Theorem iscygodd 19793

Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscygodd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscygodd.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
iscygodd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
iscygodd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
iscygodd.5	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
iscygodd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem iscygodd

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygodd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		iscygodd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		iscygodd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))
4		iscygodd.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		iscygodd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	4, 5	odcl 19441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
7	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ0)
8	3, 7	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9	4	fvexi 6831	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		hashclb 14257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
12	8, 11	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵}
15	4, 13, 14, 5	cyggenod 19789	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
16	1, 12, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑋) = (♯‘𝐵))))
17	2, 3, 16	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵})
18	17	ne0d 4290	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
19	4, 13, 14	iscyg2 19787	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
20	1, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  {crab 3393  Vcvv 3434  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ♯chash 14229  Basecbs 17112  Grpcgrp 18838  ._gcmg 18972  odcod 19429  CycGrpccyg 19782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-acn 9827  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-od 19433  df-cyg 19783

This theorem is referenced by:  prmcyg  19799  lt6abl  19800