Theorem latmle2 18475

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18446	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18409	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  joincjn 18323  meetcmee 18324  Latclat 18441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-glb 18357  df-meet 18359  df-lat 18442

This theorem is referenced by:  latmlem1  18479  latledi  18487  mod1ile  18503  oldmm1  39235  olm01  39254  cmtcomlemN  39266  cmtbr4N  39273  meetat  39314  cvrexchlem  39438  cvrat4  39462  2llnmj  39579  2lplnmj  39641  dalem25  39717  dalem54  39745  dalem57  39748  cdlema1N  39810  cdlemb  39813  llnexchb2lem  39887  llnexch2N  39889  dalawlem1  39890  dalawlem3  39892  pl42lem1N  39998  lhpelim  40056  lhpat3  40065  4atexlemunv  40085  4atexlemtlw  40086  4atexlemnclw  40089  4atexlemex2  40090  lautm  40113  trlle  40203  cdlemc2  40211  cdlemc5  40214  cdlemd2  40218  cdleme0b  40231  cdleme0c  40232  cdleme0fN  40237  cdleme01N  40240  cdleme0ex1N  40242  cdleme2  40247  cdleme3b  40248  cdleme3c  40249  cdleme3g  40253  cdleme3h  40254  cdleme7aa  40261  cdleme7c  40264  cdleme7d  40265  cdleme7e  40266  cdleme7ga  40267  cdleme11fN  40283  cdleme11k  40287  cdleme15d  40296  cdleme16f  40302  cdlemednpq  40318  cdleme19c  40324  cdleme20aN  40328  cdleme20c  40330  cdleme20j  40337  cdleme21c  40346  cdleme21ct  40348  cdleme22cN  40361  cdleme22f  40365  cdleme23a  40368  cdleme28a  40389  cdleme35d  40471  cdleme35f  40473  cdlemeg46frv  40544  cdlemeg46rgv  40547  cdlemeg46req  40548  cdlemg2fv2  40619  cdlemg2m  40623  cdlemg4  40636  cdlemg10bALTN  40655  cdlemg31b  40717  trlcolem  40745  cdlemk14  40873  dia2dimlem1  41083  docaclN  41143  doca2N  41145  djajN  41156  dihjustlem  41235  dihord1  41237  dihord2a  41238  dihord2b  41239  dihord2cN  41240  dihord11b  41241  dihord11c  41243  dihord2pre  41244  dihlsscpre  41253  dihvalcq2  41266  dihopelvalcpre  41267  dihord6apre  41275  dihord5b  41278  dihord5apre  41281  dihmeetlem1N  41309  dihglblem5apreN  41310  dihglblem3N  41314  dihmeetbclemN  41323  dihmeetlem4preN  41325  dihmeetlem7N  41329  dihmeetlem9N  41334  dihjatcclem4  41440