Theorem f1ococnv2 6850

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6830	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fococnv2 6849	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   I cid 5545  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544

This theorem is used by:  f1ococnv1  6852  f1ocnvfv2  7283  mapen  9153  hashfacen  14592  setcinv  18258  catcisolem  18278  symginv  19609  f1omvdco2  19655  gsumval3  20114  gsumzf1o  20119  rngcinv  20882  ringcinv  20916  psrass1lem  22234  evl1var  22647  pf1ind  22666  fcobij  33305  cocnvf1o  33314  symgfcoeu  33636  cycpmconjvlem  33695  cycpmconjs  33710  cyc3conja  33711  mplvrpmrhm  34172  erdsze2lem2  35948  ltrncoidN  41165  cdlemg46  41772  cdlemk45  41984  cdlemk55a  41996  tendocnv  42058  eldioph2  43752  rngcinvALTV  49342  ringcinvALTV  49376