MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf4 9422
Description: ω is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4 ¬ ω ∈ FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (ω ∈ FinIV → ω ∈ FinIV)
2 peano1 7319 . . . 4 ∅ ∈ ω
3 difsnpss 4526 . . . 4 (∅ ∈ ω ↔ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω)
42, 3mpbi 222 . . 3 (ω ∖ {∅}) ⊊ ω
5 limom 7314 . . . . 5 Lim ω
65limenpsi 8377 . . . 4 (ω ∈ FinIV → ω ≈ (ω ∖ {∅}))
76ensymd 8246 . . 3 (ω ∈ FinIV → (ω ∖ {∅}) ≈ ω)
8 fin4i 9408 . . 3 (((ω ∖ {∅}) ⊊ ω ∧ (ω ∖ {∅}) ≈ ω) → ¬ ω ∈ FinIV)
94, 7, 8sylancr 582 . 2 (ω ∈ FinIV → ¬ ω ∈ FinIV)
101, 9pm2.65i 186 1 ¬ ω ∈ FinIV
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2157  cdif 3766  wpss 3770  c0 4115  {csn 4368   class class class wbr 4843  ωcom 7299  cen 8192  FinIVcfin4 9390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-fin4 9397
This theorem is referenced by:  infpssALT  9423
  Copyright terms: Public domain W3C validator