Theorem cygzn 21786

Description: A cyclic group with 𝑛 elements is isomorphic to ℤ / 𝑛ℤ, and an infinite cyclic group is isomorphic to ℤ / 0ℤ ≈ ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cygzn	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)

Proof of Theorem cygzn

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyg2 20012	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5	4	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
6		n0 4300	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
8		cygzn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
9		cygzn.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
11		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝐺 ∈ CycGrp)
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨((ℤRHom‘𝑌)‘𝑚), (𝑚(.g‘𝐺)𝑔)⟩) = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨((ℤRHom‘𝑌)‘𝑚), (𝑚(.g‘𝐺)𝑔)⟩)
14	1, 8, 9, 2, 10, 3, 11, 12, 13	cygznlem3 21785	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)
15	7, 14	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  ∅c0 4279  ifcif 4482  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11127  ℤcz 12618  ♯chash 14397  Basecbs 17304  Grpcgrp 19060  ._gcmg 19193   ≃_𝑔 cgic 19388  CycGrpccyg 20007  ℤRHomczrh 21715  ℤ/nℤczn 21718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-imas 17597  df-qus 17598  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-nsg 19250  df-eqg 19251  df-ghm 19344  df-gim 19389  df-gic 19390  df-od 19658  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-cyg 20008  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-lidl 21398  df-rsp 21399  df-2idl 21455  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zrh 21719  df-zn 21722

This theorem is used by:  cygth  21787  cyggic  21788