Theorem fincygsubgodexd 20145

Description: A finite cyclic group has subgroups of every possible order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fincygsubgodexd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
fincygsubgodexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
fincygsubgodexd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
fincygsubgodexd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fincygsubgodexd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fincygsubgodexd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fincygsubgodexd

Dummy variables 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fincygsubgodexd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
2		fincygsubgodexd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	iscyg 19909	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵))
5	4	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))
8		cyggrp 19920	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12		fincygsubgodexd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ (♯‘𝐵))
13		fincygsubgodexd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
14	2, 9, 13	hashfingrpnn 19004	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
15		fincygsubgodexd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
16		nndivdvds 16285	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
17	14, 15, 16	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ))
18	12, 17	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∈ ℕ)
20	2, 3, 7, 10, 11, 19	fincygsubgd 20143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦))))
22	21	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))))
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶))
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦))
25		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)
26	15	nnne0d 12256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
27		divconjdvds 16339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∥ (♯‘𝐵) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
28	12, 26, 27	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
29	28	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐵) / 𝐶) ∥ (♯‘𝐵))
30	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
31	2, 3, 23, 24, 7, 10, 11, 25, 29, 30, 19	fincygsubgodd 20144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
32	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) = ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)))
33	14	nncnd 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
34	15	nncnd 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
35	14	nnne0d 12256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
36	33, 34, 35, 26	ddcand 11980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
37	36	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → ((♯‘𝐵) / ((♯‘𝐵) / 𝐶)) = 𝐶)
38	22, 32, 37	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) ∧ 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)(((♯‘𝐵) / 𝐶)(.g‘𝐺)𝑦)))) → (♯‘𝑥) = 𝐶)
39	20, 38	rspcedeq1vd 3587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)
40	6, 39	rexlimddv 3168	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5644  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8920  0cc0 11066   / cdiv 11837  ℕcn 12203  ℤcz 12561  ♯chash 14336   ∥ cdvds 16276  Basecbs 17235  Grpcgrp 18965  ._gcmg 19099  SubGrpcsubg 19152  CycGrpccyg 19907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-acn 9893  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-od 19558  df-cyg 19908

This theorem is referenced by:  ablsimpgprmd  20147