HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issh2 31018
Description: Subspace ๐ป of a Hilbert space. A subspace is a subset of Hilbert space which contains the zero vector and is closed under vector addition and scalar multiplication. Definition of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem issh2
StepHypRef Expression
1 issh 31017 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โІ ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โІ ๐ป)))
2 ax-hfvadd 30809 . . . . . . 7 +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
3 ffun 6725 . . . . . . 7 ( +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹ โ†’ Fun +โ„Ž )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 Fun +โ„Ž
5 xpss12 5693 . . . . . . . 8 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง ๐ป โІ โ„‹) โ†’ (๐ป ร— ๐ป) โІ ( โ„‹ ร— โ„‹))
65anidms 566 . . . . . . 7 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (๐ป ร— ๐ป) โІ ( โ„‹ ร— โ„‹))
72fdmi 6734 . . . . . . 7 dom +โ„Ž = ( โ„‹ ร— โ„‹)
86, 7sseqtrrdi 4031 . . . . . 6 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (๐ป ร— ๐ป) โІ dom +โ„Ž )
9 funimassov 7598 . . . . . 6 ((Fun +โ„Ž โˆง (๐ป ร— ๐ป) โІ dom +โ„Ž ) โ†’ (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โІ ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
104, 8, 9sylancr 586 . . . . 5 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โІ ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
11 ax-hfvmul 30814 . . . . . . 7 ยทโ„Ž :(โ„‚ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
12 ffun 6725 . . . . . . 7 ( ยทโ„Ž :(โ„‚ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹ โ†’ Fun ยทโ„Ž )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 Fun ยทโ„Ž
14 xpss2 5698 . . . . . . 7 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โ„‚ ร— ๐ป) โІ (โ„‚ ร— โ„‹))
1511fdmi 6734 . . . . . . 7 dom ยทโ„Ž = (โ„‚ ร— โ„‹)
1614, 15sseqtrrdi 4031 . . . . . 6 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (โ„‚ ร— ๐ป) โІ dom ยทโ„Ž )
17 funimassov 7598 . . . . . 6 ((Fun ยทโ„Ž โˆง (โ„‚ ร— ๐ป) โІ dom ยทโ„Ž ) โ†’ (( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โІ ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
1813, 16, 17sylancr 586 . . . . 5 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ (( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โІ ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
1910, 18anbi12d 631 . . . 4 (๐ป โІ โ„‹ โ†’ ((( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โІ ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โІ ๐ป) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
2019adantr 480 . . 3 ((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โ†’ ((( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โІ ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โІ ๐ป) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
2120pm5.32i 574 . 2 (((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โІ ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โІ ๐ป)) โ†” ((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
221, 21bitri 275 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โІ โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โІ wss 3947   ร— cxp 5676  dom cdm 5678   โ€œ cima 5681  Fun wfun 6542  โŸถwf 6544  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136   โ„‹chba 30728   +โ„Ž cva 30729   ยทโ„Ž csm 30730  0โ„Žc0v 30733   Sโ„‹ csh 30737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-hilex 30808  ax-hfvadd 30809  ax-hfvmul 30814
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-sh 31016
This theorem is referenced by:  shaddcl  31026  shmulcl  31027  issh3  31028  helch  31052  hsn0elch  31057  hhshsslem2  31077  ocsh  31092  shscli  31126  shintcli  31138  imaelshi  31867
  Copyright terms: Public domain W3C validator