MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds1lem 16151
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvds1lem.1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))
dvds1lem.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
dvds1lem.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
dvds1lem.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
Assertion
Ref Expression
dvds1lem (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem dvds1lem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvds1lem.3 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 dvds1lem.4 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘€) = (๐‘ ยท ๐‘€))
43eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
54rspcev 3582 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘)
61, 2, 5syl6an 683 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
76rexlimdva 3153 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
8 dvds1lem.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค))
9 divides 16139 . . 3 ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ))
108, 9syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ))
11 dvds1lem.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
12 divides 16139 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
1311, 12syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
147, 10, 133imtr4d 294 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆฅ ๐พ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358   ยท cmul 11057  โ„คcz 12500   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-iota 6449  df-fv 6505  df-ov 7361  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  negdvdsb  16156  dvdsnegb  16157  muldvds1  16164  muldvds2  16165  dvdscmul  16166  dvdsmulc  16167  dvdscmulr  16168  dvdsmulcr  16169
  Copyright terms: Public domain W3C validator