MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 19753
Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
iscyg.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
iscyg3.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cyggeninv.n ๐‘ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 iscyg.2 . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 iscyg3.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
41, 2, 3iscyggen2 19751 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹))))
54simprbda 499 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 cyggeninv.n . . . 4 ๐‘ = (invgโ€˜๐บ)
71, 6grpinvcl 18874 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
85, 7syldan 591 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
94simplbda 500 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹))
10 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท ๐‘‹))
1110eqeq2d 2743 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹)))
1211cbvrexvw 3235 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹))
13 znegcl 12599 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘š โˆˆ โ„ค)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
1615zcnd 12669 . . . . . . . . . . 11 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
1716negnegd 11564 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ --๐‘š = ๐‘š)
1817oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท ๐‘‹))
19 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
205ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
211, 2, 6mulgneg2 18990 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (--๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2318, 22eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
24 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘› = -๐‘š โ†’ (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2524rspceeqv 3633 . . . . . . . 8 ((-๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘š ยท ๐‘‹) = (-๐‘š ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
2614, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
27 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) โ†” (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
2827rexbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3029rexlimdva 3155 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘š ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
3231ralimdva 3167 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹))))
339, 32mpd 15 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))
341, 2, 3iscyggen2 19751 . . 3 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))))
3534adantr 481 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ โ†” ((๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (๐‘› ยท (๐‘โ€˜๐‘‹)))))
368, 33, 35mpbir2and 711 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โ†ฆ cmpt 5231  ran crn 5677  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  -cneg 11447  โ„คcz 12560  Basecbs 17146  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822  .gcmg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator