MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds2sub 16107
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2sub ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))

Proof of Theorem dvds2sub
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1148 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค))
2 3simpb 1149 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 zsubcl 12475 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
43anim2i 617 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค))
543impb 1115 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค))
6 zsubcl 12475 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
76adantl 482 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
10 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
11 subdir 11522 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
128, 9, 10, 11syl3an 1160 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
13123comr 1125 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
14133expb 1120 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
15 oveq12 7358 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆ’ (๐‘ฆ ยท ๐พ)) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
1614, 15sylan9eq 2797 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
1716ex 413 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
18173ad2antl1 1185 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) ยท ๐พ) = (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
191, 2, 5, 7, 18dvds2lem 16085 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982   ยท cmul 10989   โˆ’ cmin 11318  โ„คcz 12432   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  dvds2subd  16109  dvdssub2  16117  divalglem9  16217  difsqpwdvds  16693  poimirlem28  36001  fltaccoprm  40843  jm2.20nn  41186  dvdsn1add  43933  goldbachthlem2  45487
  Copyright terms: Public domain W3C validator