![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iscyg2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A cyclic group is a group which contains a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
iscyg.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
iscyg3.e | โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg2 | โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง ๐ธ โ โ )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | iscyg.1 | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | iscyg.2 | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | 1, 2 | iscyg 19747 | . 2 โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
4 | iscyg3.e | . . . . 5 โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} | |
5 | 4 | neeq1i 3006 | . . . 4 โข (๐ธ โ โ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ โ ) |
6 | rabn0 4386 | . . . 4 โข ({๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ โ โ โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต) | |
7 | 5, 6 | bitri 275 | . . 3 โข (๐ธ โ โ โ โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต) |
8 | 7 | anbi2i 624 | . 2 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ธ โ โ ) โ (๐บ โ Grp โง โ๐ฅ โ ๐ต ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต)) |
9 | 3, 8 | bitr4i 278 | 1 โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง ๐ธ โ โ )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2941 โwrex 3071 {crab 3433 โ c0 4323 โฆ cmpt 5232 ran crn 5678 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โคcz 12558 Basecbs 17144 Grpcgrp 18819 .gcmg 18950 CycGrpccyg 19745 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-cnv 5685 df-dm 5687 df-rn 5688 df-iota 6496 df-fv 6552 df-ov 7412 df-cyg 19746 |
This theorem is referenced by: iscygd 19755 iscygodd 19756 cyggex2 19765 cyggexb 19767 cygzn 21126 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |