Theorem elrn3 35806

Description: Quantifier-free definition of membership in a range. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elrn3	⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)

Proof of Theorem elrn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5625	. . 3 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
2	1	eleq2i 2823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ dom ◡𝐵)
3		eldm3 35805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ◡𝐵 ↔ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) ≠ ∅)
4		cnvxp 6104	. . . . . . 7 ⊢ ◡(V × {𝐴}) = ({𝐴} × V)
5	4	ineq2i 4164	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐵 ∩ ◡(V × {𝐴})) = (◡𝐵 ∩ ({𝐴} × V))
6		cnvin 6091	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = (◡𝐵 ∩ ◡(V × {𝐴}))
7		df-res 5626	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) = (◡𝐵 ∩ ({𝐴} × V))
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2765	. . . . 5 ⊢ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴}))
9	8	eqeq1i 2736	. . . 4 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
10		relinxp 5753	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐵 ∩ (V × {𝐴}))
11		cnveq0 6144	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) → ((𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
13	9, 12	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
14	13	necon3bii 2980	. 2 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∩ cin 3896  ∅c0 4280  {csn 4573   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  ran crn 5615   ↾ cres 5616  Rel wrel 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626

This theorem is referenced by: (None)