Theorem latmle1 18496

Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18468	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet1 18428	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  joincjn 18343  meetcmee 18344  Latclat 18463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-glb 18377  df-meet 18379  df-lat 18464

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18499  latmlem1  18501  latnlemlt  18504  latmidm  18506  latabs1  18507  latledi  18509  latmlej11  18510  oldmm1  39841  cmtbr3N  39878  cmtbr4N  39879  lecmtN  39880  cvrat4  40067  2llnmat  40148  llnmlplnN  40163  dalem3  40288  dalem27  40323  dalem54  40350  dalem55  40351  2lnat  40408  cdlema1N  40415  llnexchb2lem  40492  dalawlem1  40495  dalawlem6  40500  dalawlem11  40505  dalawlem12  40506  4atexlemunv  40690  4atexlemc  40693  4atexlemnclw  40694  4atexlemex2  40695  4atexlemcnd  40696  lautm  40718  trlval3  40811  cdlemeulpq  40844  cdleme3h  40859  cdleme4a  40863  cdleme9  40877  cdleme11g  40889  cdleme13  40896  cdleme16e  40906  cdlemednpq  40923  cdleme19b  40928  cdleme20e  40937  cdleme20j  40942  cdleme22cN  40966  cdleme22e  40968  cdleme22eALTN  40969  cdleme22g  40972  cdleme35b  41074  cdleme35f  41078  cdlemeg46vrg  41151  cdlemg11b  41266  cdlemg12f  41272  cdlemg19a  41307  cdlemg31a  41321  cdlemk12  41474  cdlemkole  41477  cdlemk12u  41496  cdlemk37  41538  dia2dimlem1  41688  dihopelvalcpre  41872  dihmeetlem1N  41914  dihglblem5apreN  41915  dihglblem2N  41918  dihmeetlem2N  41923