Theorem elrn3 36293

Description: Quantifier-free definition of membership in a range. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elrn3	⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)

Proof of Theorem elrn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5674	. . 3 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
2	1	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ dom ◡𝐵)
3		eldm3 36292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ◡𝐵 ↔ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) ≠ ∅)
4		cnvxp 6156	. . . . . . 7 ⊢ ◡(V × {𝐴}) = ({𝐴} × V)
5	4	ineq2i 4170	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐵 ∩ ◡(V × {𝐴})) = (◡𝐵 ∩ ({𝐴} × V))
6		cnvin 6143	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = (◡𝐵 ∩ ◡(V × {𝐴}))
7		df-res 5675	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) = (◡𝐵 ∩ ({𝐴} × V))
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2799	. . . . 5 ⊢ (◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴}))
9	8	eqeq1i 2770	. . . 4 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
10		relinxp 5803	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐵 ∩ (V × {𝐴}))
11		cnveq0 6198	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) → ((𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅ ↔ ◡(𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
13	9, 12	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) = ∅)
14	13	necon3bii 3012	. 2 ⊢ ((◡𝐵 ↾ {𝐴}) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)
15	2, 3, 14	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ (V × {𝐴})) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665  Rel wrel 5668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-11 2195  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675

This theorem is used by: (None)