MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds2sub 16328
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2sub ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))

Proof of Theorem dvds2sub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1149 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2 3simpb 1150 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 zsubcl 12659 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
43anim2i 617 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
543impb 1115 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ))
6 zsubcl 12659 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
76adantl 481 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
8 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
10 zcn 12618 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
11 subdir 11697 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
128, 9, 10, 11syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
13123comr 1126 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
14133expb 1121 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)))
15 oveq12 7440 . . . . 5 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾) − (𝑦 · 𝐾)) = (𝑀𝑁))
1614, 15sylan9eq 2797 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = (𝑀𝑁))
1716ex 412 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = (𝑀𝑁)))
18173ad2antl1 1186 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑥𝑦) · 𝐾) = (𝑀𝑁)))
191, 2, 5, 7, 18dvds2lem 16306 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153   · cmul 11160  cmin 11492  cz 12613  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  dvds2subd  16330  dvdssub2  16338  divalglem9  16438  difsqpwdvds  16925  poimirlem28  37655  fltaccoprm  42650  jm2.20nn  43009  dvdsn1add  45954  goldbachthlem2  47533
  Copyright terms: Public domain W3C validator