Theorem cyggex2 20112

Description: The exponent of a cyclic group is 0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggex2	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Proof of Theorem cyggex2

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyg2 20097	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5		n0 4299	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
6		ssrab2 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
8	6, 7	sselid 3906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
10	1, 2, 3, 9	cyggenod2 20100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
11	8, 10	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
12	11	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))))
13		cyggex.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
14	1, 13	gexcl 19795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16		hashcl 14501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18		0nn0 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ifclda 4517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
21		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
22		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ 0 ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
23	1, 13	gexdvds3 19805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
24	23	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
25	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ0)
26		nn0z 12718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → 𝐸 ∈ ℤ)
27		dvds0 16442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 0)
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ 0)
29	21, 22, 24, 28	ifbothda 4520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
30		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
31	1, 13, 9	gexod 19801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
32	31	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
33	30, 32	eqbrtrrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)
34		dvdseq 16485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0) ∧ (𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
35	15, 20, 29, 33, 34	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
36	35	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
37	12, 36	syld 48	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
38	37	exlimdv 1965	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
39	5, 38	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
40	39	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
41	4, 40	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  ∅c0 4278  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  0cc0 11201  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ♯chash 14475   ∥ cdvds 16423  Basecbs 17388  Grpcgrp 19145  ._gcmg 19278  odcod 19739  gExcgex 19740  CycGrpccyg 20092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-dvds 16424  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-eqg 19336  df-od 19743  df-gex 19744  df-cyg 20093

This theorem is used by:  cyggex  20113