Theorem cyggeninv 19901

Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscyg3.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cyggeninv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscyg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		iscyg.2	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		iscyg3.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
4	1, 2, 3	iscyggen2 19899	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐸 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
5	4	simprbda 498	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		cyggeninv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
7	1, 6	grpinvcl 19005	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	5, 7	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
9	4	simplbda 499	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
11	10	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
12	11	cbvrexvw 3238	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13		znegcl 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
18	17	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
20	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	1, 2, 6	mulgneg2 19126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
22	19, 14, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
24		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋)))
25	24	rspceeqv 3645	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁‘𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
26	14, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
27		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
28	27	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
29	26, 28	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
30	29	rexlimdva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
31	12, 30	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
32	31	ralimdva 3167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋))))
33	9, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))
34	1, 2, 3	iscyggen2 19899	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
35	34	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁‘𝑋)))))
36	8, 33, 35	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  -cneg 11493  ℤcz 12613  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  ._gcmg 19085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086

This theorem is referenced by: (None)