HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issh2 30457
Description: Subspace ๐ป of a Hilbert space. A subspace is a subset of Hilbert space which contains the zero vector and is closed under vector addition and scalar multiplication. Definition of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem issh2
StepHypRef Expression
1 issh 30456 . 2 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)))
2 ax-hfvadd 30248 . . . . . . 7 +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
3 ffun 6720 . . . . . . 7 ( +โ„Ž :( โ„‹ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹ โ†’ Fun +โ„Ž )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 Fun +โ„Ž
5 xpss12 5691 . . . . . . . 8 ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง ๐ป โŠ† โ„‹) โ†’ (๐ป ร— ๐ป) โŠ† ( โ„‹ ร— โ„‹))
65anidms 567 . . . . . . 7 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (๐ป ร— ๐ป) โŠ† ( โ„‹ ร— โ„‹))
72fdmi 6729 . . . . . . 7 dom +โ„Ž = ( โ„‹ ร— โ„‹)
86, 7sseqtrrdi 4033 . . . . . 6 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (๐ป ร— ๐ป) โŠ† dom +โ„Ž )
9 funimassov 7583 . . . . . 6 ((Fun +โ„Ž โˆง (๐ป ร— ๐ป) โŠ† dom +โ„Ž ) โ†’ (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
104, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
11 ax-hfvmul 30253 . . . . . . 7 ยทโ„Ž :(โ„‚ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹
12 ffun 6720 . . . . . . 7 ( ยทโ„Ž :(โ„‚ ร— โ„‹)โŸถ โ„‹ โ†’ Fun ยทโ„Ž )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 Fun ยทโ„Ž
14 xpss2 5696 . . . . . . 7 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โ„‚ ร— ๐ป) โŠ† (โ„‚ ร— โ„‹))
1511fdmi 6729 . . . . . . 7 dom ยทโ„Ž = (โ„‚ ร— โ„‹)
1614, 15sseqtrrdi 4033 . . . . . 6 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (โ„‚ ร— ๐ป) โŠ† dom ยทโ„Ž )
17 funimassov 7583 . . . . . 6 ((Fun ยทโ„Ž โˆง (โ„‚ ร— ๐ป) โŠ† dom ยทโ„Ž ) โ†’ (( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
1813, 16, 17sylancr 587 . . . . 5 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ (( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป))
1910, 18anbi12d 631 . . . 4 (๐ป โŠ† โ„‹ โ†’ ((( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
2019adantr 481 . . 3 ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โ†’ ((( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป) โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
2120pm5.32i 575 . 2 (((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (( +โ„Ž โ€œ (๐ป ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป โˆง ( ยทโ„Ž โ€œ (โ„‚ ร— ๐ป)) โŠ† ๐ป)) โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
221, 21bitri 274 1 (๐ป โˆˆ Sโ„‹ โ†” ((๐ป โŠ† โ„‹ โˆง 0โ„Ž โˆˆ ๐ป) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3948   ร— cxp 5674  dom cdm 5676   โ€œ cima 5679  Fun wfun 6537  โŸถwf 6539  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169  0โ„Žc0v 30172   Sโ„‹ csh 30176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hfvmul 30253
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-sh 30455
This theorem is referenced by:  shaddcl  30465  shmulcl  30466  issh3  30467  helch  30491  hsn0elch  30496  hhshsslem2  30516  ocsh  30531  shscli  30565  shintcli  30577  imaelshi  31306
  Copyright terms: Public domain W3C validator