Theorem isfin4p1 10228

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 10210 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4p1	⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8410	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2		djudoml 10098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
3	1, 2	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4		1oex 8408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
5	4	snid 4607	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
6		0lt1o 8432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 1o
7		opelxpi 5661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9		elun2 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11		df-dju 9816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eleqtrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13		1n0 8416	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
14		opelxp1 5666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15		elsni 4585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
17	16	necon3ai 2958	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19		ssun1 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
20	19, 11	sseqtrri 3972	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21		ssnelpss 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
23	12, 18, 22	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24		0ex 5242	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
25		relen 8891	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
26	25	brrelex1i 5680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27		xpsnen2g 9001	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29		entr 8946	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
30	28, 29	mpancom 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31		fin4i 10211	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
32	23, 30, 31	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33		fin4en1 10222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
34	32, 33	mtod 198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
35	34	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36		brsdom 8914	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
37	3, 35, 36	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38		sdomnen 8921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39		infdju1 10103	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
40	39	ensymd 8945	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
41	38, 40	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42		relsdom 8893	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
43	42	brrelex1i 5680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44		isfin4-2 10227	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
46	41, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
47	37, 46	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5622  Oncon0 6317  ωcom 7810  1_oc1o 8391   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884   ≺ csdm 8885   ⊔ cdju 9813  Fin^IVcfin4 10193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-dju 9816  df-fin4 10200

This theorem is referenced by:  fin45  10305  finngch  10569  gchinf  10571