Theorem ominf4 10317

Description: ω is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ominf4	⊢ ¬ ω ∈ FinIV

Proof of Theorem ominf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (ω ∈ FinIV → ω ∈ FinIV)
2		peano1 7886	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
3		difsnpss 4770	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω)
4	2, 3	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω
5		limom 7879	. . . . 5 ⊢ Lim ω
6	5	limenpsi 9153	. . . 4 ⊢ (ω ∈ FinIV → ω ≈ (ω ∖ {∅}))
7	6	ensymd 9014	. . 3 ⊢ (ω ∈ FinIV → (ω ∖ {∅}) ≈ ω)
8		fin4i 10303	. . 3 ⊢ (((ω ∖ {∅}) ⊊ ω ∧ (ω ∖ {∅}) ≈ ω) → ¬ ω ∈ FinIV)
9	4, 7, 8	sylancr 599	. 2 ⊢ (ω ∈ FinIV → ¬ ω ∈ FinIV)
10	1, 9	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ ω ∈ FinIV

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ωcom 7863   ≈ cen 8952  Fin^IVcfin4 10285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin4 10292

This theorem is used by:  infpssALT  10318