MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlej2 18337
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 30397 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlej2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 simp1 1136 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1137 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1138 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2736 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 18324 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
98simpld 495 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin2 18273 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4592   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  lecple 17139  joincjn 18199  meetcmee 18200  Latclat 18319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-lub 18234  df-join 18236  df-lat 18320
This theorem is referenced by:  latleeqj1  18339  latjlej1  18341  latnlej  18344  latnlej2  18347  latjass  18371  lubun  18403  oldmm1  37669  cmtcomlemN  37700  cmtbr4N  37707  cvlexchb1  37782  cvlatexch1  37788  cvrval5  37868  2llnjaN  38019  4atlem3b  38051  2lplnja  38072  dalem5  38120  dalem17  38133  dalem39  38164  dalem43  38168  elpaddn0  38253  pmapjoin  38305  dalawlem2  38325  dalawlem11  38334  dalawlem12  38335  lautj  38546  trljat2  38620  cdleme0cq  38668  cdleme1  38680  cdleme3  38690  cdleme5  38693  cdleme7ga  38701  cdleme10  38707  cdleme15b  38728  cdleme16b  38732  cdleme20k  38772  cdleme22e  38797  cdleme22eALTN  38798  cdleme23c  38804  cdleme28a  38823  cdleme32e  38898  cdleme35a  38901  cdlemg4c  39065  cdlemg6c  39073  trlcolem  39179  cdlemi1  39271  dia2dimlem2  39518  cdlemm10N  39571  dihord2pre2  39679  dihord5apre  39715  dihjatc1  39764
  Copyright terms: Public domain W3C validator