Theorem cygzn 21689

Description: A cyclic group with 𝑛 elements is isomorphic to ℤ / 𝑛ℤ, and an infinite cyclic group is isomorphic to ℤ / 0ℤ ≈ ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cygzn	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)

Proof of Theorem cygzn

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyg2 19952	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5	4	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
6		n0 4315	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
8		cygzn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
9		cygzn.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
11		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝐺 ∈ CycGrp)
12		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
13		eqid 2769	. . 3 ⊢ ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨((ℤRHom‘𝑌)‘𝑚), (𝑚(.g‘𝐺)𝑔)⟩) = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨((ℤRHom‘𝑌)‘𝑚), (𝑚(.g‘𝐺)𝑔)⟩)
14	1, 8, 9, 2, 10, 3, 11, 12, 13	cygznlem3 21688	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)
15	7, 14	exlimddv 1962	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423  ∅c0 4294  ifcif 4492  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  0cc0 11100  ℤcz 12591  ♯chash 14366  Basecbs 17269  Grpcgrp 19000  ._gcmg 19133   ≃_𝑔 cgic 19328  CycGrpccyg 19947  ℤRHomczrh 21618  ℤ/nℤczn 21621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-ghm 19284  df-gim 19329  df-gic 19330  df-od 19598  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-cyg 19948  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-rsp 21311  df-2idl 21360  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zrh 21622  df-zn 21625

This theorem is referenced by:  cygth  21690  cyggic  21691