Theorem isfin4p1 10307

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 10289 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4p1	⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8475	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2		djudoml 10176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4		1oex 8473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
5	4	snid 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
6		0lt1o 8501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 1o
7		opelxpi 5713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9		elun2 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11		df-dju 9893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eleqtrri 2833	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13		1n0 8485	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
14		opelxp1 5717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15		elsni 4645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
17	16	necon3ai 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19		ssun1 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
20	19, 11	sseqtrri 4019	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21		ssnelpss 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
23	12, 18, 22	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24		0ex 5307	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
25		relen 8941	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
26	25	brrelex1i 5731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27		xpsnen2g 9062	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29		entr 8999	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
30	28, 29	mpancom 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31		fin4i 10290	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
32	23, 30, 31	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33		fin4en1 10301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
34	32, 33	mtod 197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
35	34	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36		brsdom 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
37	3, 35, 36	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38		sdomnen 8974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39		infdju1 10181	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
40	39	ensymd 8998	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
41	38, 40	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42		relsdom 8943	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
43	42	brrelex1i 5731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44		isfin4-2 10306	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
46	41, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
47	37, 46	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948   ⊊ wpss 3949  ∅c0 4322  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Oncon0 6362  ωcom 7852  1_oc1o 8456   ≈ cen 8933   ≼ cdom 8934   ≺ csdm 8935   ⊔ cdju 9890  Fin^IVcfin4 10272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-dju 9893  df-fin4 10279

This theorem is referenced by:  fin45  10384  finngch  10647  gchinf  10649