Theorem latmle1 18387

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18359	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 18319	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-glb 18268  df-meet 18270  df-lat 18355

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18390  latmlem1  18392  latnlemlt  18395  latmidm  18397  latabs1  18398  latledi  18400  latmlej11  18401  oldmm1  39477  cmtbr3N  39514  cmtbr4N  39515  lecmtN  39516  cvrat4  39703  2llnmat  39784  llnmlplnN  39799  dalem3  39924  dalem27  39959  dalem54  39986  dalem55  39987  2lnat  40044  cdlema1N  40051  llnexchb2lem  40128  dalawlem1  40131  dalawlem6  40136  dalawlem11  40141  dalawlem12  40142  4atexlemunv  40326  4atexlemc  40329  4atexlemnclw  40330  4atexlemex2  40331  4atexlemcnd  40332  lautm  40354  trlval3  40447  cdlemeulpq  40480  cdleme3h  40495  cdleme4a  40499  cdleme9  40513  cdleme11g  40525  cdleme13  40532  cdleme16e  40542  cdlemednpq  40559  cdleme19b  40564  cdleme20e  40573  cdleme20j  40578  cdleme22cN  40602  cdleme22e  40604  cdleme22eALTN  40605  cdleme22g  40608  cdleme35b  40710  cdleme35f  40714  cdlemeg46vrg  40787  cdlemg11b  40902  cdlemg12f  40908  cdlemg19a  40943  cdlemg31a  40957  cdlemk12  41110  cdlemkole  41113  cdlemk12u  41132  cdlemk37  41174  dia2dimlem1  41324  dihopelvalcpre  41508  dihmeetlem1N  41550  dihglblem5apreN  41551  dihglblem2N  41554  dihmeetlem2N  41559