Theorem dvds2ln 15998

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpr2 1194	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		simpr3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	jca 512	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7	6, 2	zmulcld 12432	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
8		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9	8, 4	zmulcld 12432	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐽 · 𝑁) ∈ ℤ)
10	7, 9	zaddcld 12430	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ)
11	1, 10	jca 512	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ))
12		zmulcl 12369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
15	14	an4s 657	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
16	15	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
18	17	imp 407	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
19		zaddcl 12360	. . 3 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
21		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ)
22		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ)
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
25	1	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27		adddir 10966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
28	27	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
29	24, 26, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
30		zcn 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
34	33	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℂ)
35	32, 34, 26	mul32d 11185	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼))
36		zcn 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38	37	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
39	8	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
40	39	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
41	38, 40, 26	mul32d 11185	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾) = ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽))
42	35, 41	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)) = (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)))
43	32, 26	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℂ)
44	43, 34	mulcomd 10996	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) = (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)))
45	38, 26	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐾) ∈ ℂ)
46	45, 40	mulcomd 10996	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)))
47	44, 46	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
48	29, 42, 47	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
49		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝐼 · 𝑀))
50		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝐾) = 𝑁 → (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝐽 · 𝑁))
51	49, 50	oveqan12d 7294	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
52	48, 51	sylan9eq 2798	. . 3 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
53	52	ex 413	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 15978	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   · cmul 10876  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  16231  dvdsgcd  16252