MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggeninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyggeninv 19579
Description: The inverse of a cyclic generator is a generator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2 · = (.g𝐺)
iscyg3.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cyggeninv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
cyggeninv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem cyggeninv
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 iscyg.2 . . . . 5 · = (.g𝐺)
3 iscyg3.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
41, 2, 3iscyggen2 19577 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
54simprbda 500 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐵)
6 cyggeninv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
71, 6grpinvcl 18724 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
85, 7syldan 592 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
94simplbda 501 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
10 oveq1 7349 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
1110eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋)))
1211cbvrexvw 3223 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋))
13 znegcl 12461 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → -𝑚 ∈ ℤ)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -𝑚 ∈ ℤ)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615zcnd 12533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
1716negnegd 11429 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → --𝑚 = 𝑚)
1817oveq1d 7357 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
19 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
205ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
211, 2, 6mulgneg2 18834 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2219, 14, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (--𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2318, 22eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
24 oveq1 7349 . . . . . . . . 9 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · (𝑁𝑋)) = (-𝑚 · (𝑁𝑋)))
2524rspceeqv 3588 . . . . . . . 8 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑋) = (-𝑚 · (𝑁𝑋))) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
2614, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
27 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2827rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
2926, 28syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3029rexlimdva 3149 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑚 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3112, 30biimtrid 241 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) ∧ 𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
3231ralimdva 3161 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋))))
339, 32mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))
341, 2, 3iscyggen2 19577 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
3534adantr 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ((𝑁𝑋) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · (𝑁𝑋)))))
368, 33, 35mpbir2and 711 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  cmpt 5180  ran crn 5626  cfv 6484  (class class class)co 7342  -cneg 11312  cz 12425  Basecbs 17010  Grpcgrp 18674  invgcminusg 18675  .gcmg 18797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-seq 13828  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-mulg 18798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator