Theorem iscyg3 19861

Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscyg3	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝐺,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iscyg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg 19854	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵))
4	1, 2	mulgcl 19067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵)
8		frn 6675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵)
9		eqss 3937	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
10	9	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
12		dfss3 3910	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)))
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))
14		ovex 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 · 𝑥) ∈ V
15	13, 14	elrnmpti 5917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
16	15	ralbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
17	12, 16	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
18	11, 17	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
19	18	rexbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
20	19	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
21	3, 20	bitri 275	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  Basecbs 17179  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  CycGrpccyg 19852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-cyg 19853

This theorem is referenced by:  cygabl  19866