Theorem latmle1 18468

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1145	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1147	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18440	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 18400	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ⟨cop 4578   class class class wbr 5090  dom cdm 5636  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  lecple 17265  joincjn 18315  meetcmee 18316  Latclat 18435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-glb 18349  df-meet 18351  df-lat 18436

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18471  latmlem1  18473  latnlemlt  18476  latmidm  18478  latabs1  18479  latledi  18481  latmlej11  18482  oldmm1  39779  cmtbr3N  39816  cmtbr4N  39817  lecmtN  39818  cvrat4  40005  2llnmat  40086  llnmlplnN  40101  dalem3  40226  dalem27  40261  dalem54  40288  dalem55  40289  2lnat  40346  cdlema1N  40353  llnexchb2lem  40430  dalawlem1  40433  dalawlem6  40438  dalawlem11  40443  dalawlem12  40444  4atexlemunv  40628  4atexlemc  40631  4atexlemnclw  40632  4atexlemex2  40633  4atexlemcnd  40634  lautm  40656  trlval3  40749  cdlemeulpq  40782  cdleme3h  40797  cdleme4a  40801  cdleme9  40815  cdleme11g  40827  cdleme13  40834  cdleme16e  40844  cdlemednpq  40861  cdleme19b  40866  cdleme20e  40875  cdleme20j  40880  cdleme22cN  40904  cdleme22e  40906  cdleme22eALTN  40907  cdleme22g  40910  cdleme35b  41012  cdleme35f  41016  cdlemeg46vrg  41089  cdlemg11b  41204  cdlemg12f  41210  cdlemg19a  41245  cdlemg31a  41259  cdlemk12  41412  cdlemkole  41415  cdlemk12u  41434  cdlemk37  41476  dia2dimlem1  41626  dihopelvalcpre  41810  dihmeetlem1N  41852  dihglblem5apreN  41853  dihglblem2N  41856  dihmeetlem2N  41861