Theorem latmle1 17515

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1130	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 17487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 17465	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  dom cdm 5443  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  Latclat 17484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-glb 17414  df-meet 17416  df-lat 17485

This theorem is referenced by:  latleeqm1  17518  latmlem1  17520  latnlemlt  17523  latmidm  17525  latabs1  17526  latledi  17528  latmlej11  17529  oldmm1  35884  cmtbr3N  35921  cmtbr4N  35922  lecmtN  35923  cvrat4  36110  2llnmat  36191  llnmlplnN  36206  dalem3  36331  dalem27  36366  dalem54  36393  dalem55  36394  2lnat  36451  cdlema1N  36458  llnexchb2lem  36535  dalawlem1  36538  dalawlem6  36543  dalawlem11  36548  dalawlem12  36549  4atexlemunv  36733  4atexlemc  36736  4atexlemnclw  36737  4atexlemex2  36738  4atexlemcnd  36739  lautm  36761  trlval3  36854  cdlemeulpq  36887  cdleme3h  36902  cdleme4a  36906  cdleme9  36920  cdleme11g  36932  cdleme13  36939  cdleme16e  36949  cdlemednpq  36966  cdleme19b  36971  cdleme20e  36980  cdleme20j  36985  cdleme22cN  37009  cdleme22e  37011  cdleme22eALTN  37012  cdleme22g  37015  cdleme35b  37117  cdleme35f  37121  cdlemeg46vrg  37194  cdlemg11b  37309  cdlemg12f  37315  cdlemg19a  37350  cdlemg31a  37364  cdlemk12  37517  cdlemkole  37520  cdlemk12u  37539  cdlemk37  37581  dia2dimlem1  37731  dihopelvalcpre  37915  dihmeetlem1N  37957  dihglblem5apreN  37958  dihglblem2N  37961  dihmeetlem2N  37966