Theorem dvdstr 16237

Description: The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdstr	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2		3simpc 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		3simpb 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		zmulcl 12611	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
5	4	adantl 483	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
6		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
7	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀))
8		eqeq2 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
9	8	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝑦 · 𝑀) ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
10	7, 9	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁)
11		zcn 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		zcn 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14		mulass 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)))
15		mul12 11379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
16	14, 15	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
17	11, 12, 13, 16	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
18	17	3comr 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
19	18	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
20	19	3ad2antl1 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)))
21	20	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁 ↔ (𝑦 · (𝑥 · 𝐾)) = 𝑁))
22	10, 21	imbitrrid 245	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝑀) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝐾) = 𝑁))
23	1, 2, 3, 5, 22	dvds2lem 16212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   · cmul 11115  ℤcz 12558   ∥ cdvds 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-dvds 16198

This theorem is referenced by:  dvdstrd  16238  dvdsmultr1  16239  dvdsmultr2  16241  4dvdseven  16316  dvdsgcdb  16487  lcmgcdeq  16549  lcmdvdsb  16550  lcmftp  16573  lcmfdvdsb  16580  rpmulgcd2  16593  exprmfct  16641  rpexp  16659  pcpremul  16776  pcdvdsb  16802  pcprmpw2  16815  prmreclem3  16851  odmulg  19424  ablfac1b  19940  ablfac1eu  19943  wilth  26575  muval1  26637  dvdssqf  26642  sqff1o  26686  dvdsmulf1o  26698  vmasum  26719  bposlem3  26789  lgsquad2lem1  26887  goldbachthlem2  46214