Theorem f1ococnv2 6853

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 6833	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
2		fococnv2 6852	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   I cid 5544  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  –onto→wfo 6537  –1-1-onto→wf1o 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546

This theorem is used by:  f1ococnv1  6855  f1ocnvfv2  7286  mapen  9164  hashfacen  14603  setcinv  18271  catcisolem  18291  symginv  19622  f1omvdco2  19668  gsumval3  20127  gsumzf1o  20132  rngcinv  20895  ringcinv  20929  psrass1lem  22247  evl1var  22660  pf1ind  22679  fcobij  33359  cocnvf1o  33368  symgfcoeu  33690  cycpmconjvlem  33749  cycpmconjs  33764  cyc3conja  33765  mplvrpmrhm  34226  erdsze2lem2  36056  ltrncoidN  41279  cdlemg46  41886  cdlemk45  42098  cdlemk55a  42110  tendocnv  42172  eldioph2  43867  rngcinvALTV  49467  ringcinvALTV  49501