Theorem latmle2 18539

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18510	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18471	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  lecple 17335  joincjn 18385  meetcmee 18386  Latclat 18505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-glb 18419  df-meet 18421  df-lat 18506

This theorem is used by:  latmlem1  18543  latledi  18551  mod1ile  18567  oldmm1  40024  olm01  40043  cmtcomlemN  40055  cmtbr4N  40062  meetat  40103  cvrexchlem  40226  cvrat4  40250  2llnmj  40367  2lplnmj  40429  dalem25  40505  dalem54  40533  dalem57  40536  cdlema1N  40598  cdlemb  40601  llnexchb2lem  40675  llnexch2N  40677  dalawlem1  40678  dalawlem3  40680  pl42lem1N  40786  lhpelim  40844  lhpat3  40853  4atexlemunv  40873  4atexlemtlw  40874  4atexlemnclw  40877  4atexlemex2  40878  lautm  40901  trlle  40991  cdlemc2  40999  cdlemc5  41002  cdlemd2  41006  cdleme0b  41019  cdleme0c  41020  cdleme0fN  41025  cdleme01N  41028  cdleme0ex1N  41030  cdleme2  41035  cdleme3b  41036  cdleme3c  41037  cdleme3g  41041  cdleme3h  41042  cdleme7aa  41049  cdleme7c  41052  cdleme7d  41053  cdleme7e  41054  cdleme7ga  41055  cdleme11fN  41071  cdleme11k  41075  cdleme15d  41084  cdleme16f  41090  cdlemednpq  41106  cdleme19c  41112  cdleme20aN  41116  cdleme20c  41118  cdleme20j  41125  cdleme21c  41134  cdleme21ct  41136  cdleme22cN  41149  cdleme22f  41153  cdleme23a  41156  cdleme28a  41177  cdleme35d  41259  cdleme35f  41261  cdlemeg46frv  41332  cdlemeg46rgv  41335  cdlemeg46req  41336  cdlemg2fv2  41407  cdlemg2m  41411  cdlemg4  41424  cdlemg10bALTN  41443  cdlemg31b  41505  trlcolem  41533  cdlemk14  41661  dia2dimlem1  41871  docaclN  41931  doca2N  41933  djajN  41944  dihjustlem  42023  dihord1  42025  dihord2a  42026  dihord2b  42027  dihord2cN  42028  dihord11b  42029  dihord11c  42031  dihord2pre  42032  dihlsscpre  42041  dihvalcq2  42054  dihopelvalcpre  42055  dihord6apre  42063  dihord5b  42066  dihord5apre  42069  dihmeetlem1N  42097  dihglblem5apreN  42098  dihglblem3N  42102  dihmeetbclemN  42111  dihmeetlem4preN  42113  dihmeetlem7N  42117  dihmeetlem9N  42122  dihjatcclem4  42228