635
Description: The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdstr ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝑀𝑁) → 𝐾𝑁))

Proof of Theorem dvdstr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1145 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2 3simpc 1147 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 3simpb 1146 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4 zmulcl 12017 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
54adantl 485 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
6 oveq2 7146 . . . . 5 ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
76adantr 484 . . . 4 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
8 eqeq2 2836 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
98adantl 485 . . . 4 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
107, 9mpbid 235 . . 3 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁)
11 zcn 11972 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 zcn 11972 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 zcn 11972 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14 mulass 10610 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)))
15 mul12 10790 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
1614, 15eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
1711, 12, 13, 16syl3an 1157 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
18173comr 1122 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
19183expb 1117 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
20193ad2antl1 1182 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
2120eqeq1d 2826 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁 ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
2210, 21syl5ibr 249 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁))
231, 2, 3, 5, 22dvds2lem 15611 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝑀𝑁) → 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cc 10520   · cmul 10527  cz 11967  cdvds 15596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-ltxr 10665  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-dvds 15597
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  15636  dvdsmultr2  15638  4dvdseven  15711  bitsmod  15772  dvdsgcdb  15880  dvdsmulgcd  15892  gcddvdslcm  15933  lcmgcdeq  15943  lcmdvdsb  15944  lcmftp  15967  lcmfunsnlem2lem2  15970  lcmfdvdsb  15974  mulgcddvds  15986  rpmulgcd2  15987  rpdvds  15991  exprmfct  16035  isprm5  16038  rpexp  16051  phimullem  16103  pcpremul  16167  pcdvdsb  16192  pcdvdstr  16199  pcprmpw2  16205  pockthlem  16228  prmreclem3  16241  4sqlem8  16268  odmulg  18672  ablfac1b  19181  ablfac1eu  19184  znunit  20696  wilth  25645  muval1  25707  dvdssqf  25712  sqff1o  25756  fsumdvdsdiaglem  25757  dvdsmulf1o  25768  vmasum  25789  bposlem3  25859  lgsmod  25896  lgsquad2lem1  25957  2sqlem3  25993  2sqlem8  25999  dvdspw  33000  dvdstrd  39181  dvdsacongtr  39757  jm2.20nn  39770  jm2.27a  39778  jm2.27c  39780  goldbachthlem2  43905
  Copyright terms: Public domain W3C validator