Theorem f1ococnv2 6883

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6862	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → 𝐹:𝐴⟶onto𝐵)
2		fococnv2 6882	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶onto𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1onto𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   I cid 5552  ^◡ccnv 5657   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573

This theorem is used by:  f1ococnv1  6885  f1ocnvfv2  7316  mapen  9198  hashfacen  14640  setcinv  18315  catcisolem  18335  symginv  19667  f1omvdco2  19713  gsumval3  20172  gsumzf1o  20177  rngcinv  20940  ringcinv  20974  psrass1lem  22296  evl1var  22709  pf1ind  22728  fcobij  33408  cocnvf1o  33417  symgfcoeu  33742  cycpmconjvlem  33801  cycpmconjs  33816  cyc3conja  33817  mplvrpmrhm  34290  erdsze2lem2  36177  nvo3  38230  ltrncoidN  41451  cdlemg46  42058  cdlemk45  42270  cdlemk55a  42282  tendocnv  42344  eldioph2  44039  rngcinvALTV  49646  ringcinvALTV  49680