MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zncyg 21481
Description: The group ℤ / 𝑛 is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
zncyg (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zncyg.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 21477 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 20184 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 20177 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Grp)
7 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8 eqid 2728 . . . . 5 (1r𝑌) = (1r𝑌)
97, 8ringidcl 20201 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
104, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11 eqid 2728 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12 eqid 2728 . . . . . . 7 (.g𝑌) = (.g𝑌)
1311, 12, 8zrhval2 21433 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
144, 13syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
1514rneqd 5940 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
161, 7, 11znzrhfo 21480 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17 forn 6814 . . . . 5 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1915, 18eqtr3d 2770 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌))
20 oveq2 7428 . . . . . . 7 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛(.g𝑌)𝑥) = (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌)))
2120mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2221rneqd 5940 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2322eqeq1d 2730 . . . 4 (𝑥 = (1r𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)))
2423rspcev 3609 . . 3 (((1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
2510, 19, 24syl2anc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
267, 12iscyg 19833 . 2 (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
276, 25, 26sylanbrc 582 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3067  cmpt 5231  ran crn 5679  ontowfo 6546  cfv 6548  (class class class)co 7420  0cn0 12502  cz 12588  Basecbs 17179  Grpcgrp 18889  .gcmg 19022  CycGrpccyg 19831  1rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  ℤRHomczrh 21424  ℤ/nczn 21427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-cyg 19832  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-2idl 21143  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-zn 21431
This theorem is referenced by:  cygth  21504
  Copyright terms: Public domain W3C validator