Theorem latmle2 18431

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18402	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18363	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  joincjn 18277  meetcmee 18278  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-glb 18311  df-meet 18313  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  latmlem1  18435  latledi  18443  mod1ile  18459  oldmm1  39663  olm01  39682  cmtcomlemN  39694  cmtbr4N  39701  meetat  39742  cvrexchlem  39865  cvrat4  39889  2llnmj  40006  2lplnmj  40068  dalem25  40144  dalem54  40172  dalem57  40175  cdlema1N  40237  cdlemb  40240  llnexchb2lem  40314  llnexch2N  40316  dalawlem1  40317  dalawlem3  40319  pl42lem1N  40425  lhpelim  40483  lhpat3  40492  4atexlemunv  40512  4atexlemtlw  40513  4atexlemnclw  40516  4atexlemex2  40517  lautm  40540  trlle  40630  cdlemc2  40638  cdlemc5  40641  cdlemd2  40645  cdleme0b  40658  cdleme0c  40659  cdleme0fN  40664  cdleme01N  40667  cdleme0ex1N  40669  cdleme2  40674  cdleme3b  40675  cdleme3c  40676  cdleme3g  40680  cdleme3h  40681  cdleme7aa  40688  cdleme7c  40691  cdleme7d  40692  cdleme7e  40693  cdleme7ga  40694  cdleme11fN  40710  cdleme11k  40714  cdleme15d  40723  cdleme16f  40729  cdlemednpq  40745  cdleme19c  40751  cdleme20aN  40755  cdleme20c  40757  cdleme20j  40764  cdleme21c  40773  cdleme21ct  40775  cdleme22cN  40788  cdleme22f  40792  cdleme23a  40795  cdleme28a  40816  cdleme35d  40898  cdleme35f  40900  cdlemeg46frv  40971  cdlemeg46rgv  40974  cdlemeg46req  40975  cdlemg2fv2  41046  cdlemg2m  41050  cdlemg4  41063  cdlemg10bALTN  41082  cdlemg31b  41144  trlcolem  41172  cdlemk14  41300  dia2dimlem1  41510  docaclN  41570  doca2N  41572  djajN  41583  dihjustlem  41662  dihord1  41664  dihord2a  41665  dihord2b  41666  dihord2cN  41667  dihord11b  41668  dihord11c  41670  dihord2pre  41671  dihlsscpre  41680  dihvalcq2  41693  dihopelvalcpre  41694  dihord6apre  41702  dihord5b  41705  dihord5apre  41708  dihmeetlem1N  41736  dihglblem5apreN  41737  dihglblem3N  41741  dihmeetbclemN  41750  dihmeetlem4preN  41752  dihmeetlem7N  41756  dihmeetlem9N  41761  dihjatcclem4  41867