Theorem cyggex2 19498

Description: The exponent of a cyclic group is 0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggex2	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Proof of Theorem cyggex2

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyg2 19482	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5		n0 4280	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
6		ssrab2 4013	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
7		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
8	6, 7	sselid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
10	1, 2, 3, 9	cyggenod2 19485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
11	8, 10	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
12	11	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))))
13		cyggex.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
14	1, 13	gexcl 19185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐸 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16		hashcl 14071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
18		0nn0 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
20	17, 19	ifclda 4494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
21		breq2 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
22		breq2 5078	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) → (𝐸 ∥ 0 ↔ 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
23	1, 13	gexdvds3 19195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
24	23	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
25	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ0)
26		nn0z 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ0 → 𝐸 ∈ ℤ)
27		dvds0 15981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 0)
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ 0)
29	21, 22, 24, 28	ifbothda 4497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
30		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
31	1, 13, 9	gexod 19191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
32	31	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → ((od‘𝐺)‘𝑦) ∥ 𝐸)
33	30, 32	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)
34		dvdseq 16023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0) ∧ (𝐸 ∥ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∧ if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∥ 𝐸)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
35	15, 20, 29, 33, 34	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
36	35	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑦) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
37	12, 36	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
38	37	exlimdv 1936	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
39	5, 38	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)))
40	39	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅) → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
41	4, 40	sylbi 216	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  ∅c0 4256  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  ._gcmg 18700  odcod 19132  gExcgex 19133  CycGrpccyg 19477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-od 19136  df-gex 19137  df-cyg 19478

This theorem is referenced by:  cyggex  19499