Theorem ominf4 10400

Description: ω is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ominf4	⊢ ¬ ω ∈ FinIV

Proof of Theorem ominf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (ω ∈ FinIV → ω ∈ FinIV)
2		peano1 7907	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
3		difsnpss 4769	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω)
4	2, 3	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω
5		limom 7900	. . . . 5 ⊢ Lim ω
6	5	limenpsi 9182	. . . 4 ⊢ (ω ∈ FinIV → ω ≈ (ω ∖ {∅}))
7	6	ensymd 9043	. . 3 ⊢ (ω ∈ FinIV → (ω ∖ {∅}) ≈ ω)
8		fin4i 10386	. . 3 ⊢ (((ω ∖ {∅}) ⊊ ω ∧ (ω ∖ {∅}) ≈ ω) → ¬ ω ∈ FinIV)
9	4, 7, 8	sylancr 599	. 2 ⊢ (ω ∈ FinIV → ¬ ω ∈ FinIV)
10	1, 9	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ ω ∈ FinIV

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146   ⊊ wpss 4015   ∖ cdif 4047  ∅c0 4280  {csn 4587   class class class wbr 5105  ωcom 7884   ≈ cen 8981  Fin^IVcfin4 10368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-om 7885  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin4 10375

This theorem is used by:  infpssALT  10401