Theorem zncyg 21585

Description: The group ℤ / 𝑛ℤ is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncyg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zncyg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21581	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20263	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 20256	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Grp)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
9	7, 8	ringidcl 20280	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑌) = (.g‘𝑌)
13	11, 12, 8	zrhval2 21537	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
15	14	rneqd 5952	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
16	1, 7, 11	znzrhfo 21584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17		forn 6824	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
19	15, 18	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌))
20		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛(.g‘𝑌)𝑥) = (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
21	20	mpteq2dv 5250	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
22	21	rneqd 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
23	22	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)))
24	23	rspcev 3622	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
25	10, 19, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
26	7, 12	iscyg 19912	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  –onto→wfo 6561  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  CycGrpccyg 19910  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nℤczn 21531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-cyg 19911  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535

This theorem is referenced by:  cygth  21608