Theorem isfin4p1 10356

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 10338 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4p1	⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8519	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2		djudoml 10226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4		1oex 8517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
5	4	snid 4661	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
6		0lt1o 8543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 1o
7		opelxpi 5721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9		elun2 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11		df-dju 9942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
12	10, 11	eleqtrri 2839	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13		1n0 8527	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
14		opelxp1 5726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15		elsni 4642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
17	16	necon3ai 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19		ssun1 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
20	19, 11	sseqtrri 4032	. . . . . . . 8 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21		ssnelpss 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
23	12, 18, 22	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24		0ex 5306	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
25		relen 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
26	25	brrelex1i 5740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27		xpsnen2g 9106	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29		entr 9047	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
30	28, 29	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31		fin4i 10339	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
32	23, 30, 31	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33		fin4en1 10350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
34	32, 33	mtod 198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
35	34	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36		brsdom 9016	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
37	3, 35, 36	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38		sdomnen 9022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39		infdju1 10231	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
40	39	ensymd 9046	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
41	38, 40	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42		relsdom 8993	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
43	42	brrelex1i 5740	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44		isfin4-2 10355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
46	41, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
47	37, 46	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950   ⊊ wpss 3951  ∅c0 4332  {csn 4625  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   × cxp 5682  Oncon0 6383  ωcom 7888  1_oc1o 8500   ≈ cen 8983   ≼ cdom 8984   ≺ csdm 8985   ⊔ cdju 9939  Fin^IVcfin4 10321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-dju 9942  df-fin4 10328

This theorem is referenced by:  fin45  10433  finngch  10696  gchinf  10698