Theorem iscyggen2 19787

Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}

Assertion

Ref	Expression
iscyggen2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑛,𝑋,𝑥,𝑦   𝑛,𝐺,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem iscyggen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen 19786	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
5	1, 2	mulgcl 18999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵)
9		frn 6677	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)):ℤ⟶𝐵 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵)
10		eqss 3959	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
11	10	baib 535	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ⊆ 𝐵 → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))))
13		dfss3 3932	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋))
15		ovex 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 · 𝑋) ∈ V
16	14, 15	elrnmpti 5915	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
17	16	ralbii 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
18	13, 17	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
19	12, 18	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋)))
20	19	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
21	4, 20	bitrid 283	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ⊆ wss 3911   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤcz 12505  Basecbs 17155  Grpcgrp 18841  ._gcmg 18975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976

This theorem is referenced by:  cyggeninv  19789  iscygd  19793  cygznlem3  21455