Theorem funcocnv2 6872

Description: Precomposition with the converse. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by BJ, 25-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
funcocnv2	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))

Proof of Theorem funcocnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 6560	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ (𝐹 ∘ ◡𝐹) ⊆ I ))
2	1	simprbi 503	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) ⊆ I )
3		iss 6039	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐹) ⊆ I ↔ (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ dom (𝐹 ∘ ◡𝐹)))
4	2, 3	sylib 221	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ dom (𝐹 ∘ ◡𝐹)))
5		dmcocnv2 5971	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ran 𝐹
6	5	reseq2i 5978	. 2 ⊢ ( I ↾ dom (𝐹 ∘ ◡𝐹)) = ( I ↾ ran 𝐹)
7	4, 6	eqtrdi 2814	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3900   I cid 5549  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  Rel wrel 5660  Fun wfun 6552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-fun 6560

This theorem is used by:  fococnv2  6874  f1cocnv2  6876  funcoeqres  6879  fcoinver  33270  tocyc01  33749  cocnv  38851  frege131d  44956  gricushgr  49220