Theorem frpoins2fg 6339

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 24-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins2fg.1	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
frpoins2fg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
frpoins2fg.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
frpoins2fg	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frpoins2fg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbsbc 3776	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑)
2		frpoins2fg.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		frpoins2fg.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbiev 2302	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ 𝜓)
6	5	ralbii 3087	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)[𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ ∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓)
7		frpoins2fg.1	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
9	6, 8	biimtrid 241	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)[𝑧 / 𝑦]𝜑 → 𝜑))
10	9	frpoinsg 6338	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  Ⅎwnf 1777  [wsb 2059   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  [wsbc 3772   Po wpo 5579   Fr wfr 5621   Se wse 5622  Predcpred 6293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-po 5581  df-fr 5624  df-se 5625  df-xp 5675  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294

This theorem is referenced by:  frpoins2g  6340  wfis2fg  6351