Theorem iscygodd 19810

Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscygodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscygodd.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
iscygodd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
iscygodd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
iscygodd.5	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iscygodd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem iscygodd

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygodd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		iscygodd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		iscygodd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))
4		iscygodd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		iscygodd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	4, 5	odcl 19458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
8	3, 7	eqeltrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	4	fvexi 6845	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	8, 11	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
15	4, 13, 14, 5	cyggenod 19806	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
16	1, 12, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
17	2, 3, 16	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
18	17	ne0d 4293	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
19	4, 13, 14	iscyg2 19804	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
20	1, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397  Vcvv 3438  ∅c0 4284   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8878  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ♯chash 14247  Basecbs 17130  Grpcgrp 18856  ._gcmg 18990  odcod 19446  CycGrpccyg 19799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-card 9842  df-acn 9845  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fz 13418  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18991  df-od 19450  df-cyg 19800

This theorem is referenced by:  prmcyg  19816  lt6abl  19817