Theorem latmle2 17687

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 17658	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 17637	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  Latclat 17655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-glb 17585  df-meet 17587  df-lat 17656

This theorem is referenced by:  latmlem1  17691  latledi  17699  mod1ile  17715  oldmm1  36368  olm01  36387  cmtcomlemN  36399  cmtbr4N  36406  meetat  36447  cvrexchlem  36570  cvrat4  36594  2llnmj  36711  2lplnmj  36773  dalem25  36849  dalem54  36877  dalem57  36880  cdlema1N  36942  cdlemb  36945  llnexchb2lem  37019  llnexch2N  37021  dalawlem1  37022  dalawlem3  37024  pl42lem1N  37130  lhpelim  37188  lhpat3  37197  4atexlemunv  37217  4atexlemtlw  37218  4atexlemnclw  37221  4atexlemex2  37222  lautm  37245  trlle  37335  cdlemc2  37343  cdlemc5  37346  cdlemd2  37350  cdleme0b  37363  cdleme0c  37364  cdleme0fN  37369  cdleme01N  37372  cdleme0ex1N  37374  cdleme2  37379  cdleme3b  37380  cdleme3c  37381  cdleme3g  37385  cdleme3h  37386  cdleme7aa  37393  cdleme7c  37396  cdleme7d  37397  cdleme7e  37398  cdleme7ga  37399  cdleme11fN  37415  cdleme11k  37419  cdleme15d  37428  cdleme16f  37434  cdlemednpq  37450  cdleme19c  37456  cdleme20aN  37460  cdleme20c  37462  cdleme20j  37469  cdleme21c  37478  cdleme21ct  37480  cdleme22cN  37493  cdleme22f  37497  cdleme23a  37500  cdleme28a  37521  cdleme35d  37603  cdleme35f  37605  cdlemeg46frv  37676  cdlemeg46rgv  37679  cdlemeg46req  37680  cdlemg2fv2  37751  cdlemg2m  37755  cdlemg4  37768  cdlemg10bALTN  37787  cdlemg31b  37849  trlcolem  37877  cdlemk14  38005  dia2dimlem1  38215  docaclN  38275  doca2N  38277  djajN  38288  dihjustlem  38367  dihord1  38369  dihord2a  38370  dihord2b  38371  dihord2cN  38372  dihord11b  38373  dihord11c  38375  dihord2pre  38376  dihlsscpre  38385  dihvalcq2  38398  dihopelvalcpre  38399  dihord6apre  38407  dihord5b  38410  dihord5apre  38413  dihmeetlem1N  38441  dihglblem5apreN  38442  dihglblem3N  38446  dihmeetbclemN  38455  dihmeetlem4preN  38457  dihmeetlem7N  38461  dihmeetlem9N  38466  dihjatcclem4  38572