Theorem cyggeninv 19952

Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggeninv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen2 19950	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
5	4	simprbda 503	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		cyggeninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	1, 6	grpinvcl 19053	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 7	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	4	simplbda 504	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
11	10	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
12	11	cbvrexvw 3242	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13		znegcl 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
14	13	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
18	17	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
20	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 6	mulgneg2 19173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
22	19, 14, 20, 21	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
24		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
25	24	rspceeqv 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
26	14, 23, 25	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
27		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
28	27	rexbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
29	26, 28	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
30	29	rexlimdva 3164	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
31	12, 30	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
32	31	ralimdva 3175	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
33	9, 32	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
34	1, 2, 3	iscyggen2 19950	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
35	34	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
36	8, 33, 35	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3414   ↦ cmpt 5191  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  -cneg 11441  ℤcz 12590  Basecbs 17268  Grpcgrp 18999  inv_gcminusg 19000  ._gcmg 19132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133

This theorem is referenced by: (None)