Theorem iscygodd 20064

Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscygodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscygodd.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
iscygodd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
iscygodd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
iscygodd.5	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iscygodd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem iscygodd

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygodd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		iscygodd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		iscygodd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))
4		iscygodd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		iscygodd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	4, 5	odcl 19712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
7	2, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
8	3, 7	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	4	fvexi 6887	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	8, 11	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
15	4, 13, 14, 5	cyggenod 20060	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
16	1, 12, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
17	2, 3, 16	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
18	17	ne0d 4287	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
19	4, 13, 14	iscyg2 20058	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
20	1, 18, 19	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ♯chash 14442  Basecbs 17349  Grpcgrp 19106  ._gcmg 19239  odcod 19700  CycGrpccyg 20053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-acn 9995  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-dvds 16391  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-od 19704  df-cyg 20054

This theorem is used by:  prmcyg  20070  lt6abl  20071