Theorem cyggeninv 20058

Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggeninv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen2 20056	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
5	4	simprbda 504	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		cyggeninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	1, 6	grpinvcl 19159	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 7	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	4	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10		oveq1 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
11	10	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
12	11	cbvrexvw 3241	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13		znegcl 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
18	17	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
20	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 6	mulgneg2 19279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
22	19, 14, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
24		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
25	24	rspceeqv 3598	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
26	14, 23, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
27		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
28	27	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
29	26, 28	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
30	29	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
31	12, 30	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
32	31	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
33	9, 32	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
34	1, 2, 3	iscyggen2 20056	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
35	34	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
36	8, 33, 35	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ↦ cmpt 5185  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  -cneg 11513  ℤcz 12662  Basecbs 17348  Grpcgrp 19105  inv_gcminusg 19106  ._gcmg 19238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-seq 14113  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239

This theorem is used by: (None)