Theorem iscygodd 19805

Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscygodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscygodd.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
iscygodd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
iscygodd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
iscygodd.5	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iscygodd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem iscygodd

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygodd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		iscygodd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		iscygodd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))
4		iscygodd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		iscygodd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	4, 5	odcl 19453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
8	3, 7	eqeltrrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	4	fvexi 6898	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	8, 11	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
15	4, 13, 14, 5	cyggenod 19801	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
16	1, 12, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
17	2, 3, 16	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
18	17	ne0d 4330	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
19	4, 13, 14	iscyg2 19799	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
20	1, 18, 19	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468  ∅c0 4317   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ♯chash 14292  Basecbs 17150  Grpcgrp 18860  ._gcmg 18992  odcod 19441  CycGrpccyg 19794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-od 19445  df-cyg 19795

This theorem is referenced by:  prmcyg  19811  lt6abl  19812