Theorem fococnv2 6858

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 6805	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funcocnv2 6857	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
4		forn 6807	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
5	4	reseq2d 5980	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ( I ↾ ran 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
6	3, 5	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   I cid 5572  ^◡ccnv 5674  ran crn 5676   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536  –onto→wfo 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fo 6548

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  6859  foeqcnvco  7300