HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 163 of 480)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-30209)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(30210-31732)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31733-47936)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 16201-16300   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremdivides 16201* Define the divides relation. ๐‘€ โˆฅ ๐‘ means ๐‘€ divides into ๐‘ with no remainder. For example, 3 โˆฅ 6 (ex-dvds 29747). As proven in dvdsval3 16203, ๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod ๐‘€) = 0. See divides 16201 and dvdsval2 16202 for other equivalent expressions. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
 
Theoremdvdsval2 16202 One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
 
Theoremdvdsval3 16203 One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod ๐‘€) = 0))
 
Theoremdvdszrcl 16204 Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
(๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))
 
Theoremdvdsmod0 16205 If a positive integer divides another integer, then the remainder upon division is zero. (Contributed by AV, 3-Mar-2022.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = 0)
 
Theoremp1modz1 16206 If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
((๐‘€ โˆฅ ๐ด โˆง 1 < ๐‘€) โ†’ ((๐ด + 1) mod ๐‘€) = 1)
 
Theoremdvdsmodexp 16207 If a positive integer divides another integer, this other integer is equal to its positive powers modulo the positive integer. (Formerly part of the proof for fermltl 16719). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by AV, 19-Mar-2022.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐ต) mod ๐‘) = (๐ด mod ๐‘))
 
Theoremnndivdvds 16208 Strong form of dvdsval2 16202 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„•))
 
Theoremnndivides 16209* Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘€) = ๐‘))
 
Theoremmoddvds 16210 Two ways to say ๐ดโ‰ก๐ต (mod ๐‘), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) = (๐ต mod ๐‘) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
 
Theoremmodm1div 16211 An integer greater than one divides another integer minus one iff the second integer modulo the first integer is one. (Contributed by AV, 30-May-2023.)
((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ โˆฅ (๐ด โˆ’ 1)))
 
Theoremdvds0lem 16212 A lemma to assist theorems of โˆฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvds1lem 16213* A lemma to assist theorems of โˆฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvds2lem 16214* A lemma to assist theorems of โˆฅ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremiddvds 16215 An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
 
Theorem1dvds 16216 1 divides any integer. Theorem 1.1(f) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvds0 16217 Any integer divides 0. Theorem 1.1(g) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ 0)
 
Theoremnegdvdsb 16218 An integer divides another iff its negation does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” -๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsnegb 16219 An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
 
Theoremabsdvdsb 16220 An integer divides another iff its absolute value does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsabsb 16221 An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐‘)))
 
Theorem0dvds 16222 Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
 
Theoremdvdsmul1 16223 An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremdvdsmul2 16224 An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremiddvdsexp 16225 An integer divides a positive integer power of itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘))
 
Theoremmuldvds1 16226 If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremmuldvds2 16227 If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdscmul 16228 Multiplication by a constant maintains the divides relation. Theorem 1.1(d) in [ApostolNT] p. 14 (multiplication property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdsmulc 16229 Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ)))
 
Theoremdvdscmulr 16230 Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsmulcr 16231 Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐พ) โˆฅ (๐‘ ยท ๐พ) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremsummodnegmod 16232 The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด + ๐ต) mod ๐‘) = 0 โ†” (๐ด mod ๐‘) = (-๐ต mod ๐‘)))
 
Theoremmodmulconst 16233 Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
(((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€))))
 
Theoremdvds2ln 16234 If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘))))
 
Theoremdvds2add 16235 If an integer divides each of two other integers, it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘)))
 
Theoremdvds2sub 16236 If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
 
Theoremdvds2addd 16237 Deduction form of dvds2add 16235. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘))
 
Theoremdvds2subd 16238 Deduction form of dvds2sub 16236. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘))
 
Theoremdvdstr 16239 The divides relation is transitive. Theorem 1.1(b) in [ApostolNT] p. 14 (transitive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdstrd 16240 The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 16239. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvdsmultr1 16241 If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdsmultr1d 16242 Deduction form of dvdsmultr1 16241. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘€)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremdvdsmultr2 16243 If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdsmultr2d 16244 Deduction form of dvdsmultr2 16243. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremordvdsmul 16245 If an integer divides either of two others, it divides their product. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆจ ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremdvdssub2 16246 If an integer divides a difference, then it divides one term iff it divides the other. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
(((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremdvdsadd 16247 An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ + ๐‘)))
 
