Theorem isfin4p1 10262

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 10244 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4p1	⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8438	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2		djudoml 10131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
3	1, 2	mpan2 699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4		1oex 8435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
5	4	snid 4615	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
6		0lt1o 8461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 1o
7		opelxpi 5677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9		elun2 4130	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11		df-dju 9849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eleqtrri 2855	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13		1n0 8444	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
14		opelxp1 5682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15		elsni 4593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
17	16	necon3ai 2976	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19		ssun1 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
20	19, 11	sseqtrri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21		ssnelpss 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
23	12, 18, 22	mp2an 700	. . . . . 6 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24		0ex 5251	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
25		relen 8921	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
26	25	brrelex1i 5696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27		xpsnen2g 9031	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	sylancr 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29		entr 8976	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
30	28, 29	mpancom 696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31		fin4i 10245	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
32	23, 30, 31	sylancr 595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33		fin4en1 10256	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
34	32, 33	mtod 200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
35	34	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36		brsdom 8944	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
37	3, 35, 36	sylanbrc 591	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38		sdomnen 8951	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39		infdju1 10136	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
40	39	ensymd 8975	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
41	38, 40	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42		relsdom 8923	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
43	42	brrelex1i 5696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44		isfin4-2 10261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
46	41, 45	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
47	37, 46	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  Vcvv 3448   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4280  {csn 4576  ⟨cop 4582   class class class wbr 5094   × cxp 5638  Oncon0 6335  ωcom 7835  1_oc1o 8418   ≈ cen 8913   ≼ cdom 8914   ≺ csdm 8915   ⊔ cdju 9846  Fin^IVcfin4 10227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-dju 9849  df-fin4 10234

This theorem is referenced by:  fin45  10339  finngch  10603  gchinf  10605