HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem issh 30461
Description: Subspace ๐ป of a Hilbert space. A subspace is a subset of Hilbert space which contains the zero vector and is closed under vector addition and scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
Proof of Theorem issh
Dummy variable โ„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30252 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
21elpw2 5346 . . 3 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†” ๐ป โŠ† โ„‹)
3 3anass 1096 . . 3 ((0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป) โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
42, 3anbi12i 628 . 2 ((๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)) โ†” (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))))
5 eleq2 2823 . . . 4 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (0โ„Ž โˆˆ โ„Ž โ†” 0โ„Ž โˆˆ ๐ป))
6 id 22 . . . . . . 7 (โ„Ž = ๐ป โ†’ โ„Ž = ๐ป)
76sqxpeqd 5709 . . . . . 6 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (โ„Ž ร— โ„Ž) = (๐ป ร— ๐ป))
87imaeq2d 6060 . . . . 5 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) = ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)))
98, 6sseq12d 4016 . . . 4 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โ†” ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))
10 xpeq2 5698 . . . . . 6 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (โ„‚ ร— โ„Ž) = (โ„‚ ร— ๐ป))
1110imaeq2d 6060 . . . . 5 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) = ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)))
1211, 6sseq12d 4016 . . . 4 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โ†” ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))
135, 9, 123anbi123d 1437 . . 3 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ((0โ„Ž โˆˆ โ„Ž โˆง ( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž) โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
14 df-sh 30460 . . 3 Sโ„‹ = {โ„Ž โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โˆฃ (0โ„Ž โˆˆ โ„Ž โˆง ( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž)}
1513, 14elrab2 3687 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
16 anass 470 . 2 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)) โ†” (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))))
174, 15, 163bitr4i 303 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949  ๐’ซ cpw 4603   ร— cxp 5675   โ€œ cima 5680  โ„‚cc 11108   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174  0โ„Žc0v 30177   Sโ„‹ csh 30181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-hilex 30252
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-sh 30460
This theorem is referenced by:  issh2  30462  shss  30463  sh0  30469
  Copyright terms: Public domain W3C validator