Theorem cyggex2 19915

Description: The exponent of a cyclic group is 0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggex2	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Proof of Theorem cyggex2

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyg2 19900	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5		n0 4353	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
6		ssrab2 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
8	6, 7	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
10	1, 2, 3, 9	cyggenod2 19903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
11	8, 10	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))))
13		cyggex.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
14	1, 13	gexcl 19598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16		hashcl 14395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18		0nn0 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ifclda 4561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
21		breq2 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
22		breq2 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ 0 ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
23	1, 13	gexdvds3 19608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
24	23	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
25	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ0)
26		nn0z 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → 𝐸 ∈ ℤ)
27		dvds0 16309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 0)
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ 0)
29	21, 22, 24, 28	ifbothda 4564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
30		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
31	1, 13, 9	gexod 19604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
32	31	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
33	30, 32	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)
34		dvdseq 16351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0) ∧ (𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
35	15, 20, 29, 33, 34	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
37	12, 36	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
38	37	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
39	5, 38	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
40	39	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
41	4, 40	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  ∅c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ♯chash 14369   ∥ cdvds 16290  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  odcod 19542  gExcgex 19543  CycGrpccyg 19895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-od 19546  df-gex 19547  df-cyg 19896

This theorem is referenced by:  cyggex  19916