Theorem sh0 31697

Description: The zero vector belongs to any subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sh0	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)

Proof of Theorem sh0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh 31689	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (( +ℎ “ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ 𝐻 ∧ ( ·ℎ “ (ℂ × 𝐻)) ⊆ 𝐻)))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻))
3	2	simprd 501	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5653   “ cima 5658  ℂcc 11122   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401   ·_ℎ csm 31402  0_ℎc0v 31405   S_ℋ csh 31409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-hilex 31480

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-sh 31688

This theorem is used by:  ch0  31709  hhssabloilem  31742  hhssnv  31745  oc0  31771  ocin  31777  shscli  31798  shsel1  31802  shintcli  31810  shunssi  31849  omlsii  31884  sh0le  31921  imaelshi  32539  shatomistici  32842