MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggexb 19131
Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggexb ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem cyggexb
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cyggex.o . . . . 5 𝐸 = (gEx‘𝐺)
31, 2cyggex 19130 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
43expcom 417 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
54adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
6 simpll 767 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19022 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
87ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
101, 2gexcl2 18825 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
118, 9, 10syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐸 ∈ ℕ)
12 eqid 2738 . . . . . 6 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
131, 2, 12gexex 19085 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
146, 11, 13syl2anc 587 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
15 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
1615eqeq2d 2749 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)))
17 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
18 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} = {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵}
191, 17, 18, 12cyggenod 19115 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
208, 9, 19syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
21 ne0i 4221 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} → {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅)
221, 17, 18iscyg2 19113 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
2322baib 539 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
248, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
2521, 24syl5ibr 249 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} → 𝐺 ∈ CycGrp))
2620, 25sylbird 263 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ((𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp))
2726expdimp 456 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
2816, 27sylbid 243 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸𝐺 ∈ CycGrp))
2928rexlimdva 3193 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸𝐺 ∈ CycGrp))
3014, 29mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
3130ex 416 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐸 = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
325, 31impbid 215 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054  {crab 3057  c0 4209  cmpt 5107  ran crn 5520  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  cn 11709  cz 12055  chash 13775  Basecbs 16579  Grpcgrp 18212  .gcmg 18335  odcod 18763  gExcgex 18764  Abelcabl 19018  CycGrpccyg 19108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-disj 4993  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-ec 8315  df-qs 8319  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-sum 15129  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-prm 16106  df-pc 16267  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-eqg 18389  df-od 18767  df-gex 18768  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-cyg 19109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator