MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggexb 19683
Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
cyggex.o 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggexb ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem cyggexb
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cyggex.o . . . . 5 𝐸 = (gEx‘𝐺)
31, 2cyggex 19682 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
43expcom 415 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
54adantl 483 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐸 = (♯‘𝐵)))
6 simpll 766 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19574 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
87ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
101, 2gexcl2 19378 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐸 ∈ ℕ)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
131, 2, 12gexex 19638 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
146, 11, 13syl2anc 585 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸)
15 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐸 = (♯‘𝐵))
1615eqeq2d 2748 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)))
17 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
18 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} = {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵}
191, 17, 18, 12cyggenod 19668 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
208, 9, 19syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))))
21 ne0i 4299 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} → {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅)
221, 17, 18iscyg2 19666 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
2322baib 537 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
248, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} ≠ ∅))
2521, 24syl5ibr 246 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑦)) = 𝐵} → 𝐺 ∈ CycGrp))
2620, 25sylbird 260 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → ((𝑥𝐵 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp))
2726expdimp 454 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
2816, 27sylbid 239 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸𝐺 ∈ CycGrp))
2928rexlimdva 3153 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → (∃𝑥𝐵 ((od‘𝐺)‘𝑥) = 𝐸𝐺 ∈ CycGrp))
3014, 29mpd 15 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐸 = (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
3130ex 414 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐸 = (♯‘𝐵) → 𝐺 ∈ CycGrp))
325, 31impbid 211 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ CycGrp ↔ 𝐸 = (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074  {crab 3410  c0 4287  cmpt 5193  ran crn 5639  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cn 12160  cz 12506  chash 14237  Basecbs 17090  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  odcod 19313  gExcgex 19314  Abelcabl 19570  CycGrpccyg 19661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-od 19317  df-gex 19318  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-cyg 19662
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator