Theorem latmle2 18400

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18332	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-glb 18280  df-meet 18282  df-lat 18367

This theorem is referenced by:  latmlem1  18404  latledi  18412  mod1ile  18428  oldmm1  39593  olm01  39612  cmtcomlemN  39624  cmtbr4N  39631  meetat  39672  cvrexchlem  39795  cvrat4  39819  2llnmj  39936  2lplnmj  39998  dalem25  40074  dalem54  40102  dalem57  40105  cdlema1N  40167  cdlemb  40170  llnexchb2lem  40244  llnexch2N  40246  dalawlem1  40247  dalawlem3  40249  pl42lem1N  40355  lhpelim  40413  lhpat3  40422  4atexlemunv  40442  4atexlemtlw  40443  4atexlemnclw  40446  4atexlemex2  40447  lautm  40470  trlle  40560  cdlemc2  40568  cdlemc5  40571  cdlemd2  40575  cdleme0b  40588  cdleme0c  40589  cdleme0fN  40594  cdleme01N  40597  cdleme0ex1N  40599  cdleme2  40604  cdleme3b  40605  cdleme3c  40606  cdleme3g  40610  cdleme3h  40611  cdleme7aa  40618  cdleme7c  40621  cdleme7d  40622  cdleme7e  40623  cdleme7ga  40624  cdleme11fN  40640  cdleme11k  40644  cdleme15d  40653  cdleme16f  40659  cdlemednpq  40675  cdleme19c  40681  cdleme20aN  40685  cdleme20c  40687  cdleme20j  40694  cdleme21c  40703  cdleme21ct  40705  cdleme22cN  40718  cdleme22f  40722  cdleme23a  40725  cdleme28a  40746  cdleme35d  40828  cdleme35f  40830  cdlemeg46frv  40901  cdlemeg46rgv  40904  cdlemeg46req  40905  cdlemg2fv2  40976  cdlemg2m  40980  cdlemg4  40993  cdlemg10bALTN  41012  cdlemg31b  41074  trlcolem  41102  cdlemk14  41230  dia2dimlem1  41440  docaclN  41500  doca2N  41502  djajN  41513  dihjustlem  41592  dihord1  41594  dihord2a  41595  dihord2b  41596  dihord2cN  41597  dihord11b  41598  dihord11c  41600  dihord2pre  41601  dihlsscpre  41610  dihvalcq2  41623  dihopelvalcpre  41624  dihord6apre  41632  dihord5b  41635  dihord5apre  41638  dihmeetlem1N  41666  dihglblem5apreN  41667  dihglblem3N  41671  dihmeetbclemN  41680  dihmeetlem4preN  41682  dihmeetlem7N  41686  dihmeetlem9N  41691  dihjatcclem4  41797