Theorem fin4i 10206

Description: Infer that a set is IV-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin4i	⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem fin4i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin4 10205	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴)))
2	1	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
3		relen 8886	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex1i 5678	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≈ 𝐴 → 𝑋 ∈ V)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → 𝑋 ∈ V)
6		psseq1 4040	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ⊊ 𝐴 ↔ 𝑋 ⊊ 𝐴))
7		breq1 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≈ 𝐴))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴) ↔ (𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴)))
9	8	spcegv 3549	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴)))
10	5, 9	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝐴))
11	2, 10	nsyl3 138	1 ⊢ ((𝑋 ⊊ 𝐴 ∧ 𝑋 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5096   ≈ cen 8878  Fin^IVcfin4 10188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-rel 5629  df-en 8882  df-fin4 10195

This theorem is referenced by:  fin4en1  10217  ssfin4  10218  ominf4  10220  isfin4p1  10223