Theorem latmle1 18399

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 18331	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-glb 18280  df-meet 18282  df-lat 18367

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18402  latmlem1  18404  latnlemlt  18407  latmidm  18409  latabs1  18410  latledi  18412  latmlej11  18413  oldmm1  39593  cmtbr3N  39630  cmtbr4N  39631  lecmtN  39632  cvrat4  39819  2llnmat  39900  llnmlplnN  39915  dalem3  40040  dalem27  40075  dalem54  40102  dalem55  40103  2lnat  40160  cdlema1N  40167  llnexchb2lem  40244  dalawlem1  40247  dalawlem6  40252  dalawlem11  40257  dalawlem12  40258  4atexlemunv  40442  4atexlemc  40445  4atexlemnclw  40446  4atexlemex2  40447  4atexlemcnd  40448  lautm  40470  trlval3  40563  cdlemeulpq  40596  cdleme3h  40611  cdleme4a  40615  cdleme9  40629  cdleme11g  40641  cdleme13  40648  cdleme16e  40658  cdlemednpq  40675  cdleme19b  40680  cdleme20e  40689  cdleme20j  40694  cdleme22cN  40718  cdleme22e  40720  cdleme22eALTN  40721  cdleme22g  40724  cdleme35b  40826  cdleme35f  40830  cdlemeg46vrg  40903  cdlemg11b  41018  cdlemg12f  41024  cdlemg19a  41059  cdlemg31a  41073  cdlemk12  41226  cdlemkole  41229  cdlemk12u  41248  cdlemk37  41290  dia2dimlem1  41440  dihopelvalcpre  41624  dihmeetlem1N  41666  dihglblem5apreN  41667  dihglblem2N  41670  dihmeetlem2N  41675