MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin4p1 10356
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 10338 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4p1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1
StepHypRef Expression
1 1on 8519 . . . 4 1o ∈ On
2 djudoml 10226 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4 1oex 8517 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
54snid 4661 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {1o}
6 0lt1o 8543 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 1o
7 opelxpi 5721 . . . . . . . . . 10 ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . . . . 9 ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9 elun2 4182 . . . . . . . . 9 (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11 df-dju 9942 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1210, 11eleqtrri 2839 . . . . . . 7 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13 1n0 8527 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
14 opelxp1 5726 . . . . . . . . . 10 (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15 elsni 4642 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
1716necon3ai 2964 . . . . . . . 8 (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19 ssun1 4177 . . . . . . . . 9 ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
2019, 11sseqtrri 4032 . . . . . . . 8 ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21 ssnelpss 4113 . . . . . . . 8 (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . 7 ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
2312, 18, 22mp2an 692 . . . . . 6 ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24 0ex 5306 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
25 relen 8991 . . . . . . . . 9 Rel ≈
2625brrelex1i 5740 . . . . . . . 8 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27 xpsnen2g 9106 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
2824, 26, 27sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29 entr 9047 . . . . . . 7 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
3028, 29mpancom 688 . . . . . 6 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31 fin4i 10339 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
3223, 30, 31sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33 fin4en1 10350 . . . . 5 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
3432, 33mtod 198 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3534con2i 139 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36 brsdom 9016 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
373, 35, 36sylanbrc 583 . 2 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38 sdomnen 9022 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39 infdju1 10231 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
4039ensymd 9046 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
4138, 40nsyl 140 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42 relsdom 8993 . . . . 5 Rel ≺
4342brrelex1i 5740 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44 isfin4-2 10355 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
4641, 45mpbird 257 . 2 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
4737, 46impbii 209 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cun 3948  wss 3950  wpss 3951  c0 4332  {csn 4625  cop 4631   class class class wbr 5142   × cxp 5682  Oncon0 6383  ωcom 7888  1oc1o 8500  cen 8983  cdom 8984  csdm 8985  cdju 9939  FinIVcfin4 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-dju 9942  df-fin4 10328
This theorem is referenced by:  fin45  10433  finngch  10696  gchinf  10698
  Copyright terms: Public domain W3C validator