Theorem fin4i 10290

Description: Infer that a set is IV-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin4i	⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem fin4i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin4 10289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴)))
2	1	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
3		relen 8941	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5723	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≈ 𝐴 → 𝑋 ∈ V)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → 𝑋 ∈ V)
6		psseq1 4080	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ⊊ 𝐴 ↔ 𝑋 ⊊ 𝐴))
7		breq1 5142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≈ 𝐴))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) ↔ (𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴)))
9	8	spcegv 3579	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴)))
10	5, 9	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
11	2, 10	nsyl3 138	1 ⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊊ wpss 3942   class class class wbr 5139   ≈ cen 8933  Fin^IVcfin4 10272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-br 5140  df-opab 5202  df-xp 5673  df-rel 5674  df-en 8937  df-fin4 10279

This theorem is referenced by:  fin4en1  10301  ssfin4  10302  ominf4  10304  isfin4p1  10307