Theorem latmle2 18689

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18660	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18621	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  joincjn 18535  meetcmee 18536  Latclat 18655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-glb 18569  df-meet 18571  df-lat 18656

This theorem is used by:  latmlem1  18693  latledi  18701  mod1ile  18717  oldmm1  40540  olm01  40559  cmtcomlemN  40571  cmtbr4N  40578  meetat  40619  cvrexchlem  40742  cvrat4  40766  2llnmj  40883  2lplnmj  40945  dalem25  41021  dalem54  41049  dalem57  41052  cdlema1N  41114  cdlemb  41117  llnexchb2lem  41191  llnexch2N  41193  dalawlem1  41194  dalawlem3  41196  pl42lem1N  41302  lhpelim  41360  lhpat3  41369  4atexlemunv  41389  4atexlemtlw  41390  4atexlemnclw  41393  4atexlemex2  41394  lautm  41417  trlle  41507  cdlemc2  41515  cdlemc5  41518  cdlemd2  41522  cdleme0b  41535  cdleme0c  41536  cdleme0fN  41541  cdleme01N  41544  cdleme0ex1N  41546  cdleme2  41551  cdleme3b  41552  cdleme3c  41553  cdleme3g  41557  cdleme3h  41558  cdleme7aa  41565  cdleme7c  41568  cdleme7d  41569  cdleme7e  41570  cdleme7ga  41571  cdleme11fN  41587  cdleme11k  41591  cdleme15d  41600  cdleme16f  41606  cdlemednpq  41622  cdleme19c  41628  cdleme20aN  41632  cdleme20c  41634  cdleme20j  41641  cdleme21c  41650  cdleme21ct  41652  cdleme22cN  41665  cdleme22f  41669  cdleme23a  41672  cdleme28a  41693  cdleme35d  41775  cdleme35f  41777  cdlemeg46frv  41848  cdlemeg46rgv  41851  cdlemeg46req  41852  cdlemg2fv2  41923  cdlemg2m  41927  cdlemg4  41940  cdlemg10bALTN  41959  cdlemg31b  42021  trlcolem  42049  cdlemk14  42177  dia2dimlem1  42387  docaclN  42447  doca2N  42449  djajN  42460  dihjustlem  42539  dihord1  42541  dihord2a  42542  dihord2b  42543  dihord2cN  42544  dihord11b  42545  dihord11c  42547  dihord2pre  42548  dihlsscpre  42557  dihvalcq2  42570  dihopelvalcpre  42571  dihord6apre  42579  dihord5b  42582  dihord5apre  42585  dihmeetlem1N  42613  dihglblem5apreN  42614  dihglblem3N  42618  dihmeetbclemN  42627  dihmeetlem4preN  42629  dihmeetlem7N  42633  dihmeetlem9N  42638  dihjatcclem4  42744