Theorem f1ococnv2 6512

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6493	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fococnv2 6511	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   I cid 5350  ^◡ccnv 5445   ↾ cres 5448   ∘ ccom 5450  –onto→wfo 6226  –1-1-onto→wf1o 6227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pr 5224

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-br 4965  df-opab 5027  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  6514  f1ocnvfv2  6902  mapen  8531  hashfacen  13660  setcinv  17179  catcisolem  17195  symginv  18261  f1omvdco2  18307  gsumval3  18748  gsumzf1o  18753  psrass1lem  19845  evl1var  20181  pf1ind  20200  fcobij  30138  symgfcoeu  30377  cycpmconjvlem  30412  cycpmconjs  30428  cyc3conja  30429  erdsze2lem2  32053  ltrncoidN  36808  cdlemg46  37415  cdlemk45  37627  cdlemk55a  37639  tendocnv  37701  eldioph2  38857  rngcinv  43744  rngcinvALTV  43756  ringcinv  43795  ringcinvALTV  43819