Theorem latmle2 18388

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18359	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18320	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-glb 18268  df-meet 18270  df-lat 18355

This theorem is referenced by:  latmlem1  18392  latledi  18400  mod1ile  18416  oldmm1  39477  olm01  39496  cmtcomlemN  39508  cmtbr4N  39515  meetat  39556  cvrexchlem  39679  cvrat4  39703  2llnmj  39820  2lplnmj  39882  dalem25  39958  dalem54  39986  dalem57  39989  cdlema1N  40051  cdlemb  40054  llnexchb2lem  40128  llnexch2N  40130  dalawlem1  40131  dalawlem3  40133  pl42lem1N  40239  lhpelim  40297  lhpat3  40306  4atexlemunv  40326  4atexlemtlw  40327  4atexlemnclw  40330  4atexlemex2  40331  lautm  40354  trlle  40444  cdlemc2  40452  cdlemc5  40455  cdlemd2  40459  cdleme0b  40472  cdleme0c  40473  cdleme0fN  40478  cdleme01N  40481  cdleme0ex1N  40483  cdleme2  40488  cdleme3b  40489  cdleme3c  40490  cdleme3g  40494  cdleme3h  40495  cdleme7aa  40502  cdleme7c  40505  cdleme7d  40506  cdleme7e  40507  cdleme7ga  40508  cdleme11fN  40524  cdleme11k  40528  cdleme15d  40537  cdleme16f  40543  cdlemednpq  40559  cdleme19c  40565  cdleme20aN  40569  cdleme20c  40571  cdleme20j  40578  cdleme21c  40587  cdleme21ct  40589  cdleme22cN  40602  cdleme22f  40606  cdleme23a  40609  cdleme28a  40630  cdleme35d  40712  cdleme35f  40714  cdlemeg46frv  40785  cdlemeg46rgv  40788  cdlemeg46req  40789  cdlemg2fv2  40860  cdlemg2m  40864  cdlemg4  40877  cdlemg10bALTN  40896  cdlemg31b  40958  trlcolem  40986  cdlemk14  41114  dia2dimlem1  41324  docaclN  41384  doca2N  41386  djajN  41397  dihjustlem  41476  dihord1  41478  dihord2a  41479  dihord2b  41480  dihord2cN  41481  dihord11b  41482  dihord11c  41484  dihord2pre  41485  dihlsscpre  41494  dihvalcq2  41507  dihopelvalcpre  41508  dihord6apre  41516  dihord5b  41519  dihord5apre  41522  dihmeetlem1N  41550  dihglblem5apreN  41551  dihglblem3N  41555  dihmeetbclemN  41564  dihmeetlem4preN  41566  dihmeetlem7N  41570  dihmeetlem9N  41575  dihjatcclem4  41681