MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggex2 19682
Description: The exponent of a cyclic group is 0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggex2 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2733 . . 3 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 eqid 2733 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyg2 19667 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5 n0 4310 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
6 ssrab2 4041 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
7 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
86, 7sselid 3946 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
101, 2, 3, 9cyggenod2 19670 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
118, 10jca 513 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
1211ex 414 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))))
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
141, 13gexcl 19370 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16 hashcl 14265 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1716adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18 0nn0 12436 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
2017, 19ifclda 4525 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
21 breq2 5113 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
22 breq2 5113 . . . . . . . . 9 (0 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ 0 ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
231, 13gexdvds3 19380 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2423adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2515adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ0)
26 nn0z 12532 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℤ)
27 dvds0 16162 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 0)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ 0)
2921, 22, 24, 28ifbothda 4528 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
30 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
311, 13, 9gexod 19376 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
3231adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
3330, 32eqbrtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)
34 dvdseq 16204 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0) ∧ (𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 838 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
3635ex 414 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
3712, 36syld 47 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
3837exlimdv 1937 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
395, 38biimtrid 241 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
4039imp 408 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
414, 40sylbi 216 1 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  {crab 3406  c0 4286  ifcif 4490   class class class wbr 5109  cmpt 5192  ran crn 5638  cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  0cc0 11059  0cn0 12421  cz 12507  chash 14239  cdvds 16144  Basecbs 17091  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880  odcod 19314  gExcgex 19315  CycGrpccyg 19662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-dvds 16145  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-eqg 18935  df-od 19318  df-gex 19319  df-cyg 19663
This theorem is referenced by:  cyggex  19683
  Copyright terms: Public domain W3C validator