Theorem f1ococnv2 6830

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6810	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fococnv2 6829	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   I cid 5535  ^◡ccnv 5640   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  –onto→wfo 6512  –1-1-onto→wf1o 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  6832  f1ocnvfv2  7255  mapen  9111  hashfacen  14426  setcinv  18059  catcisolem  18079  symginv  19339  f1omvdco2  19385  gsumval3  19844  gsumzf1o  19849  rngcinv  20553  ringcinv  20587  psrass1lem  21848  evl1var  22230  pf1ind  22249  fcobij  32652  symgfcoeu  33046  cycpmconjvlem  33105  cycpmconjs  33120  cyc3conja  33121  erdsze2lem2  35198  ltrncoidN  40129  cdlemg46  40736  cdlemk45  40948  cdlemk55a  40960  tendocnv  41022  eldioph2  42757  rngcinvALTV  48268  ringcinvALTV  48302