MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin4p1 10353
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 10335 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4p1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))

Proof of Theorem isfin4p1
StepHypRef Expression
1 1on 8517 . . . 4 1o ∈ On
2 djudoml 10223 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIV ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
4 1oex 8515 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
54snid 4667 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {1o}
6 0lt1o 8541 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 1o
7 opelxpi 5726 . . . . . . . . . 10 ((1o ∈ {1o} ∧ ∅ ∈ 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o))
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . . . . 9 ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o)
9 elun2 4193 . . . . . . . . 9 (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({1o} × 1o) → ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
11 df-dju 9939 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
1210, 11eleqtrri 2838 . . . . . . 7 ⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o)
13 1n0 8525 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
14 opelxp1 5731 . . . . . . . . . 10 (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
15 elsni 4648 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
1716necon3ai 2963 . . . . . . . 8 (1o ≠ ∅ → ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴))
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
19 ssun1 4188 . . . . . . . . 9 ({∅} × 𝐴) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
2019, 11sseqtrri 4033 . . . . . . . 8 ({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o)
21 ssnelpss 4124 . . . . . . . 8 (({∅} × 𝐴) ⊆ (𝐴 ⊔ 1o) → ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . 7 ((⟨1o, ∅⟩ ∈ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ ⟨1o, ∅⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)) → ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o))
2312, 18, 22mp2an 692 . . . . . 6 ({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o)
24 0ex 5313 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
25 relen 8989 . . . . . . . . 9 Rel ≈
2625brrelex1i 5745 . . . . . . . 8 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
27 xpsnen2g 9104 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
2824, 26, 27sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
29 entr 9045 . . . . . . 7 ((({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
3028, 29mpancom 688 . . . . . 6 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
31 fin4i 10336 . . . . . 6 ((({∅} × 𝐴) ⊊ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
3223, 30, 31sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV)
33 fin4en1 10347 . . . . 5 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ FinIV))
3432, 33mtod 198 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3534con2i 139 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
36 brsdom 9014 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
373, 35, 36sylanbrc 583 . 2 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
38 sdomnen 9020 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
39 infdju1 10228 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
4039ensymd 9044 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
4138, 40nsyl 140 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ ω ≼ 𝐴)
42 relsdom 8991 . . . . 5 Rel ≺
4342brrelex1i 5745 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
44 isfin4-2 10352 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
4641, 45mpbird 257 . 2 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ FinIV)
4737, 46impbii 209 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  wpss 3964  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Oncon0 6386  ωcom 7887  1oc1o 8498  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  cdju 9936  FinIVcfin4 10318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-dju 9939  df-fin4 10325
This theorem is referenced by:  fin45  10430  finngch  10693  gchinf  10695
  Copyright terms: Public domain W3C validator