Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 18998
 Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . . . 5 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen2 18996 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
54simprbda 502 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐵)
6 cyggeninv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
71, 6grpinvcl 18146 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
85, 7syldan 594 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
94simplbda 503 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10 oveq1 7142 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
1110eqeq2d 2809 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
1211cbvrexvw 3397 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13 znegcl 12007 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
1413adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615zcnd 12078 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
1716negnegd 10979 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
1817oveq1d 7150 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
205ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
211, 2, 6mulgneg2 18256 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2318, 22eqtr3d 2835 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
24 oveq1 7142 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2524rspceeqv 3586 . . . . . . . 8 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
2614, 23, 25syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
27 eqeq1 2802 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2827rexbidv 3256 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2926, 28syl5ibrcom 250 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3029rexlimdva 3243 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3112, 30syl5bi 245 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3231ralimdva 3144 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
339, 32mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
341, 2, 3iscyggen2 18996 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
3534adantr 484 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
368, 33, 35mpbir2and 712 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  -cneg 10862  ℤcz 11971  Basecbs 16477  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098  .gcmg 18219 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-seq 13367  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18220 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator