![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iscyg2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A cyclic group is a group which contains a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
iscyg.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
iscyg3.e | โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg2 | โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง ๐ธ โ โ )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | iscyg.1 | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | iscyg.2 | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | 1, 2 | iscyg 19790 | . 2 โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
4 | iscyg3.e | . . . . 5 โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} | |
5 | 4 | neeq1i 3003 | . . . 4 โข (๐ธ โ โ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ โ ) |
6 | rabn0 4386 | . . . 4 โข ({๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ โ โ โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต) | |
7 | 5, 6 | bitri 274 | . . 3 โข (๐ธ โ โ โ โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต) |
8 | 7 | anbi2i 621 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ธ โ โ ) โ (๐บ โ Grp โง โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
9 | 3, 8 | bitr4i 277 | 1 โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง ๐ธ โ โ )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wne 2938 โwrex 3068 {crab 3430 โ c0 4323 โฆ cmpt 5232 ran crn 5678 โcfv 6544 (class class class)co 7413 โคcz 12564 Basecbs 17150 Grpcgrp 18857 .gcmg 18988 CycGrpccyg 19788 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-ne 2939 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rab 3431 df-v 3474 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-cnv 5685 df-dm 5687 df-rn 5688 df-iota 6496 df-fv 6552 df-ov 7416 df-cyg 19789 |
This theorem is referenced by: iscygd 19798 iscygodd 19799 cyggex2 19808 cyggexb 19810 cygzn 21347 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |