Theorem iscyg3 19827

Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscyg3	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝐺,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iscyg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg 19820	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵))
4	1, 2	mulgcl 19033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵)
8		frn 6677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵)
9		eqss 3951	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
10	9	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
12		dfss3 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)))
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))
14		ovex 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 · 𝑥) ∈ V
15	13, 14	elrnmpti 5919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
16	15	ralbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
17	12, 16	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
18	11, 17	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
19	18	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
20	19	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
21	3, 20	bitri 275	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℤcz 12500  Basecbs 17148  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  CycGrpccyg 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-cyg 19819

This theorem is referenced by:  cygabl  19832