MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zncyg 20292
Description: The group ℤ / 𝑛 is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
zncyg (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zncyg.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20288 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 18945 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 18939 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Grp)
7 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8 eqid 2778 . . . . 5 (1r𝑌) = (1r𝑌)
97, 8ringidcl 18955 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
104, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11 eqid 2778 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12 eqid 2778 . . . . . . 7 (.g𝑌) = (.g𝑌)
1311, 12, 8zrhval2 20253 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
144, 13syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
1514rneqd 5598 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
161, 7, 11znzrhfo 20291 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17 forn 6369 . . . . 5 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1915, 18eqtr3d 2816 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌))
20 oveq2 6930 . . . . . . 7 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛(.g𝑌)𝑥) = (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌)))
2120mpteq2dv 4980 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2221rneqd 5598 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2322eqeq1d 2780 . . . 4 (𝑥 = (1r𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)))
2423rspcev 3511 . . 3 (((1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
2510, 19, 24syl2anc 579 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
267, 12iscyg 18667 . 2 (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
276, 25, 26sylanbrc 578 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  cmpt 4965  ran crn 5356  ontowfo 6133  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cn0 11642  cz 11728  Basecbs 16255  Grpcgrp 17809  .gcmg 17927  CycGrpccyg 18665  1rcur 18888  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935  ℤRHomczrh 20244  ℤ/nczn 20247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-seq 13120  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977  df-ghm 18042  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-cyg 18666  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-2idl 19629  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-zn 20251
This theorem is referenced by:  cygth  20315
  Copyright terms: Public domain W3C validator