MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmle1 17277
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmle1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 simp1 1159 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1160 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1161 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2806 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
81, 7, 3, 4, 5, 6latcl2 17249 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ))
98simprd 485 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lemeet1 17227 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  cop 4376   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-glb 17176  df-meet 17178  df-lat 17247
This theorem is referenced by:  latleeqm1  17280  latmlem1  17282  latnlemlt  17285  latmidm  17287  latabs1  17288  latledi  17290  latmlej11  17291  oldmm1  34995  cmtbr3N  35032  cmtbr4N  35033  lecmtN  35034  cvrat4  35221  2llnmat  35302  llnmlplnN  35317  dalem3  35442  dalem27  35477  dalem54  35504  dalem55  35505  2lnat  35562  cdlema1N  35569  llnexchb2lem  35646  dalawlem1  35649  dalawlem6  35654  dalawlem11  35659  dalawlem12  35660  4atexlemunv  35844  4atexlemc  35847  4atexlemnclw  35848  4atexlemex2  35849  4atexlemcnd  35850  lautm  35872  trlval3  35965  cdlemeulpq  35998  cdleme3h  36013  cdleme4a  36017  cdleme9  36031  cdleme11g  36043  cdleme13  36050  cdleme16e  36060  cdlemednpq  36077  cdleme19b  36082  cdleme20e  36091  cdleme20j  36096  cdleme22cN  36120  cdleme22e  36122  cdleme22eALTN  36123  cdleme22g  36126  cdleme35b  36228  cdleme35f  36232  cdlemeg46vrg  36305  cdlemg11b  36420  cdlemg12f  36426  cdlemg19a  36461  cdlemg31a  36475  cdlemk12  36628  cdlemkole  36631  cdlemk12u  36650  cdlemk37  36692  dia2dimlem1  36842  dihopelvalcpre  37026  dihmeetlem1N  37068  dihglblem5apreN  37069  dihglblem2N  37072  dihmeetlem2N  37077
  Copyright terms: Public domain W3C validator