MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmle2 17285
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmle2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑌)

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 simp1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1131 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2771 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
81, 7, 3, 4, 5, 6latcl2 17256 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ))
98simprd 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lemeet2 17235 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-glb 17183  df-meet 17185  df-lat 17254
This theorem is referenced by:  latmlem1  17289  latledi  17297  mod1ile  17313  oldmm1  35026  olm01  35045  cmtcomlemN  35057  cmtbr4N  35064  meetat  35105  cvrexchlem  35227  cvrat4  35251  2llnmj  35368  2lplnmj  35430  dalem25  35506  dalem54  35534  dalem57  35537  cdlema1N  35599  cdlemb  35602  llnexchb2lem  35676  llnexch2N  35678  dalawlem1  35679  dalawlem3  35681  pl42lem1N  35787  lhpelim  35845  lhpat3  35854  4atexlemunv  35874  4atexlemtlw  35875  4atexlemnclw  35878  4atexlemex2  35879  lautm  35902  trlle  35993  cdlemc2  36001  cdlemc5  36004  cdlemd2  36008  cdleme0b  36021  cdleme0c  36022  cdleme0fN  36027  cdleme01N  36030  cdleme0ex1N  36032  cdleme2  36037  cdleme3b  36038  cdleme3c  36039  cdleme3g  36043  cdleme3h  36044  cdleme7aa  36051  cdleme7c  36054  cdleme7d  36055  cdleme7e  36056  cdleme7ga  36057  cdleme11fN  36073  cdleme11k  36077  cdleme15d  36086  cdleme16f  36092  cdlemednpq  36108  cdleme19c  36114  cdleme20aN  36118  cdleme20c  36120  cdleme20j  36127  cdleme21c  36136  cdleme21ct  36138  cdleme22cN  36151  cdleme22f  36155  cdleme23a  36158  cdleme28a  36179  cdleme35d  36261  cdleme35f  36263  cdlemeg46frv  36334  cdlemeg46rgv  36337  cdlemeg46req  36338  cdlemg2fv2  36409  cdlemg2m  36413  cdlemg4  36426  cdlemg10bALTN  36445  cdlemg31b  36507  trlcolem  36535  cdlemk14  36663  dia2dimlem1  36874  docaclN  36934  doca2N  36936  djajN  36947  dihjustlem  37026  dihord1  37028  dihord2a  37029  dihord2b  37030  dihord2cN  37031  dihord11b  37032  dihord11c  37034  dihord2pre  37035  dihlsscpre  37044  dihvalcq2  37057  dihopelvalcpre  37058  dihord6apre  37066  dihord5b  37069  dihord5apre  37072  dihmeetlem1N  37100  dihglblem5apreN  37101  dihglblem3N  37105  dihmeetbclemN  37114  dihmeetlem4preN  37116  dihmeetlem7N  37120  dihmeetlem9N  37125  dihjatcclem4  37231
  Copyright terms: Public domain W3C validator