MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 19667
Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
iscyg.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
iscyg3.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cyggeninv.n ๐‘ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 iscyg.2 . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 iscyg3.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
41, 2, 3iscyggen2 19665 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
54simprbda 500 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 cyggeninv.n . . . 4 ๐‘ = (invgโ€˜๐บ)
71, 6grpinvcl 18805 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
85, 7syldan 592 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
94simplbda 501 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹))
10 oveq1 7369 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท ๐‘‹))
1110eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹)))
1211cbvrexvw 3229 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹))
13 znegcl 12545 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
1716negnegd 11510 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ --๐‘š = ๐‘š)
1817oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท ๐‘‹))
19 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
205ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
211, 2, 6mulgneg2 18917 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2318, 22eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
24 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘› = -๐‘š โ†’ (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2524rspceeqv 3600 . . . . . . . 8 ((-๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2614, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
27 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) โ†” (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
2827rexbidv 3176 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
2926, 28syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3029rexlimdva 3153 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3231ralimdva 3165 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
339, 32mpd 15 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
341, 2, 3iscyggen2 19665 . . 3 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))))
3534adantr 482 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))))
368, 33, 35mpbir2and 712 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  {crab 3410   โ†ฆ cmpt 5193  ran crn 5639  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  -cneg 11393  โ„คcz 12506  Basecbs 17090  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  .gcmg 18879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator