MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2ln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds2ln 16106
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘))))

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . 3 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2 simpr2 1196 . . 3 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
31, 2jca 513 . 2 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค))
4 simpr3 1197 . . 3 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
51, 4jca 513 . 2 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
6 simpll 766 . . . . 5 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
76, 2zmulcld 12546 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
8 simplr 768 . . . . 5 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
98, 4zmulcld 12546 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
107, 9zaddcld 12544 . . 3 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
111, 10jca 513 . 2 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค))
12 zmulcl 12483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค)
13 zmulcl 12483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
1412, 13anim12i 614 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค))
1514an4s 659 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค))
1615expcom 415 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)))
1716adantr 482 . . . 4 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)))
1817imp 408 . . 3 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค))
19 zaddcl 12474 . . 3 (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) โˆˆ โ„ค)
2018, 19syl 17 . 2 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) โˆˆ โ„ค)
21 zcn 12438 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
22 zcn 12438 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
2321, 22anim12i 614 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„‚))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„‚))
251zcnd 12541 . . . . . . 7 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
27 adddir 11080 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) ยท ๐พ) = (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) ยท ๐พ) + ((๐‘ฆ ยท ๐ฝ) ยท ๐พ)))
28273expa 1119 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ ยท ๐ผ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐ฝ) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) ยท ๐พ) = (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) ยท ๐พ) + ((๐‘ฆ ยท ๐ฝ) ยท ๐พ)))
2924, 26, 28syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) ยท ๐พ) = (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) ยท ๐พ) + ((๐‘ฆ ยท ๐ฝ) ยท ๐พ)))
30 zcn 12438 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3231adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
33 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
3433ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
3532, 34, 26mul32d 11299 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐ผ))
36 zcn 12438 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3736adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
398zcnd 12541 . . . . . . . 8 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
4039adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
4138, 40, 26mul32d 11299 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ฝ) ยท ๐พ) = ((๐‘ฆ ยท ๐พ) ยท ๐ฝ))
4235, 41oveq12d 7368 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) ยท ๐พ) + ((๐‘ฆ ยท ๐ฝ) ยท ๐พ)) = (((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐ผ) + ((๐‘ฆ ยท ๐พ) ยท ๐ฝ)))
4332, 26mulcld 11109 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
4443, 34mulcomd 11110 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐ผ) = (๐ผ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)))
4538, 26mulcld 11109 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐พ) โˆˆ โ„‚)
4645, 40mulcomd 11110 . . . . . 6 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐พ) ยท ๐ฝ) = (๐ฝ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ)))
4744, 46oveq12d 7368 . . . . 5 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐ผ) + ((๐‘ฆ ยท ๐พ) ยท ๐ฝ)) = ((๐ผ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) + (๐ฝ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ))))
4829, 42, 473eqtrd 2782 . . . 4 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) ยท ๐พ) = ((๐ผ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) + (๐ฝ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ))))
49 oveq2 7358 . . . . 5 ((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โ†’ (๐ผ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) = (๐ผ ยท ๐‘€))
50 oveq2 7358 . . . . 5 ((๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘ โ†’ (๐ฝ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ)) = (๐ฝ ยท ๐‘))
5149, 50oveqan12d 7369 . . . 4 (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ ((๐ผ ยท (๐‘ฅ ยท ๐พ)) + (๐ฝ ยท (๐‘ฆ ยท ๐พ))) = ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘)))
5248, 51sylan9eq 2798 . . 3 (((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) ยท ๐พ) = ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘)))
5352ex 414 . 2 ((((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) = ๐‘€ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐‘) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) + (๐‘ฆ ยท ๐ฝ)) ยท ๐พ) = ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘))))
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 16086 1 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ ((๐ผ ยท ๐‘€) + (๐ฝ ยท ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  16339  dvdsgcd  16360
  Copyright terms: Public domain W3C validator