Theorem cyggeninv 19398

Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggeninv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen2 19396	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
5	4	simprbda 498	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		cyggeninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	1, 6	grpinvcl 18542	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 7	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	4	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
11	10	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
12	11	cbvrexvw 3373	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13		znegcl 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
18	17	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19		simplll 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
20	5	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 6	mulgneg2 18652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
22	19, 14, 20, 21	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
24		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
25	24	rspceeqv 3567	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
26	14, 23, 25	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
27		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
28	27	rexbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
29	26, 28	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
30	29	rexlimdva 3212	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
31	12, 30	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
32	31	ralimdva 3102	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
33	9, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
34	1, 2, 3	iscyggen2 19396	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
35	34	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
36	8, 33, 35	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  -cneg 11136  ℤcz 12249  Basecbs 16840  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  ._gcmg 18615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616

This theorem is referenced by: (None)