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Theorem fin4en1 10347
Description: Dedekind finite is a cardinal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin4en1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))

Proof of Theorem fin4en1
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 9042 . 2 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8994 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
3 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
4 f1of1 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
5 pssss 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
6 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵𝐵
75, 6jctir 520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
8 f1imapss 7286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝐵𝐵)) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
94, 7, 8syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
103, 9mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵))
11 imadmrn 6090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
12 f1odm 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = 𝐵)
1312imaeq2d 6080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓𝐵))
14 dff1o5 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
1514simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
1611, 13, 153eqtr3a 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1817psseq2d 4106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴))
1910, 18mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
2019adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
21 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
2221f1imaen 9056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
234, 5, 22syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
2423adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
25 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
26 entr 9045 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
28 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
29 f1oen3g 9006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
3028, 29mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐵𝐴)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝐵𝐴)
32 entr 9045 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ≈ 𝐵𝐵𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
3327, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
34 fin4i 10336 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) ⊊ 𝐴 ∧ (𝑓𝑥) ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3520, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3635ex 412 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3736exlimdv 1931 . . . . . 6 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3837con2d 134 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
3938exlimiv 1928 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
402, 39sylbi 217 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
41 relen 8989 . . . . 5 Rel ≈
4241brrelex1i 5745 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
43 isfin4 10335 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4442, 43syl 17 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4540, 44sylibrd 259 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
461, 45syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  wpss 3964   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cen 8981  FinIVcfin4 10318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-fin4 10325
This theorem is referenced by:  domfin4  10349  isfin4p1  10353
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