MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 19660
Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . . . 5 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen2 19658 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
54simprbda 499 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐵)
6 cyggeninv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
71, 6grpinvcl 18798 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
85, 7syldan 591 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
94simplbda 500 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
1110eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
1211cbvrexvw 3226 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13 znegcl 12538 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615zcnd 12608 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
1716negnegd 11503 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
1817oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
205ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
211, 2, 6mulgneg2 18910 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2318, 22eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
24 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2524rspceeqv 3595 . . . . . . . 8 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
2614, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
27 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2827rexbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3029rexlimdva 3152 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3231ralimdva 3164 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
339, 32mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
341, 2, 3iscyggen2 19658 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
3534adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
368, 33, 35mpbir2and 711 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  -cneg 11386  cz 12499  Basecbs 17083  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  .gcmg 18872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator