MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscyg2 19793
Description: A cyclic group is a group which contains a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
iscyg.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
iscyg3.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
Assertion
Ref Expression
iscyg2 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โ‰  โˆ…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem iscyg2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 iscyg.2 . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
31, 2iscyg 19790 . 2 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต))
4 iscyg3.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
54neeq1i 3003 . . . 4 (๐ธ โ‰  โˆ… โ†” {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต} โ‰  โˆ…)
6 rabn0 4386 . . . 4 ({๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต)
75, 6bitri 274 . . 3 (๐ธ โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต)
87anbi2i 621 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โ‰  โˆ…) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต))
93, 8bitr4i 277 1 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โ‰  โˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  {crab 3430  โˆ…c0 4323   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„คcz 12564  Basecbs 17150  Grpcgrp 18857  .gcmg 18988  CycGrpccyg 19788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7416  df-cyg 19789
This theorem is referenced by:  iscygd  19798  iscygodd  19799  cyggex2  19808  cyggexb  19810  cygzn  21347
  Copyright terms: Public domain W3C validator