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Theorem fin4en1 9525
Description: Dedekind finite is a cardinal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin4en1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))

Proof of Theorem fin4en1
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 8351 . 2 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 8311 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
3 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
4 f1of1 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
5 pssss 3961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
6 ssid 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵𝐵
75, 6jctir 513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
8 f1imapss 6847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝐵𝐵)) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
94, 7, 8syl2an 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
103, 9mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵))
11 imadmrn 5778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
12 f1odm 6446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = 𝐵)
1312imaeq2d 5768 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓𝐵))
14 dff1o5 6451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
1514simprbi 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
1611, 13, 153eqtr3a 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1716adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1817psseq2d 3959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴))
1910, 18mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
2019adantrr 704 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
21 vex 3415 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
2221f1imaen 8364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
234, 5, 22syl2an 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
2423adantrr 704 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
25 simprr 760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
26 entr 8354 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
2724, 25, 26syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
28 vex 3415 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
29 f1oen3g 8318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
3028, 29mpan 677 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐵𝐴)
3130adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝐵𝐴)
32 entr 8354 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ≈ 𝐵𝐵𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
3327, 31, 32syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
34 fin4i 9514 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) ⊊ 𝐴 ∧ (𝑓𝑥) ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3520, 33, 34syl2anc 576 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3635ex 405 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3736exlimdv 1892 . . . . . 6 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3837con2d 132 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
3938exlimiv 1889 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
402, 39sylbi 209 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
41 relen 8307 . . . . 5 Rel ≈
4241brrelex1i 5455 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
43 isfin4 9513 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4442, 43syl 17 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4540, 44sylibrd 251 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
461, 45syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  Vcvv 3412  wss 3828  wpss 3829   class class class wbr 4927  dom cdm 5404  ran crn 5405  cima 5407  1-1wf1 6183  1-1-ontowf1o 6185  cen 8299  FinIVcfin4 9496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-er 8085  df-en 8303  df-fin4 9503
This theorem is referenced by:  domfin4  9527  isfin4p1  9531
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