Theorem fincygsubgodexd 20101

Description: A finite cyclic group has subgroups of every possible order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodexd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
fincygsubgodexd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodexd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodexd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodexd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fincygsubgodexd

Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
2		fincygsubgodexd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	iscyg 19865	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))
8		cyggrp 19876	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12		fincygsubgodexd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
13		fincygsubgodexd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
14	2, 9, 13	hashfingrpnn 18960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
15		fincygsubgodexd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
16		nndivdvds 16286	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
18	12, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
20	2, 3, 7, 10, 11, 19	fincygsubgd 20099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))))
22	21	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))))
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶))
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦))
25		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
26	15	nnne0d 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
27		divconjdvds 16339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
28	12, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
30	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
31	2, 3, 23, 24, 7, 10, 11, 25, 29, 30, 19	fincygsubgodd 20100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
33	14	nncnd 12261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
34	15	nncnd 12261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	14	nnne0d 12295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
36	33, 34, 35, 26	ddcand 12042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
37	36	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
38	22, 32, 37	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = 𝐶)
39	20, 38	rspcedeq1vd 3613	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
40	6, 39	rexlimddv 3148	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  0cc0 11134   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ♯chash 14353   ∥ cdvds 16277  Basecbs 17233  Grpcgrp 18921  ._gcmg 19055  SubGrpcsubg 19108  CycGrpccyg 19863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-od 19514  df-cyg 19864

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20103