Theorem latmle1 18430

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18402	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 18362	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  joincjn 18277  meetcmee 18278  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-glb 18311  df-meet 18313  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18433  latmlem1  18435  latnlemlt  18438  latmidm  18440  latabs1  18441  latledi  18443  latmlej11  18444  oldmm1  39663  cmtbr3N  39700  cmtbr4N  39701  lecmtN  39702  cvrat4  39889  2llnmat  39970  llnmlplnN  39985  dalem3  40110  dalem27  40145  dalem54  40172  dalem55  40173  2lnat  40230  cdlema1N  40237  llnexchb2lem  40314  dalawlem1  40317  dalawlem6  40322  dalawlem11  40327  dalawlem12  40328  4atexlemunv  40512  4atexlemc  40515  4atexlemnclw  40516  4atexlemex2  40517  4atexlemcnd  40518  lautm  40540  trlval3  40633  cdlemeulpq  40666  cdleme3h  40681  cdleme4a  40685  cdleme9  40699  cdleme11g  40711  cdleme13  40718  cdleme16e  40728  cdlemednpq  40745  cdleme19b  40750  cdleme20e  40759  cdleme20j  40764  cdleme22cN  40788  cdleme22e  40790  cdleme22eALTN  40791  cdleme22g  40794  cdleme35b  40896  cdleme35f  40900  cdlemeg46vrg  40973  cdlemg11b  41088  cdlemg12f  41094  cdlemg19a  41129  cdlemg31a  41143  cdlemk12  41296  cdlemkole  41299  cdlemk12u  41318  cdlemk37  41360  dia2dimlem1  41510  dihopelvalcpre  41694  dihmeetlem1N  41736  dihglblem5apreN  41737  dihglblem2N  41740  dihmeetlem2N  41745