Theorem zncyg 21528

Description: The group ℤ / 𝑛ℤ is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncyg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zncyg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21524	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20226	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 20219	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Grp)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
9	7, 8	ringidcl 20246	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑌) = (.g‘𝑌)
13	11, 12, 8	zrhval2 21488	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
15	14	rneqd 5893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
16	1, 7, 11	znzrhfo 21527	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17		forn 6755	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
19	15, 18	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌))
20		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛(.g‘𝑌)𝑥) = (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
21	20	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
22	21	rneqd 5893	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
23	22	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)))
24	23	rspcev 3564	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
25	10, 19, 24	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
26	7, 12	iscyg 19854	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  –onto→wfo 6496  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  Basecbs 17179  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  CycGrpccyg 19852  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  ℤRHomczrh 21479  ℤ/nℤczn 21482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-cyg 19853  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-2idl 21248  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-zn 21486

This theorem is referenced by:  cygth  21551