Theorem dvds2ln 16323

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpr2 1194	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		simpr3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7	6, 2	zmulcld 12726	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
8		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9	8, 4	zmulcld 12726	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐽 · 𝑁) ∈ ℤ)
10	7, 9	zaddcld 12724	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ)
11	1, 10	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ))
12		zmulcl 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
15	14	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
16	15	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
19		zaddcl 12655	. . 3 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
21		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ)
22		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ)
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
25	1	zcnd 12721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27		adddir 11250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
28	27	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
29	24, 26, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
30		zcn 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		zcn 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
34	33	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℂ)
35	32, 34, 26	mul32d 11469	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼))
36		zcn 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
39	8	zcnd 12721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
41	38, 40, 26	mul32d 11469	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾) = ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽))
42	35, 41	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)) = (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)))
43	32, 26	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℂ)
44	43, 34	mulcomd 11280	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) = (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)))
45	38, 26	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐾) ∈ ℂ)
46	45, 40	mulcomd 11280	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)))
47	44, 46	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
48	29, 42, 47	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
49		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝐼 · 𝑀))
50		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝐾) = 𝑁 → (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝐽 · 𝑁))
51	49, 50	oveqan12d 7450	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
52	48, 51	sylan9eq 2795	. . 3 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
53	52	ex 412	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 16303	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156   · cmul 11158  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  16558  dvdsgcd  16578