MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zncyg 21432
Description: The group ℤ / 𝑛 is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
zncyg (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zncyg.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 21428 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 20146 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 20139 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Grp)
7 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8 eqid 2724 . . . . 5 (1r𝑌) = (1r𝑌)
97, 8ringidcl 20161 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
104, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11 eqid 2724 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12 eqid 2724 . . . . . . 7 (.g𝑌) = (.g𝑌)
1311, 12, 8zrhval2 21384 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
144, 13syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
1514rneqd 5928 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
161, 7, 11znzrhfo 21431 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17 forn 6799 . . . . 5 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1915, 18eqtr3d 2766 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌))
20 oveq2 7410 . . . . . . 7 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛(.g𝑌)𝑥) = (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌)))
2120mpteq2dv 5241 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2221rneqd 5928 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2322eqeq1d 2726 . . . 4 (𝑥 = (1r𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)))
2423rspcev 3604 . . 3 (((1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
2510, 19, 24syl2anc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
267, 12iscyg 19795 . 2 (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
276, 25, 26sylanbrc 582 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  cmpt 5222  ran crn 5668  ontowfo 6532  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cn0 12471  cz 12557  Basecbs 17149  Grpcgrp 18859  .gcmg 18991  CycGrpccyg 19793  1rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  ℤRHomczrh 21375  ℤ/nczn 21378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-cyg 19794  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-rsp 21064  df-2idl 21103  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-zn 21382
This theorem is referenced by:  cygth  21455
  Copyright terms: Public domain W3C validator