Theorem fincygsubgodexd 20242

Description: A finite cyclic group has subgroups of every possible order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodexd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
fincygsubgodexd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodexd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodexd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodexd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fincygsubgodexd

Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
2		fincygsubgodexd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	iscyg 20006	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵))
5	4	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))
8		cyggrp 20017	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12		fincygsubgodexd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
13		fincygsubgodexd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
14	2, 9, 13	hashfingrpnn 19096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
15		fincygsubgodexd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
16		nndivdvds 16351	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
18	12, 17	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
20	2, 3, 7, 10, 11, 19	fincygsubgd 20240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))))
22	21	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))))
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶))
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦))
25		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
26	15	nnne0d 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
27		divconjdvds 16405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
28	12, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
30	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
31	2, 3, 23, 24, 7, 10, 11, 25, 29, 30, 19	fincygsubgodd 20241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
33	14	nncnd 12273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
34	15	nncnd 12273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	14	nnne0d 12310	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
36	33, 34, 35, 26	ddcand 12035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
37	36	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
38	22, 32, 37	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = 𝐶)
39	20, 38	rspcedeq1vd 3583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
40	6, 39	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  0cc0 11124   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℤcz 12615  ♯chash 14394   ∥ cdvds 16342  Basecbs 17301  Grpcgrp 19057  ._gcmg 19190  SubGrpcsubg 19243  CycGrpccyg 20004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-od 19655  df-cyg 20005

This theorem is used by:  ablsimpgprmd  20244