Theorem psseq1 4065

Description: Equality theorem for proper subclass. (Contributed by NM, 7-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
psseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))

Proof of Theorem psseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3984	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
2		neeq1 2994	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
3	1, 2	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))
4		df-pss 3946	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐶 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
5		df-pss 3946	. 2 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
6	3, 4, 5	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1780  df-cleq 2727  df-ne 2933  df-ss 3943  df-pss 3946

This theorem is referenced by:  psseq1i  4067  psseq1d  4070  psstr  4082  sspsstr  4083  brrpssg  7717  sorpssuni  7724  pssnn  9180  marypha1lem  9443  infeq5i  9648  infpss  10228  fin4i  10310  isfin2-2  10331  zornn0g  10517  ttukeylem7  10527  elnp  10999  elnpi  11000  ltprord  11042  pgpfac1lem1  20055  pgpfac1lem5  20060  pgpfac1  20061  pgpfaclem2  20063  pgpfac  20065  islbs3  21114  alexsubALTlem4  23986  wilthlem2  27029  spansncv  31580  cvbr  32209  cvcon3  32211  cvnbtwn  32213  dfon2lem3  35749  dfon2lem4  35750  dfon2lem5  35751  dfon2lem6  35752  dfon2lem7  35753  dfon2lem8  35754  dfon2  35756  lcvbr  38985  lcvnbtwn  38989  mapdcv  41625