Theorem iscyg3 19957

Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iscyg3	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝐺,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iscyg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg 19950	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵))
4	1, 2	mulgcl 19158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵)
8		frn 6715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵)
9		eqss 3953	. . . . . . 7 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
10	9	baib 544	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ⊆ 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
11	7, 8, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))))
12		dfss3 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)))
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥))
14		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 · 𝑥) ∈ V
15	13, 14	elrnmpti 5954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
16	15	ralbii 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
17	12, 16	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥))
18	11, 17	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
19	18	rexbidva 3187	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
20	19	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))
21	3, 20	bitri 278	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑥)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℤcz 12592  Basecbs 17270  Grpcgrp 19001  ._gcmg 19134  CycGrpccyg 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-seq 14040  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-cyg 19949

This theorem is referenced by:  cygabl  19962