Theorem cygzn 20885

Description: A cyclic group with 𝑛 elements is isomorphic to ℤ / 𝑛ℤ, and an infinite cyclic group is isomorphic to ℤ / 0ℤ ≈ ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygzn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n	⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cygzn	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)

Proof of Theorem cygzn

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygzn.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyg2 19578	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
5	4	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
6		n0 4294	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑔 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
8		cygzn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
9		cygzn.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
11		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝐺 ∈ CycGrp)
12		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨((ℤRHom‘𝑌)‘𝑚), (𝑚(.g‘𝐺)𝑔)⟩) = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨((ℤRHom‘𝑌)‘𝑚), (𝑚(.g‘𝐺)𝑔)⟩)
14	1, 8, 9, 2, 10, 3, 11, 12, 13	cygznlem3 20884	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}) → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)
15	7, 14	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  {crab 3403  ∅c0 4270  ifcif 4474  ⟨cop 4580   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  Fincfn 8805  0cc0 10973  ℤcz 12421  ♯chash 14146  Basecbs 17010  Grpcgrp 18674  ._gcmg 18797   ≃_𝑔 cgic 18971  CycGrpccyg 19573  ℤRHomczrh 20808  ℤ/nℤczn 20811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-inf2 9499  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051  ax-addf 11052  ax-mulf 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-tpos 8113  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-omul 8373  df-er 8570  df-ec 8572  df-qs 8576  df-map 8689  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-sup 9300  df-inf 9301  df-oi 9368  df-card 9797  df-acn 9800  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-dec 12540  df-uz 12685  df-rp 12833  df-fz 13342  df-fl 13614  df-mod 13692  df-seq 13824  df-exp 13885  df-hash 14147  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-0g 17250  df-imas 17317  df-qus 17318  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-nsg 18850  df-eqg 18851  df-ghm 18929  df-gim 18972  df-gic 18973  df-od 19233  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-cyg 19574  df-mgp 19817  df-ur 19834  df-ring 19881  df-cring 19882  df-oppr 19958  df-dvdsr 19979  df-rnghom 20055  df-subrg 20128  df-lmod 20232  df-lss 20301  df-lsp 20341  df-sra 20541  df-rgmod 20542  df-lidl 20543  df-rsp 20544  df-2idl 20610  df-cnfld 20705  df-zring 20778  df-zrh 20812  df-zn 20815

This theorem is referenced by:  cygth  20886  cyggic  20887