MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zncyg 20688
Description: The group ℤ / 𝑛 is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
zncyg (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zncyg.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20684 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 19304 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Ring)
5 ringgrp 19298 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ Grp)
7 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8 eqid 2824 . . . . 5 (1r𝑌) = (1r𝑌)
97, 8ringidcl 19314 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
104, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11 eqid 2824 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12 eqid 2824 . . . . . . 7 (.g𝑌) = (.g𝑌)
1311, 12, 8zrhval2 20649 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
144, 13syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
1514rneqd 5795 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
161, 7, 11znzrhfo 20687 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17 forn 6581 . . . . 5 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
1915, 18eqtr3d 2861 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌))
20 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛(.g𝑌)𝑥) = (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌)))
2120mpteq2dv 5148 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2221rneqd 5795 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))))
2322eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑥 = (1r𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)))
2423rspcev 3609 . . 3 (((1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)(1r𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
2510, 19, 24syl2anc 587 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
267, 12iscyg 18994 . 2 (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
276, 25, 26sylanbrc 586 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  cmpt 5132  ran crn 5543  ontowfo 6341  cfv 6343  (class class class)co 7145  0cn0 11890  cz 11974  Basecbs 16479  Grpcgrp 18099  .gcmg 18220  CycGrpccyg 18992  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  ℤRHomczrh 20640  ℤ/nczn 20643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-seq 13370  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-imas 16777  df-qus 16778  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-cyg 18993  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19369  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-cnfld 20539  df-zring 20611  df-zrh 20644  df-zn 20647
This theorem is referenced by:  cygth  20711
  Copyright terms: Public domain W3C validator