Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscyg3 18716
 Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
iscyg3 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝐺,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iscyg3
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . 3 · = (.g𝐺)
31, 2iscyg 18709 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵))
41, 2mulgcl 17988 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
543expa 1109 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
65an32s 648 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
76fmpttd 6733 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵)
8 frn 6380 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵)
9 eqss 3899 . . . . . . 7 (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
109baib 536 . . . . . 6 (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
117, 8, 103syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
12 dfss3 3873 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)))
13 eqid 2793 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))
14 ovex 7039 . . . . . . . 8 (𝑛 · 𝑥) ∈ V
1513, 14elrnmpti 5706 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
1615ralbii 3130 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
1712, 16bitri 276 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
1811, 17syl6bb 288 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
1918rexbidva 3256 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
2019pm5.32i 575 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
213, 20bitri 276 1 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103  ∃wrex 3104   ⊆ wss 3854   ↦ cmpt 5035  ran crn 5436  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℤcz 11818  Basecbs 16300  Grpcgrp 17849  .gcmg 17969  CycGrpccyg 18707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-seq 13208  df-0g 16532  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-mulg 17970  df-cyg 18708 This theorem is referenced by:  cygabl  18720
 Copyright terms: Public domain W3C validator