Theorem cyggexb 18615

Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggexb	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem cyggexb

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cyggex.o	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3	1, 2	cyggex 18614	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
4	3	expcom 403	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
5	4	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
6		simpll 784	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 18513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 718	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simplr 786	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
10	1, 2	gexcl2 18317	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐸 ∈ ℕ)
12		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
13	1, 2, 12	gexex 18571	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
14	6, 11, 13	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
15		simplr 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
16	15	eqeq2d 2809	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)))
17		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵}
19	1, 17, 18, 12	cyggenod 18601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
20	8, 9, 19	syl2anc 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
21		ne0i 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅)
22	1, 17, 18	iscyg2 18599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
23	22	baib 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
24	8, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
25	21, 24	syl5ibr 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑦)) = 𝐵} → 𝐺 ∈ CycGrp))
26	20, 25	sylbird 252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp))
27	26	expdimp 445	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
28	16, 27	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 → 𝐺 ∈ CycGrp))
29	28	rexlimdva 3212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 → 𝐺 ∈ CycGrp))
30	14, 29	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
31	30	ex 402	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐸 = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
32	5, 31	impbid 204	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∃wrex 3090  {crab 3093  ∅c0 4115   ↦ cmpt 4922  ran crn 5313  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  ℕcn 11312  ℤcz 11666  ♯chash 13370  Basecbs 16184  Grpcgrp 17738  ._gcmg 17856  odcod 18257  gExcgex 18258  Abelcabl 18509  CycGrpccyg 18594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-disj 4812  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ec 7984  df-qs 7988  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-dvds 15320  df-gcd 15552  df-prm 15720  df-pc 15875  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-eqg 17906  df-od 18261  df-gex 18262  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-cyg 18595

This theorem is referenced by: (None)