Theorem dvds2ln 16327

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1194	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpr2 1195	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		simpr3 1196	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7	6, 2	zmulcld 12730	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
8		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℤ)
9	8, 4	zmulcld 12730	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐽 · 𝑁) ∈ ℤ)
10	7, 9	zaddcld 12728	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ)
11	1, 10	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ))
12		zmulcl 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ)
13		zmulcl 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
15	14	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
16	15	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
19		zaddcl 12659	. . 3 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
21		zcn 12620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ)
22		zcn 12620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ)
23	21, 22	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
25	1	zcnd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27		adddir 11253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
28	27	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
29	24, 26, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
30		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		zcn 12620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
34	33	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℂ)
35	32, 34, 26	mul32d 11472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼))
36		zcn 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
39	8	zcnd 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
41	38, 40, 26	mul32d 11472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾) = ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽))
42	35, 41	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)) = (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)))
43	32, 26	mulcld 11282	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℂ)
44	43, 34	mulcomd 11283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) = (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)))
45	38, 26	mulcld 11282	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐾) ∈ ℂ)
46	45, 40	mulcomd 11283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)))
47	44, 46	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
48	29, 42, 47	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
49		oveq2 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝐼 · 𝑀))
50		oveq2 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 𝐾) = 𝑁 → (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝐽 · 𝑁))
51	49, 50	oveqan12d 7451	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
52	48, 51	sylan9eq 2796	. . 3 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
53	52	ex 412	. 2 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 16307	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   · cmul 11161  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-dvds 16292

This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  16562  dvdsgcd  16582