Theorem zncyg 20756

Description: The group ℤ / 𝑛ℤ is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncyg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zncyg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 20752	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 19795	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 19788	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Grp)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
9	7, 8	ringidcl 19807	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑌) = (.g‘𝑌)
13	11, 12, 8	zrhval2 20710	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
15	14	rneqd 5847	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
16	1, 7, 11	znzrhfo 20755	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17		forn 6691	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
19	15, 18	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌))
20		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛(.g‘𝑌)𝑥) = (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
21	20	mpteq2dv 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
22	21	rneqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
23	22	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)))
24	23	rspcev 3561	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
25	10, 19, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
26	7, 12	iscyg 19479	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  ._gcmg 18700  CycGrpccyg 19477  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nℤczn 20704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-cyg 19478  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708

This theorem is referenced by:  cygth  20779