Theorem latmle2 18553

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18524	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18485	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  lecple 17349  joincjn 18399  meetcmee 18400  Latclat 18519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-glb 18433  df-meet 18435  df-lat 18520

This theorem is used by:  latmlem1  18557  latledi  18565  mod1ile  18581  oldmm1  40090  olm01  40109  cmtcomlemN  40121  cmtbr4N  40128  meetat  40169  cvrexchlem  40292  cvrat4  40316  2llnmj  40433  2lplnmj  40495  dalem25  40571  dalem54  40599  dalem57  40602  cdlema1N  40664  cdlemb  40667  llnexchb2lem  40741  llnexch2N  40743  dalawlem1  40744  dalawlem3  40746  pl42lem1N  40852  lhpelim  40910  lhpat3  40919  4atexlemunv  40939  4atexlemtlw  40940  4atexlemnclw  40943  4atexlemex2  40944  lautm  40967  trlle  41057  cdlemc2  41065  cdlemc5  41068  cdlemd2  41072  cdleme0b  41085  cdleme0c  41086  cdleme0fN  41091  cdleme01N  41094  cdleme0ex1N  41096  cdleme2  41101  cdleme3b  41102  cdleme3c  41103  cdleme3g  41107  cdleme3h  41108  cdleme7aa  41115  cdleme7c  41118  cdleme7d  41119  cdleme7e  41120  cdleme7ga  41121  cdleme11fN  41137  cdleme11k  41141  cdleme15d  41150  cdleme16f  41156  cdlemednpq  41172  cdleme19c  41178  cdleme20aN  41182  cdleme20c  41184  cdleme20j  41191  cdleme21c  41200  cdleme21ct  41202  cdleme22cN  41215  cdleme22f  41219  cdleme23a  41222  cdleme28a  41243  cdleme35d  41325  cdleme35f  41327  cdlemeg46frv  41398  cdlemeg46rgv  41401  cdlemeg46req  41402  cdlemg2fv2  41473  cdlemg2m  41477  cdlemg4  41490  cdlemg10bALTN  41509  cdlemg31b  41571  trlcolem  41599  cdlemk14  41727  dia2dimlem1  41937  docaclN  41997  doca2N  41999  djajN  42010  dihjustlem  42089  dihord1  42091  dihord2a  42092  dihord2b  42093  dihord2cN  42094  dihord11b  42095  dihord11c  42097  dihord2pre  42098  dihlsscpre  42107  dihvalcq2  42120  dihopelvalcpre  42121  dihord6apre  42129  dihord5b  42132  dihord5apre  42135  dihmeetlem1N  42163  dihglblem5apreN  42164  dihglblem3N  42168  dihmeetbclemN  42177  dihmeetlem4preN  42179  dihmeetlem7N  42183  dihmeetlem9N  42188  dihjatcclem4  42294