![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iscygd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
iscyg.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
iscyg.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
iscygd.3 | โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
iscygd.4 | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
iscygd.5 | โข ((๐ โง ๐ฆ โ ๐ต) โ โ๐ โ โค ๐ฆ = (๐ ยท ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
iscygd | โข (๐ โ ๐บ โ CycGrp) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | iscygd.3 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) | |
2 | iscygd.4 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | iscygd.5 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฆ โ ๐ต) โ โ๐ โ โค ๐ฆ = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 3 | ralrimiva 3144 | . . . 4 โข (๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ โ โค ๐ฆ = (๐ ยท ๐)) |
5 | iscyg.1 | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
6 | iscyg.2 | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
7 | eqid 2730 | . . . . . 6 โข {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} | |
8 | 5, 6, 7 | iscyggen2 19792 | . . . . 5 โข (๐บ โ Grp โ (๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ โ โค ๐ฆ = (๐ ยท ๐)))) |
9 | 1, 8 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ โ โค ๐ฆ = (๐ ยท ๐)))) |
10 | 2, 4, 9 | mpbir2and 709 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต}) |
11 | 10 | ne0d 4336 | . 2 โข (๐ โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ โ ) |
12 | 5, 6, 7 | iscyg2 19793 | . 2 โข (๐บ โ CycGrp โ (๐บ โ Grp โง {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} โ โ )) |
13 | 1, 11, 12 | sylanbrc 581 | 1 โข (๐ โ ๐บ โ CycGrp) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wne 2938 โwral 3059 โwrex 3068 {crab 3430 โ c0 4323 โฆ cmpt 5232 ran crn 5678 โcfv 6544 (class class class)co 7413 โคcz 12564 Basecbs 17150 Grpcgrp 18857 .gcmg 18988 CycGrpccyg 19788 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7729 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11452 df-neg 11453 df-nn 12219 df-n0 12479 df-z 12565 df-uz 12829 df-fz 13491 df-seq 13973 df-0g 17393 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-grp 18860 df-minusg 18861 df-mulg 18989 df-cyg 19789 |
This theorem is referenced by: 0cyg 19804 ghmcyg 19807 cycsubgcyg 19812 ablsimpgcygd 20019 zringcyg 21242 frgpcyg 21350 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |