Theorem zncyg 21490

Description: The group ℤ / 𝑛ℤ is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncyg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zncyg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21486	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20165	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 20158	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Grp)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
9	7, 8	ringidcl 20185	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑌) = (.g‘𝑌)
13	11, 12, 8	zrhval2 21450	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
15	14	rneqd 5891	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
16	1, 7, 11	znzrhfo 21489	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17		forn 6757	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
19	15, 18	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌))
20		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛(.g‘𝑌)𝑥) = (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
21	20	mpteq2dv 5196	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
22	21	rneqd 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
23	22	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)))
24	23	rspcev 3585	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
25	10, 19, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
26	7, 12	iscyg 19793	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  Basecbs 17155  Grpcgrp 18847  ._gcmg 18981  CycGrpccyg 19791  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  ℤRHomczrh 21441  ℤ/nℤczn 21444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-nsg 19038  df-eqg 19039  df-ghm 19127  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-cyg 19792  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-lidl 21150  df-rsp 21151  df-2idl 21192  df-cnfld 21297  df-zring 21389  df-zrh 21445  df-zn 21448

This theorem is referenced by:  cygth  21513