Theorem fincygsubgodexd 20074

Description: A finite cyclic group has subgroups of every possible order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodexd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
fincygsubgodexd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodexd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodexd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodexd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fincygsubgodexd

Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
2		fincygsubgodexd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	iscyg 19838	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵))
5	4	simprbi 495	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))
8		cyggrp 19849	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12		fincygsubgodexd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
13		fincygsubgodexd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
14	2, 9, 13	hashfingrpnn 18933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
15		fincygsubgodexd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
16		nndivdvds 16239	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
17	14, 15, 16	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
18	12, 17	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
19	18	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
20	2, 3, 7, 10, 11, 19	fincygsubgd 20072	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))))
22	21	fveq2d 6898	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))))
23		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶))
24		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦))
25		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
26	15	nnne0d 12292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
27		divconjdvds 16291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
28	12, 26, 27	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
29	28	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
30	13	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
31	2, 3, 23, 24, 7, 10, 11, 25, 29, 30, 19	fincygsubgodd 20073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
32	31	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
33	14	nncnd 12258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
34	15	nncnd 12258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	14	nnne0d 12292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
36	33, 34, 35, 26	ddcand 12040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
37	36	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
38	22, 32, 37	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = 𝐶)
39	20, 38	rspcedeq1vd 3614	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
40	6, 39	rexlimddv 3151	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5678  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Fincfn 8962  0cc0 11138   / cdiv 11901  ℕcn 12242  ℤcz 12588  ♯chash 14321   ∥ cdvds 16230  Basecbs 17179  Grpcgrp 18894  ._gcmg 19027  SubGrpcsubg 19079  CycGrpccyg 19836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-od 19487  df-cyg 19837

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20076