MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggex2 19930
Description: The exponent of a cyclic group is 0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggex2 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . . 3 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyg2 19915 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5 n0 4359 . . . 4 ({𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
6 ssrab2 4090 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵})
86, 7sselid 3993 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
101, 2, 3, 9cyggenod2 19918 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
118, 10jca 511 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
1211ex 412 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))))
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
141, 13gexcl 19613 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18 0nn0 12539 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
2017, 19ifclda 4566 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
21 breq2 5152 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
22 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (0 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ 0 ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
231, 13gexdvds3 19623 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2423adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2515adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ0)
26 nn0z 12636 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℤ)
27 dvds0 16306 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 0)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ 0)
2921, 22, 24, 28ifbothda 4569 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
30 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
311, 13, 9gexod 19619 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
3231adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
3330, 32eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)
34 dvdseq 16348 . . . . . . . 8 (((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0) ∧ (𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
3635ex 412 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑦𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
3712, 36syld 47 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
3837exlimdv 1931 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
395, 38biimtrid 242 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
4039imp 406 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
414, 40sylbi 217 1 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  0cn0 12524  cz 12611  chash 14366  cdvds 16287  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  odcod 19557  gExcgex 19558  CycGrpccyg 19910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-od 19561  df-gex 19562  df-cyg 19911
This theorem is referenced by:  cyggex  19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator