Theorem latmle2 18535

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18469	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-glb 18417  df-meet 18419  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  latmlem1  18539  latledi  18547  mod1ile  18563  oldmm1  39173  olm01  39192  cmtcomlemN  39204  cmtbr4N  39211  meetat  39252  cvrexchlem  39376  cvrat4  39400  2llnmj  39517  2lplnmj  39579  dalem25  39655  dalem54  39683  dalem57  39686  cdlema1N  39748  cdlemb  39751  llnexchb2lem  39825  llnexch2N  39827  dalawlem1  39828  dalawlem3  39830  pl42lem1N  39936  lhpelim  39994  lhpat3  40003  4atexlemunv  40023  4atexlemtlw  40024  4atexlemnclw  40027  4atexlemex2  40028  lautm  40051  trlle  40141  cdlemc2  40149  cdlemc5  40152  cdlemd2  40156  cdleme0b  40169  cdleme0c  40170  cdleme0fN  40175  cdleme01N  40178  cdleme0ex1N  40180  cdleme2  40185  cdleme3b  40186  cdleme3c  40187  cdleme3g  40191  cdleme3h  40192  cdleme7aa  40199  cdleme7c  40202  cdleme7d  40203  cdleme7e  40204  cdleme7ga  40205  cdleme11fN  40221  cdleme11k  40225  cdleme15d  40234  cdleme16f  40240  cdlemednpq  40256  cdleme19c  40262  cdleme20aN  40266  cdleme20c  40268  cdleme20j  40275  cdleme21c  40284  cdleme21ct  40286  cdleme22cN  40299  cdleme22f  40303  cdleme23a  40306  cdleme28a  40327  cdleme35d  40409  cdleme35f  40411  cdlemeg46frv  40482  cdlemeg46rgv  40485  cdlemeg46req  40486  cdlemg2fv2  40557  cdlemg2m  40561  cdlemg4  40574  cdlemg10bALTN  40593  cdlemg31b  40655  trlcolem  40683  cdlemk14  40811  dia2dimlem1  41021  docaclN  41081  doca2N  41083  djajN  41094  dihjustlem  41173  dihord1  41175  dihord2a  41176  dihord2b  41177  dihord2cN  41178  dihord11b  41179  dihord11c  41181  dihord2pre  41182  dihlsscpre  41191  dihvalcq2  41204  dihopelvalcpre  41205  dihord6apre  41213  dihord5b  41216  dihord5apre  41219  dihmeetlem1N  41247  dihglblem5apreN  41248  dihglblem3N  41252  dihmeetbclemN  41261  dihmeetlem4preN  41263  dihmeetlem7N  41267  dihmeetlem9N  41272  dihjatcclem4  41378