Theorem iscygd 18999

Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscyg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
iscyg.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
iscygd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
iscygd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
iscygd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
iscygd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐵   𝑛,𝑋,𝑦   𝑛,𝐺,𝑦   𝜑,𝑦   · ,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem iscygd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscygd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		iscygd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		iscygd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
4	3	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))
5		iscyg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		iscyg.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
8	5, 6, 7	iscyggen2 18993	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑋))))
10	2, 4, 9	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵})
11	10	ne0d 4251	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅)
12	5, 6, 7	iscyg2 18994	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ≠ ∅))
13	1, 11, 12	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  ∅c0 4243   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  Basecbs 16475  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  CycGrpccyg 18989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-cyg 18990

This theorem is referenced by:  0cyg  19006  ghmcyg  19009  cycsubgcyg  19014  ablsimpgcygd  19221  zringcyg  20184  frgpcyg  20265