Theoremdvdsaddr 16248 An integer divides another iff it divides their sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ + ๐‘€)))
 
Theoremdvdssub 16249 An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘€ โˆ’ ๐‘)))
 
Theoremdvdssubr 16250 An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
 
Theoremdvdsadd2b 16251 Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” ๐ด โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremdvdsaddre2b 16252 Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 16251 only requiring ๐ต to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆฅ ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” ๐ด โˆฅ (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremfsumdvds 16253* If every term in a sum is divisible by ๐‘, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremdvdslelem 16254 Lemma for dvdsle 16255. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
๐‘€ โˆˆ โ„ค    &   ๐‘ โˆˆ โ„•    &   ๐พ โˆˆ โ„ค    โ‡’   (๐‘ < ๐‘€ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โ‰  ๐‘)
 
Theoremdvdsle 16255 The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use /. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
 
Theoremdvdsleabs 16256 The divisors of a nonzero integer are bounded by its absolute value. Theorem 1.1(i) in [ApostolNT] p. 14 (comparison property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (absโ€˜๐‘)))
 
Theoremdvdsleabs2 16257 Transfer divisibility to an order constraint on absolute values. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (absโ€˜๐‘€) โ‰ค (absโ€˜๐‘)))
 
Theoremdvdsabseq 16258 If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)
((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜๐‘€) = (absโ€˜๐‘))
 
Theoremdvdseq 16259 If two nonnegative integers divide each other, they must be equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2021.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ = ๐‘)
 
Theoremdivconjdvds 16260 If a nonzero integer ๐‘€ divides another integer ๐‘, the other integer ๐‘ divided by the nonzero integer ๐‘€ (i.e. the divisor conjugate of ๐‘ to ๐‘€) divides the other integer ๐‘. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
 
Theoremdvdsdivcl 16261* The complement of a divisor of ๐‘ is also a divisor of ๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐ด) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
 
Theoremdvdsflip 16262* An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
๐ด = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}    &   ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ฆ))    โ‡’   (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐น:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
 
Theoremdvdsssfz1 16263* The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ด))
 
Theoremdvds1 16264 The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
(๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ 1 โ†” ๐‘€ = 1))
 
Theoremalzdvds 16265* Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
 
Theoremdvdsext 16266* Poset extensionality for division. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐ด โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐ต โˆฅ ๐‘ฅ)))
 
Theoremfzm1ndvds 16267 No number between 1 and ๐‘€ โˆ’ 1 divides ๐‘€. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...(๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
 
Theoremfzo0dvdseq 16268 Zero is the only one of the first ๐ด nonnegative integers that is divisible by ๐ด. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
(๐ต โˆˆ (0..^๐ด) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐ต โ†” ๐ต = 0))
 
Theoremfzocongeq 16269 Two different elements of a half-open range are not congruent mod its length. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
((๐ด โˆˆ (๐ถ..^๐ท) โˆง ๐ต โˆˆ (๐ถ..^๐ท)) โ†’ ((๐ท โˆ’ ๐ถ) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
TheoremaddmodlteqALT 16270 Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 13913 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
 
Theoremdvdsfac 16271 A positive integer divides any greater factorial. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆฅ (!โ€˜๐‘))
 
Theoremdvdsexp2im 16272 If an integer divides another integer, then it also divides any of its powers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€โ†‘๐‘)))
 
Theoremdvdsexp 16273 A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘))
 
Theoremdvdsmod 16274 Any number ๐พ whose mod base ๐‘ is divisible by a divisor ๐‘ƒ of the base is also divisible by ๐‘ƒ. This means that primes will also be relatively prime to the base when reduced mod ๐‘ for any base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
(((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐พ mod ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐พ))
 
Theoremmulmoddvds 16275 If an integer is divisible by a positive integer, the product of this integer with another integer modulo the positive integer is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) mod ๐‘) = 0))
 
