MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds1lem 16218
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvds1lem.1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))
dvds1lem.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
dvds1lem.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
dvds1lem.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
Assertion
Ref Expression
dvds1lem (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvds1lem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvds1lem.3 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 dvds1lem.4 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘€) = (๐‘ ยท ๐‘€))
43eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
54rspcev 3606 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘)
61, 2, 5syl6an 681 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
76rexlimdva 3149 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
8 dvds1lem.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))
9 divides 16206 . . 3 ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ))
108, 9syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ))
11 dvds1lem.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
12 divides 16206 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
1311, 12syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
147, 10, 133imtr4d 294 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-iota 6489  df-fv 6545  df-ov 7408  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  negdvdsb  16223  dvdsnegb  16224  muldvds1  16231  muldvds2  16232  dvdscmul  16233  dvdsmulc  16234  dvdscmulr  16235  dvdsmulcr  16236
  Copyright terms: Public domain W3C validator