Theorem zncyg 21590

Description: The group ℤ / 𝑛ℤ is cyclic for all 𝑛 (including 𝑛 = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncyg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem zncyg

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zncyg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20272	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Ring)
5		ringgrp 20265	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Grp)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
9	7, 8	ringidcl 20289	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
11		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
12		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑌) = (.g‘𝑌)
13	11, 12, 8	zrhval2 21542	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
15	14	rneqd 5963	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
16	1, 7, 11	znzrhfo 21589	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
17		forn 6837	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = (Base‘𝑌))
19	15, 18	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌))
20		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛(.g‘𝑌)𝑥) = (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
21	20	mpteq2dv 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
22	21	rneqd 5963	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
23	22	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑌) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌) ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)))
24	23	rspcev 3635	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)(1r‘𝑌))) = (Base‘𝑌)) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
25	10, 19, 24	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌))
26	7, 12	iscyg 19921	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CycGrp ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝑌)𝑥)) = (Base‘𝑌)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  ._gcmg 19107  CycGrpccyg 19919  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nℤczn 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-cyg 19920  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540

This theorem is referenced by:  cygth  21613