![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds1lem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A lemma to assist theorems of โฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds1lem.1 | โข (๐ โ (๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค)) |
dvds1lem.2 | โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
dvds1lem.3 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ โ โค) |
dvds1lem.4 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds1lem | โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ ๐ โฅ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvds1lem.3 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ โ โค) | |
2 | dvds1lem.4 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) | |
3 | oveq1 7412 | . . . . . 6 โข (๐ง = ๐ โ (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 3 | eqeq1d 2728 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ โ ((๐ง ยท ๐) = ๐ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) |
5 | 4 | rspcev 3606 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) = ๐) โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐) |
6 | 1, 2, 5 | syl6an 681 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) |
7 | 6 | rexlimdva 3149 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) |
8 | dvds1lem.1 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค)) | |
9 | divides 16206 | . . 3 โข ((๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ)) | |
10 | 8, 9 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ)) |
11 | dvds1lem.2 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
12 | divides 16206 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) | |
13 | 11, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) |
14 | 7, 10, 13 | 3imtr4d 294 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ ๐ โฅ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 ยท cmul 11117 โคcz 12562 โฅ cdvds 16204 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-sb 2060 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-iota 6489 df-fv 6545 df-ov 7408 df-dvds 16205 |
This theorem is referenced by: negdvdsb 16223 dvdsnegb 16224 muldvds1 16231 muldvds2 16232 dvdscmul 16233 dvdsmulc 16234 dvdscmulr 16235 dvdsmulcr 16236 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |