MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmle1 18413
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latmle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmle1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latmle.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latmle.m . 2 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 simp1 1136 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1137 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp3 1138 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
81, 7, 3, 4, 5, 6latcl2 18385 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom (joinβ€˜πΎ) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ))
98simprd 496 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lemeet1 18347 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-glb 18296  df-meet 18298  df-lat 18381
This theorem is referenced by:  latleeqm1  18416  latmlem1  18418  latnlemlt  18421  latmidm  18423  latabs1  18424  latledi  18426  latmlej11  18427  oldmm1  38075  cmtbr3N  38112  cmtbr4N  38113  lecmtN  38114  cvrat4  38302  2llnmat  38383  llnmlplnN  38398  dalem3  38523  dalem27  38558  dalem54  38585  dalem55  38586  2lnat  38643  cdlema1N  38650  llnexchb2lem  38727  dalawlem1  38730  dalawlem6  38735  dalawlem11  38740  dalawlem12  38741  4atexlemunv  38925  4atexlemc  38928  4atexlemnclw  38929  4atexlemex2  38930  4atexlemcnd  38931  lautm  38953  trlval3  39046  cdlemeulpq  39079  cdleme3h  39094  cdleme4a  39098  cdleme9  39112  cdleme11g  39124  cdleme13  39131  cdleme16e  39141  cdlemednpq  39158  cdleme19b  39163  cdleme20e  39172  cdleme20j  39177  cdleme22cN  39201  cdleme22e  39203  cdleme22eALTN  39204  cdleme22g  39207  cdleme35b  39309  cdleme35f  39313  cdlemeg46vrg  39386  cdlemg11b  39501  cdlemg12f  39507  cdlemg19a  39542  cdlemg31a  39556  cdlemk12  39709  cdlemkole  39712  cdlemk12u  39731  cdlemk37  39773  dia2dimlem1  39923  dihopelvalcpre  40107  dihmeetlem1N  40149  dihglblem5apreN  40150  dihglblem2N  40153  dihmeetlem2N  40158
  Copyright terms: Public domain W3C validator