MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlej2 17661
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 29199 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlej2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 simp1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1131 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2826 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 17648 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
98simpld 495 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin2 17613 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cop 4570   class class class wbr 5063  dom cdm 5554  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  Latclat 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-lub 17574  df-join 17576  df-lat 17646
This theorem is referenced by:  latleeqj1  17663  latjlej1  17665  latnlej  17668  latnlej2  17671  latjass  17695  lubun  17723  oldmm1  36220  cmtcomlemN  36251  cmtbr4N  36258  cvlexchb1  36333  cvlatexch1  36339  cvrval5  36418  2llnjaN  36569  4atlem3b  36601  2lplnja  36622  dalem5  36670  dalem17  36683  dalem39  36714  dalem43  36718  elpaddn0  36803  pmapjoin  36855  dalawlem2  36875  dalawlem11  36884  dalawlem12  36885  lautj  37096  trljat2  37170  cdleme0cq  37218  cdleme1  37230  cdleme3  37240  cdleme5  37243  cdleme7ga  37251  cdleme10  37257  cdleme15b  37278  cdleme16b  37282  cdleme20k  37322  cdleme22e  37347  cdleme22eALTN  37348  cdleme23c  37354  cdleme28a  37373  cdleme32e  37448  cdleme35a  37451  cdlemg4c  37615  cdlemg6c  37623  trlcolem  37729  cdlemi1  37821  dia2dimlem2  38068  cdlemm10N  38121  dihord2pre2  38229  dihord5apre  38265  dihjatc1  38314
  Copyright terms: Public domain W3C validator