Theorem elrn3 35724

Description: Quantifier-free definition of membership in a range. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elrn3	⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)

Proof of Theorem elrn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5711	. . 3 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
2	1	eleq2i 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ dom ◡𝐵)
3		eldm3 35723	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ◡𝐵 ↔ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) ≠ ∅)
4		cnvxp 6188	. . . . . . 7 ⊢ ◡(V × {𝐴}) = ({𝐴} × V)
5	4	ineq2i 4238	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐵 ∩ ◡(V × {𝐴})) = (◡𝐵 ∩ ({𝐴} × V))
6		cnvin 6176	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = (◡𝐵 ∩ ◡(V × {𝐴}))
7		df-res 5712	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) = (◡𝐵 ∩ ({𝐴} × V))
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2779	. . . . 5 ⊢ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴}))
9	8	eqeq1i 2745	. . . 4 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
10		relinxp 5838	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐵 ∩ (V × {𝐴}))
11		cnveq0 6228	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) → ((𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
13	9, 12	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
14	13	necon3bii 2999	. 2 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  {csn 4648   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702  Rel wrel 5705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712

This theorem is referenced by: (None)