![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divides | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Define the divides relation. ๐ โฅ ๐ means ๐ divides into ๐ with no remainder. For example, 3 โฅ 6 (ex-dvds 29400). As proven in dvdsval3 16140, ๐ โฅ ๐ โ (๐ mod ๐) = 0. See divides 16138 and dvdsval2 16139 for other equivalent expressions. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
divides | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-br 5106 | . . 3 โข (๐ โฅ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ โฅ ) | |
2 | df-dvds 16137 | . . . 4 โข โฅ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
3 | 2 | eleq2i 2829 | . . 3 โข (โจ๐, ๐โฉ โ โฅ โ โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)}) |
4 | 1, 3 | bitri 274 | . 2 โข (๐ โฅ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)}) |
5 | oveq2 7365 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐)) | |
6 | 5 | eqeq1d 2738 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐) = ๐ฆ)) |
7 | 6 | rexbidv 3175 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ฆ)) |
8 | eqeq2 2748 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = ๐ฆ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) | |
9 | 8 | rexbidv 3175 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ฆ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
10 | 7, 9 | opelopab2 5498 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (โจ๐, ๐โฉ โ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ โ โค (๐ ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
11 | 4, 10 | bitrid 282 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3073 โจcop 4592 class class class wbr 5105 {copab 5167 (class class class)co 7357 ยท cmul 11056 โคcz 12499 โฅ cdvds 16136 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pr 5384 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-sb 2068 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-rex 3074 df-rab 3408 df-v 3447 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-nul 4283 df-if 4487 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-br 5106 df-opab 5168 df-iota 6448 df-fv 6504 df-ov 7360 df-dvds 16137 |
This theorem is referenced by: dvdsval2 16139 dvds0lem 16149 dvds1lem 16150 dvds2lem 16151 0dvds 16159 dvdsle 16192 divconjdvds 16197 dvdsexp2im 16209 odd2np1 16223 even2n 16224 oddm1even 16225 opeo 16247 omeo 16248 m1exp1 16258 divalglem4 16278 divalglem9 16283 divalgb 16286 modremain 16290 zeqzmulgcd 16390 bezoutlem4 16423 gcddiv 16432 dvdssqim 16435 coprmdvds2 16530 congr 16540 divgcdcoprm0 16541 cncongr2 16544 dvdsnprmd 16566 prmpwdvds 16776 odmulg 19338 gexdvdsi 19365 lgsquadlem2 26729 dvdsexpim 40800 dvdsrabdioph 41119 jm2.26a 41310 coskpi2 44097 cosknegpi 44100 fourierswlem 44461 dfeven2 45831 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |