HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issh 29858
Description: Subspace ๐ป of a Hilbert space. A subspace is a subset of Hilbert space which contains the zero vector and is closed under vector addition and scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))

Proof of Theorem issh
Dummy variable โ„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29649 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
21elpw2 5289 . . 3 (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โ†” ๐ป โŠ† โ„‹)
3 3anass 1094 . . 3 ((0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป) โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
42, 3anbi12i 627 . 2 ((๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)) โ†” (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))))
5 eleq2 2825 . . . 4 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (0โ„Ž โˆˆ โ„Ž โ†” 0โ„Ž โˆˆ ๐ป))
6 id 22 . . . . . . 7 (โ„Ž = ๐ป โ†’ โ„Ž = ๐ป)
76sqxpeqd 5652 . . . . . 6 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (โ„Ž ร— โ„Ž) = (๐ป ร— ๐ป))
87imaeq2d 5999 . . . . 5 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) = ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)))
98, 6sseq12d 3965 . . . 4 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โ†” ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))
10 xpeq2 5641 . . . . . 6 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (โ„‚ ร— โ„Ž) = (โ„‚ ร— ๐ป))
1110imaeq2d 5999 . . . . 5 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) = ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)))
1211, 6sseq12d 3965 . . . 4 (โ„Ž = ๐ป โ†’ (( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โ†” ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))
135, 9, 123anbi123d 1435 . . 3 (โ„Ž = ๐ป โ†’ ((0โ„Ž โˆˆ โ„Ž โˆง ( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž) โ†” (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
14 df-sh 29857 . . 3 Sโ„‹ = {โ„Ž โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โˆฃ (0โ„Ž โˆˆ โ„Ž โˆง ( +โ„Ž โ€œ (โ„Ž ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— โ„Ž)) โŠ† โ„Ž)}
1513, 14elrab2 3637 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” (๐ป โˆˆ ๐’ซ โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง ( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
16 anass 469 . 2 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)) โ†” (๐ป โŠ† โ„‹ โˆง (0โ„Ž โˆˆ ๐ป โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป))))
174, 15, 163bitr4i 302 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โŠ† wss 3898  ๐’ซ cpw 4547   ร— cxp 5618   โ€œ cima 5623  โ„‚cc 10970   โ„‹chba 29569   +โ„Ž cva 29570   ยทโ„Ž csm 29571  0โ„Žc0v 29574   Sโ„‹ csh 29578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-hilex 29649
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5626  df-cnv 5628  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-sh 29857
This theorem is referenced by:  issh2  29859  shss  29860  sh0  29866
  Copyright terms: Public domain W3C validator