MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscyg 19795
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
iscyg.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
iscyg (๐บ โˆˆ CycGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ

Proof of Theorem iscyg
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6882 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
2 iscyg.1 . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
31, 2eqtr4di 2782 . . 3 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐ต)
4 fveq2 6882 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
5 iscyg.2 . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
64, 5eqtr4di 2782 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
76oveqd 7419 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘›(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘› ยท ๐‘ฅ))
87mpteq2dv 5241 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ)) = (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
98rneqd 5928 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ)) = ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)))
109, 3eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘” = ๐บ โ†’ (ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ)) = (Baseโ€˜๐‘”) โ†” ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต))
113, 10rexeqbidv 3335 . 2 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ)) = (Baseโ€˜๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต))
12 df-cyg 19794 . 2 CycGrp = {๐‘” โˆˆ Grp โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”)ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ)) = (Baseโ€˜๐‘”)}
1311, 12elrab2 3679 1 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   โ†ฆ cmpt 5222  ran crn 5668  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„คcz 12557  Basecbs 17149  Grpcgrp 18859  .gcmg 18991  CycGrpccyg 19793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-cnv 5675  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fv 6542  df-ov 7405  df-cyg 19794
This theorem is referenced by:  iscyg2  19798  iscyg3  19802  cyggrp  19806  cygctb  19808  ghmcyg  19812  ablfac2  20007  fincygsubgodexd  20031  zncyg  21432
  Copyright terms: Public domain W3C validator