Theorem latmle1 18496

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18468	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 18428	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  joincjn 18343  meetcmee 18344  Latclat 18463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-glb 18377  df-meet 18379  df-lat 18464

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18499  latmlem1  18501  latnlemlt  18504  latmidm  18506  latabs1  18507  latledi  18509  latmlej11  18510  oldmm1  39838  cmtbr3N  39875  cmtbr4N  39876  lecmtN  39877  cvrat4  40064  2llnmat  40145  llnmlplnN  40160  dalem3  40285  dalem27  40320  dalem54  40347  dalem55  40348  2lnat  40405  cdlema1N  40412  llnexchb2lem  40489  dalawlem1  40492  dalawlem6  40497  dalawlem11  40502  dalawlem12  40503  4atexlemunv  40687  4atexlemc  40690  4atexlemnclw  40691  4atexlemex2  40692  4atexlemcnd  40693  lautm  40715  trlval3  40808  cdlemeulpq  40841  cdleme3h  40856  cdleme4a  40860  cdleme9  40874  cdleme11g  40886  cdleme13  40893  cdleme16e  40903  cdlemednpq  40920  cdleme19b  40925  cdleme20e  40934  cdleme20j  40939  cdleme22cN  40963  cdleme22e  40965  cdleme22eALTN  40966  cdleme22g  40969  cdleme35b  41071  cdleme35f  41075  cdlemeg46vrg  41148  cdlemg11b  41263  cdlemg12f  41269  cdlemg19a  41304  cdlemg31a  41318  cdlemk12  41471  cdlemkole  41474  cdlemk12u  41493  cdlemk37  41535  dia2dimlem1  41685  dihopelvalcpre  41869  dihmeetlem1N  41911  dihglblem5apreN  41912  dihglblem2N  41915  dihmeetlem2N  41920