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Theorem dvds2ln 16327
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1194 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 simpr2 1195 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2jca 511 . 2 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4 simpr3 1196 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4jca 511 . 2 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 simpll 766 . . . . 5 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
76, 2zmulcld 12730 . . . 4 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
8 simplr 768 . . . . 5 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℤ)
98, 4zmulcld 12730 . . . 4 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐽 · 𝑁) ∈ ℤ)
107, 9zaddcld 12728 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ)
111, 10jca 511 . 2 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ))
12 zmulcl 12668 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ)
13 zmulcl 12668 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
1514an4s 660 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
1615expcom 413 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
1716adantr 480 . . . 4 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
1817imp 406 . . 3 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
19 zaddcl 12659 . . 3 (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
2018, 19syl 17 . 2 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
21 zcn 12620 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ)
22 zcn 12620 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ)
2321, 22anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
2418, 23syl 17 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
251zcnd 12725 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27 adddir 11253 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
28273expa 1118 . . . . . 6 ((((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
2924, 26, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
30 zcn 12620 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3231adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 zcn 12620 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
3433ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℂ)
3532, 34, 26mul32d 11472 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼))
36 zcn 12620 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
398zcnd 12725 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
4039adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
4138, 40, 26mul32d 11472 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾) = ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽))
4235, 41oveq12d 7450 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)) = (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)))
4332, 26mulcld 11282 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℂ)
4443, 34mulcomd 11283 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) = (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)))
4538, 26mulcld 11282 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐾) ∈ ℂ)
4645, 40mulcomd 11283 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)))
4744, 46oveq12d 7450 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
4829, 42, 473eqtrd 2780 . . . 4 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
49 oveq2 7440 . . . . 5 ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝐼 · 𝑀))
50 oveq2 7440 . . . . 5 ((𝑦 · 𝐾) = 𝑁 → (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝐽 · 𝑁))
5149, 50oveqan12d 7451 . . . 4 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
5248, 51sylan9eq 2796 . . 3 (((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
5352ex 412 . 2 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 16307 1 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cc 11154   + caddc 11159   · cmul 11161  cz 12615  cdvds 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-dvds 16292
This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  16562  dvdsgcd  16582
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