Theorem iscyggen2 19265

Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}

Assertion

Ref	Expression
iscyggen2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑛,𝑋,𝑥,𝑦   𝑛,𝐺,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem iscyggen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen 19264	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5	1, 2	mulgcl 18509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3expa 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 6932	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
9		frn 6552	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
10		eqss 3916	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
11	10	baib 539	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
13		dfss3 3888	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)))
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
15		ovex 7246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 · 𝑋) ∈ V
16	14, 15	elrnmpti 5829	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
17	16	ralbii 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
18	13, 17	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
19	12, 18	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋)))
20	19	pm5.32da 582	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
21	4, 20	syl5bb 286	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3866   ↦ cmpt 5135  ran crn 5552  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℤcz 12176  Basecbs 16760  Grpcgrp 18365  ._gcmg 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489

This theorem is referenced by:  cyggeninv  19267  iscygd  19271  cygznlem3  20534