![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds1lem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A lemma to assist theorems of โฅ with one antecedent. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds1lem.1 | โข (๐ โ (๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค)) |
dvds1lem.2 | โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
dvds1lem.3 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ โ โค) |
dvds1lem.4 | โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds1lem | โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ ๐ โฅ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvds1lem.3 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ โ โค) | |
2 | dvds1lem.4 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) | |
3 | oveq1 7365 | . . . . . 6 โข (๐ง = ๐ โ (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 3 | eqeq1d 2739 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ โ ((๐ง ยท ๐) = ๐ โ (๐ ยท ๐) = ๐)) |
5 | 4 | rspcev 3582 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง (๐ ยท ๐) = ๐) โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐) |
6 | 1, 2, 5 | syl6an 683 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) |
7 | 6 | rexlimdva 3153 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) |
8 | dvds1lem.1 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค)) | |
9 | divides 16139 | . . 3 โข ((๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ)) | |
10 | 8, 9 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐ฝ) = ๐พ)) |
11 | dvds1lem.2 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
12 | divides 16139 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) | |
13 | 11, 12 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐) = ๐)) |
14 | 7, 10, 13 | 3imtr4d 294 | 1 โข (๐ โ (๐ฝ โฅ ๐พ โ ๐ โฅ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 ยท cmul 11057 โคcz 12500 โฅ cdvds 16137 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pr 5385 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3409 df-v 3448 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-iota 6449 df-fv 6505 df-ov 7361 df-dvds 16138 |
This theorem is referenced by: negdvdsb 16156 dvdsnegb 16157 muldvds1 16164 muldvds2 16165 dvdscmul 16166 dvdsmulc 16167 dvdscmulr 16168 dvdsmulcr 16169 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |