Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds2sub | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds2sub | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ โ ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpa 1148 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
2 | 3simpb 1149 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
3 | zsubcl 12475 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ ๐) โ โค) | |
4 | 3 | anim2i 617 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (๐พ โ โค โง (๐ โ ๐) โ โค)) |
5 | 4 | 3impb 1115 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง (๐ โ ๐) โ โค)) |
6 | zsubcl 12475 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โ (๐ฅ โ ๐ฆ) โ โค) | |
7 | 6 | adantl 482 | . 2 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (๐ฅ โ ๐ฆ) โ โค) |
8 | zcn 12437 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
9 | zcn 12437 | . . . . . . . 8 โข (๐ฆ โ โค โ ๐ฆ โ โ) | |
10 | zcn 12437 | . . . . . . . 8 โข (๐พ โ โค โ ๐พ โ โ) | |
11 | subdir 11522 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ โง ๐พ โ โ) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) โ (๐ฆ ยท ๐พ))) | |
12 | 8, 9, 10, 11 | syl3an 1160 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) โ (๐ฆ ยท ๐พ))) |
13 | 12 | 3comr 1125 | . . . . . 6 โข ((๐พ โ โค โง ๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) โ (๐ฆ ยท ๐พ))) |
14 | 13 | 3expb 1120 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โค โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = ((๐ฅ ยท ๐พ) โ (๐ฆ ยท ๐พ))) |
15 | oveq12 7358 | . . . . 5 โข (((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐) โ ((๐ฅ ยท ๐พ) โ (๐ฆ ยท ๐พ)) = (๐ โ ๐)) | |
16 | 14, 15 | sylan9eq 2797 | . . . 4 โข (((๐พ โ โค โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โง ((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐)) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = (๐ โ ๐)) |
17 | 16 | ex 413 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = (๐ โ ๐))) |
18 | 17 | 3ad2antl1 1185 | . 2 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค)) โ (((๐ฅ ยท ๐พ) = ๐ โง (๐ฆ ยท ๐พ) = ๐) โ ((๐ฅ โ ๐ฆ) ยท ๐พ) = (๐ โ ๐))) |
19 | 1, 2, 5, 7, 18 | dvds2lem 16085 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ โฅ ๐ โง ๐พ โฅ ๐) โ ๐พ โฅ (๐ โ ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 class class class wbr 5103 (class class class)co 7349 โcc 10982 ยท cmul 10989 โ cmin 11318 โคcz 12432 โฅ cdvds 16070 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7662 ax-resscn 11041 ax-1cn 11042 ax-icn 11043 ax-addcl 11044 ax-addrcl 11045 ax-mulcl 11046 ax-mulrcl 11047 ax-mulcom 11048 ax-addass 11049 ax-mulass 11050 ax-distr 11051 ax-i2m1 11052 ax-1ne0 11053 ax-1rid 11054 ax-rnegex 11055 ax-rrecex 11056 ax-cnre 11057 ax-pre-lttri 11058 ax-pre-lttrn 11059 ax-pre-ltadd 11060 ax-pre-mulgt0 11061 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5528 df-eprel 5534 df-po 5542 df-so 5543 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5636 df-rel 5637 df-cnv 5638 df-co 5639 df-dm 5640 df-rn 5641 df-res 5642 df-ima 5643 df-pred 6249 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6443 df-fun 6493 df-fn 6494 df-f 6495 df-f1 6496 df-fo 6497 df-f1o 6498 df-fv 6499 df-riota 7305 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7793 df-2nd 7912 df-frecs 8179 df-wrecs 8210 df-recs 8284 df-rdg 8323 df-er 8581 df-en 8817 df-dom 8818 df-sdom 8819 df-pnf 11124 df-mnf 11125 df-xr 11126 df-ltxr 11127 df-le 11128 df-sub 11320 df-neg 11321 df-nn 12087 df-n0 12347 df-z 12433 df-dvds 16071 |
This theorem is referenced by: dvds2subd 16109 dvdssub2 16117 divalglem9 16217 difsqpwdvds 16693 poimirlem28 36001 fltaccoprm 40843 jm2.20nn 41186 dvdsn1add 43933 goldbachthlem2 45487 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |