Theorem isfin4p1 10002

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 9984 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4p1	⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8274	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2		djudoml 9871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
3	1, 2	mpan2 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4		1oex 8280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
5	4	snid 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
6		0lt1o 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 1o
7		opelxpi 5617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9		elun2 4107	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11		df-dju 9590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13		1n0 8286	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
14		opelxp1 5621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15		elsni 4575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
17	16	necon3ai 2967	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19		ssun1 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
20	19, 11	sseqtrri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21		ssnelpss 4042	. . . . . . . 8 ⊢ (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
23	12, 18, 22	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24		0ex 5226	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
25		relen 8696	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
26	25	brrelex1i 5634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27		xpsnen2g 8805	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29		entr 8747	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
30	28, 29	mpancom 684	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31		fin4i 9985	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
32	23, 30, 31	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33		fin4en1 9996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
34	32, 33	mtod 197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
35	34	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36		brsdom 8718	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
37	3, 35, 36	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38		sdomnen 8724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39		infdju1 9876	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
40	39	ensymd 8746	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
41	38, 40	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42		relsdom 8698	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
43	42	brrelex1i 5634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44		isfin4-2 10001	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
46	41, 45	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
47	37, 46	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  ∅c0 4253  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Oncon0 6251  ωcom 7687  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690   ⊔ cdju 9587  Fin^IVcfin4 9967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-fin4 9974

This theorem is referenced by:  fin45  10079  finngch  10342  gchinf  10344