![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iscyg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
iscyg.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg | โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fveq2 6882 | . . . 4 โข (๐ = ๐บ โ (Baseโ๐) = (Baseโ๐บ)) | |
2 | iscyg.1 | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
3 | 1, 2 | eqtr4di 2782 | . . 3 โข (๐ = ๐บ โ (Baseโ๐) = ๐ต) |
4 | fveq2 6882 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐บ โ (.gโ๐) = (.gโ๐บ)) | |
5 | iscyg.2 | . . . . . . . 8 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
6 | 4, 5 | eqtr4di 2782 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐บ โ (.gโ๐) = ยท ) |
7 | 6 | oveqd 7419 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐บ โ (๐(.gโ๐)๐ฅ) = (๐ ยท ๐ฅ)) |
8 | 7 | mpteq2dv 5241 | . . . . 5 โข (๐ = ๐บ โ (๐ โ โค โฆ (๐(.gโ๐)๐ฅ)) = (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ))) |
9 | 8 | rneqd 5928 | . . . 4 โข (๐ = ๐บ โ ran (๐ โ โค โฆ (๐(.gโ๐)๐ฅ)) = ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ))) |
10 | 9, 3 | eqeq12d 2740 | . . 3 โข (๐ = ๐บ โ (ran (๐ โ โค โฆ (๐(.gโ๐)๐ฅ)) = (Baseโ๐) โ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
11 | 3, 10 | rexeqbidv 3335 | . 2 โข (๐ = ๐บ โ (โ๐ฅ โ (Baseโ๐)ran (๐ โ โค โฆ (๐(.gโ๐)๐ฅ)) = (Baseโ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
12 | df-cyg 19794 | . 2 โข CycGrp = {๐ โ Grp โฃ โ๐ฅ โ (Baseโ๐)ran (๐ โ โค โฆ (๐(.gโ๐)๐ฅ)) = (Baseโ๐)} | |
13 | 11, 12 | elrab2 3679 | 1 โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3062 โฆ cmpt 5222 ran crn 5668 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โคcz 12557 Basecbs 17149 Grpcgrp 18859 .gcmg 18991 CycGrpccyg 19793 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-ext 2695 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-sb 2060 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-rex 3063 df-rab 3425 df-v 3468 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-cnv 5675 df-dm 5677 df-rn 5678 df-iota 6486 df-fv 6542 df-ov 7405 df-cyg 19794 |
This theorem is referenced by: iscyg2 19798 iscyg3 19802 cyggrp 19806 cygctb 19808 ghmcyg 19812 ablfac2 20007 fincygsubgodexd 20031 zncyg 21432 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |