Theorem f1ococnv2 6801

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6781	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fococnv2 6800	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  6803  f1ocnvfv2  7223  mapen  9069  hashfacen  14377  setcinv  18014  catcisolem  18034  symginv  19331  f1omvdco2  19377  gsumval3  19836  gsumzf1o  19841  rngcinv  20570  ringcinv  20604  psrass1lem  21888  evl1var  22280  pf1ind  22299  fcobij  32799  cocnvf1o  32808  symgfcoeu  33164  cycpmconjvlem  33223  cycpmconjs  33238  cyc3conja  33239  mplvrpmrhm  33712  erdsze2lem2  35398  ltrncoidN  40388  cdlemg46  40995  cdlemk45  41207  cdlemk55a  41219  tendocnv  41281  eldioph2  43004  rngcinvALTV  48522  ringcinvALTV  48556