MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latcl2 18428
Description: The join and meet of any two elements exist. (Contributed by NM, 14-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
latcl2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latcl2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latcl2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
latcl2.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
latcl2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
latcl2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
latcl2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ))

Proof of Theorem latcl2
StepHypRef Expression
1 latcl2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 latcl2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
31, 2opelxpd 5717 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
4 latcl2.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 latcl2.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 latcl2.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 latcl2.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
85, 6, 7islat 18425 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))))
94, 8sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))))
109simprld 771 . . 3 (πœ‘ β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
113, 10eleqtrrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
129simprrd 773 . . 3 (πœ‘ β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
133, 12eleqtrrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ )
1411, 13jca 511 1 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  Posetcpo 18299  joincjn 18303  meetcmee 18304  Latclat 18423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fv 6556  df-lat 18424
This theorem is referenced by:  latlej1  18440  latlej2  18441  latjle12  18442  latmle1  18456  latmle2  18457  latlem12  18458
  Copyright terms: Public domain W3C validator