Theorem cygctb 19847

Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cygctb	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem cygctb

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg 19834	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵))
4	3	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵)
5		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ∈ V
6		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥))
7	5, 6	fnmpti 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) Fn ℤ
8		df-fo 6554	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) Fn ℤ ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 708	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵)
10		omelon 9670	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ On
11		onenon 9973	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ dom card
13		znnen 16189	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ≈ ℕ
14		nnenom 13978	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
15	13, 14	entri 9029	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ≈ ω
16		ennum 9971	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card)
18	12, 17	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ dom card
19		fodomnum 10081	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ℤ))
20	18, 19	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ℤ))
21		domentr 9034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
22	15, 21	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ ℤ → 𝐵 ≼ ω)
23	20, 22	syl6 35	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)):ℤ–onto→𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
24	9, 23	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
25	24	rexlimdva 3152	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ≼ ω))
26	4, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679  Oncon0 6369   Fn wfn 6543  –onto→wfo 6546  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ωcom 7870   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962  cardccrd 9959  ℕcn 12243  ℤcz 12589  Basecbs 17180  Grpcgrp 18890  ._gcmg 19023  CycGrpccyg 19832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-cyg 19833

This theorem is referenced by: (None)