Theorem3dvds 16276* A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น:(0...๐‘)โŸถโ„ค) โ†’ (3 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (10โ†‘๐‘˜)) โ†” 3 โˆฅ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐นโ€˜๐‘˜)))
 
Theorem3dvdsdec 16277 A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if ๐ด and ๐ต actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers ๐ด and ๐ต, especially if ๐ด is itself a decimal number, e.g., ๐ด = ๐ถ๐ท. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    โ‡’   (3 โˆฅ ๐ด๐ต โ†” 3 โˆฅ (๐ด + ๐ต))
 
Theorem3dvds2dec 16278 A decimal number is divisible by three iff the sum of its three "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if ๐ด, ๐ต and ๐ถ actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers ๐ด, ๐ต and ๐ถ. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    โ‡’   (3 โˆฅ ๐ด๐ต๐ถ โ†” 3 โˆฅ ((๐ด + ๐ต) + ๐ถ))
 
Theoremfprodfvdvdsd 16279* A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถโ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘˜))
 
Theoremfproddvdsd 16280* A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โˆฅ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐‘˜)
 
6.1.4  Even and odd numbers

The set โ„ค of integers can be partitioned into the set of even numbers and the set of odd numbers, see zeo4 16283. Instead of defining new class variables Even and Odd to represent these sets, we use the idiom 2 โˆฅ ๐‘ to say that "๐‘ is even" (which implies ๐‘ โˆˆ โ„ค, see evenelz 16281) and ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ to say that "๐‘ is odd" (under the assumption that ๐‘ โˆˆ โ„ค). The previously proven theorems about even and odd numbers, like zneo 12647, zeo 12650, zeo2 12651, etc. use different representations, which are equivalent to the representations using the divides relation, see evend2 16302 and oddp1d2 16303. The corresponding theorems are zeneo 16284, zeo3 16282 and zeo4 16283.

 
Theoremevenelz 16281 An even number is an integer. This follows immediately from the reverse closure of the divides relation, see dvdszrcl 16204. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
(2 โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
 
Theoremzeo3 16282 An integer is even or odd. With this representation of even and odd integers, this variant of zeo 12650 follows immediately from the law of excluded middle, see exmidd 894. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremzeo4 16283 An integer is even or odd but not both. With this representation of even and odd integers, this variant of zeo2 12651 follows immediately from the principle of double negation, see notnotb 314. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremzeneo 16284 No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. This variant of zneo 12647 follows immediately from the fact that a contradiction implies anything, see pm2.21i 119. (Contributed by AV, 22-Jun-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 โˆฅ ๐ด โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต))
 
Theoremodd2np1lem 16285* Lemma for odd2np1 16286. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
 
Theoremodd2np1 16286* An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
 
Theoremeven2n 16287* An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)
(2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)
 
Theoremoddm1even 16288 An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ โˆ’ 1)))
 
Theoremoddp1even 16289 An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ + 1)))
 
Theoremoexpneg 16290 The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
 
Theoremmod2eq0even 16291 An integer is 0 modulo 2 iff it is even (i.e. divisible by 2), see example 2 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 0 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremmod2eq1n2dvds 16292 An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ mod 2) = 1 โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘))
 
Theoremoddnn02np1 16293* A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
 
Theoremoddge22np1 16294* An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
(๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
 
Theoremevennn02n 16295* A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
 
Theoremevennn2n 16296* A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
 
Theorem2tp1odd 16297 A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต = ((2 ยท ๐ด) + 1)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
 
Theoremmulsucdiv2z 16298 An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
 
Theoremsqoddm1div8z 16299 A squared odd number minus 1 divided by 8 is an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โˆˆ โ„ค)
 
Theorem2teven 16300 A number which is twice an integer is even. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต = (2 ยท ๐ด)) โ†’ 2 โˆฅ ๐ต)
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-47000 471 47001-47100 472 47101-47200 473 47201-47300 474 47301-47400 475 47401-47500 476 47501-47600 477 47601-47700 478 47701-47800 479 47801-47900 480 47901-47936
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >