Theorem iscygd 19487

Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscygd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
iscygd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
iscygd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
iscygd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐵   𝑛,𝑋,𝑦   𝑛,𝐺,𝑦   𝜑,𝑦   · ,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem iscygd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		iscygd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		iscygd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
4	3	ralrimiva 3103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
5		iscyg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		iscyg.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
8	5, 6, 7	iscyggen2 19481	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
10	2, 4, 9	mpbir2and 710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵})
11	10	ne0d 4269	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
12	5, 6, 7	iscyg2 19482	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
13	1, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  ∅c0 4256   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℤcz 12319  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  ._gcmg 18700  CycGrpccyg 19477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-cyg 19478

This theorem is referenced by:  0cyg  19494  ghmcyg  19497  cycsubgcyg  19502  ablsimpgcygd  19709  zringcyg  20691  frgpcyg  20781