Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincygsubgodexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincygsubgodexd 19231
 Description: A finite cyclic group has subgroups of every possible order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fincygsubgodexd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodexd.2 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
fincygsubgodexd.3 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodexd.4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodexd.5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fincygsubgodexd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fincygsubgodexd
Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fincygsubgodexd.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
2 fincygsubgodexd.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2801 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
42, 3iscyg 18994 . . . 4 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑦𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵))
54simprbi 500 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑦𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)
61, 5syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)
7 eqid 2801 . . . 4 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦))) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))
8 cyggrp 19005 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
91, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
109adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝑦𝐵)
12 fincygsubgodexd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
13 fincygsubgodexd.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
142, 9, 13hashfingrpnn 18131 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
15 fincygsubgodexd.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
16 nndivdvds 15611 . . . . . . 7 (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
1714, 15, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
1812, 17mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
1918adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
202, 3, 7, 10, 11, 19fincygsubgd 19229 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦))))
2221fveq2d 6653 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))))
23 eqid 2801 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶))
24 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦))
25 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)
2615nnne0d 11679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ 0)
27 divconjdvds 15660 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
2812, 26, 27syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
2928adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
3013adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
312, 3, 23, 24, 7, 10, 11, 25, 29, 30, 19fincygsubgodd 19230 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
3231adantr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
3314nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
3415nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3514nnne0d 11679 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
3633, 34, 35, 26ddcand 11429 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
3736ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
3822, 32, 373eqtrd 2840 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = 𝐶)
3920, 38rspcedeq1vd 3580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
406, 39rexlimddv 3253 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  0cc0 10530   / cdiv 11290  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15602  Basecbs 16478  Grpcgrp 18098  .gcmg 18219  SubGrpcsubg 18268  CycGrpccyg 18992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-od 18651  df-cyg 18993 This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  19233
 Copyright terms: Public domain W3C validator