Theorem latmle2 17516

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1129	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1130	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 17487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 17466	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  dom cdm 5443  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  Latclat 17484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-glb 17414  df-meet 17416  df-lat 17485

This theorem is referenced by:  latmlem1  17520  latledi  17528  mod1ile  17544  oldmm1  35884  olm01  35903  cmtcomlemN  35915  cmtbr4N  35922  meetat  35963  cvrexchlem  36086  cvrat4  36110  2llnmj  36227  2lplnmj  36289  dalem25  36365  dalem54  36393  dalem57  36396  cdlema1N  36458  cdlemb  36461  llnexchb2lem  36535  llnexch2N  36537  dalawlem1  36538  dalawlem3  36540  pl42lem1N  36646  lhpelim  36704  lhpat3  36713  4atexlemunv  36733  4atexlemtlw  36734  4atexlemnclw  36737  4atexlemex2  36738  lautm  36761  trlle  36851  cdlemc2  36859  cdlemc5  36862  cdlemd2  36866  cdleme0b  36879  cdleme0c  36880  cdleme0fN  36885  cdleme01N  36888  cdleme0ex1N  36890  cdleme2  36895  cdleme3b  36896  cdleme3c  36897  cdleme3g  36901  cdleme3h  36902  cdleme7aa  36909  cdleme7c  36912  cdleme7d  36913  cdleme7e  36914  cdleme7ga  36915  cdleme11fN  36931  cdleme11k  36935  cdleme15d  36944  cdleme16f  36950  cdlemednpq  36966  cdleme19c  36972  cdleme20aN  36976  cdleme20c  36978  cdleme20j  36985  cdleme21c  36994  cdleme21ct  36996  cdleme22cN  37009  cdleme22f  37013  cdleme23a  37016  cdleme28a  37037  cdleme35d  37119  cdleme35f  37121  cdlemeg46frv  37192  cdlemeg46rgv  37195  cdlemeg46req  37196  cdlemg2fv2  37267  cdlemg2m  37271  cdlemg4  37284  cdlemg10bALTN  37303  cdlemg31b  37365  trlcolem  37393  cdlemk14  37521  dia2dimlem1  37731  docaclN  37791  doca2N  37793  djajN  37804  dihjustlem  37883  dihord1  37885  dihord2a  37886  dihord2b  37887  dihord2cN  37888  dihord11b  37889  dihord11c  37891  dihord2pre  37892  dihlsscpre  37901  dihvalcq2  37914  dihopelvalcpre  37915  dihord6apre  37923  dihord5b  37926  dihord5apre  37929  dihmeetlem1N  37957  dihglblem5apreN  37958  dihglblem3N  37962  dihmeetbclemN  37971  dihmeetlem4preN  37973  dihmeetlem7N  37977  dihmeetlem9N  37982  dihjatcclem4  38088