Theorem cygctb 20115

Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cygctb	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem cygctb

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg 20102	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵)
5		ovex 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ V
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
7	5, 6	fnmpti 6687	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) Fn ℤ
8		df-fo 6549	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) Fn ℤ ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 722	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵)
10		omelon 9654	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
11		onenon 10037	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ dom card
13		znnen 16389	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ≈ ℕ
14		nnenom 14130	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
15	13, 14	entri 9043	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ω
16		ennum 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card)
18	12, 17	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ dom card
19		fodomnum 10143	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ℤ))
20	18, 19	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ℤ))
21		domentr 9048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
22	15, 21	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ℤ → 𝐵 ≼ ω)
23	20, 22	syl6 36	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
24	9, 23	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
25	24	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
26	4, 25	mpd 16	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  ran crn 5652  Oncon0 6365   Fn wfn 6538  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ωcom 7881   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979  cardccrd 10023  ℕcn 12342  ℤcz 12700  Basecbs 17396  Grpcgrp 19153  ._gcmg 19286  CycGrpccyg 20100

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-oi 9511  df-card 10027  df-acn 10030  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-cyg 20101

This theorem is used by: (None)