MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 19751
Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
iscyg.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
iscyg3.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cyggeninv.n ๐‘ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 iscyg.2 . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 iscyg3.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
41, 2, 3iscyggen2 19749 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
54simprbda 500 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 cyggeninv.n . . . 4 ๐‘ = (invgโ€˜๐บ)
71, 6grpinvcl 18872 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
85, 7syldan 592 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
94simplbda 501 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹))
10 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท ๐‘‹))
1110eqeq2d 2744 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹)))
1211cbvrexvw 3236 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹))
13 znegcl 12597 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12667 . . . . . . . . . . 11 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
1716negnegd 11562 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ --๐‘š = ๐‘š)
1817oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท ๐‘‹))
19 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
205ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
211, 2, 6mulgneg2 18988 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2318, 22eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
24 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘› = -๐‘š โ†’ (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2524rspceeqv 3634 . . . . . . . 8 ((-๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2614, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
27 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) โ†” (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
2827rexbidv 3179 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3029rexlimdva 3156 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3231ralimdva 3168 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
339, 32mpd 15 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
341, 2, 3iscyggen2 19749 . . 3 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))))
3534adantr 482 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))))
368, 33, 35mpbir2and 712 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  -cneg 11445  โ„คcz 12558  Basecbs 17144  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  .gcmg 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator