MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf4 10303
Description: ω is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4 ¬ ω ∈ FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (ω ∈ FinIV → ω ∈ FinIV)
2 peano1 7875 . . . 4 ∅ ∈ ω
3 difsnpss 4809 . . . 4 (∅ ∈ ω ↔ (ω ∖ {∅}) ⊊ ω)
42, 3mpbi 229 . . 3 (ω ∖ {∅}) ⊊ ω
5 limom 7867 . . . . 5 Lim ω
65limenpsi 9148 . . . 4 (ω ∈ FinIV → ω ≈ (ω ∖ {∅}))
76ensymd 8997 . . 3 (ω ∈ FinIV → (ω ∖ {∅}) ≈ ω)
8 fin4i 10289 . . 3 (((ω ∖ {∅}) ⊊ ω ∧ (ω ∖ {∅}) ≈ ω) → ¬ ω ∈ FinIV)
94, 7, 8sylancr 587 . 2 (ω ∈ FinIV → ¬ ω ∈ FinIV)
101, 9pm2.65i 193 1 ¬ ω ∈ FinIV
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2106  cdif 3944  wpss 3948  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  ωcom 7851  cen 8932  FinIVcfin4 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin4 10278
This theorem is referenced by:  infpssALT  10304
  Copyright terms: Public domain W3C validator