Theorem cyggexb 19915

Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggexb	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem cyggexb

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cyggex.o	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3	1, 2	cyggex 19914	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
4	3	expcom 416	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
5	4	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
6		simpll 774	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simplr 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
10	1, 2	gexcl2 19605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐸 ∈ ℕ)
12		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
13	1, 2, 12	gexex 19869	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
14	6, 11, 13	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
15		simplr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
16	15	eqeq2d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)))
17		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵}
19	1, 17, 18, 12	cyggenod 19900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
20	8, 9, 19	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
21		ne0i 4288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅)
22	1, 17, 18	iscyg2 19898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
23	22	baib 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
24	8, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
25	21, 24	imbitrrid 248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} → 𝐺 ∈ CycGrp))
26	20, 25	sylbird 262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp))
27	26	expdimp 455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
28	16, 27	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 → 𝐺 ∈ CycGrp))
29	28	rexlimdva 3157	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 → 𝐺 ∈ CycGrp))
30	14, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
31	30	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐸 = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
32	5, 31	impbid 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080  {crab 3408  ∅c0 4280   ↦ cmpt 5175  ran crn 5641  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  ℕcn 12200  ℤcz 12558  ♯chash 14333  Basecbs 17221  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  odcod 19540  gExcgex 19541  Abelcabl 19797  CycGrpccyg 19893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-disj 5062  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-ec 8668  df-qs 8672  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690  df-dvds 16263  df-gcd 16505  df-prm 16682  df-pc 16849  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-od 19544  df-gex 19545  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-cyg 19894

This theorem is referenced by: (None)