Theorem latmle2 18488

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18459	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18420	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  lecple 17284  joincjn 18334  meetcmee 18335  Latclat 18454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-glb 18368  df-meet 18370  df-lat 18455

This theorem is referenced by:  latmlem1  18492  latledi  18500  mod1ile  18516  oldmm1  39802  olm01  39821  cmtcomlemN  39833  cmtbr4N  39840  meetat  39881  cvrexchlem  40004  cvrat4  40028  2llnmj  40145  2lplnmj  40207  dalem25  40283  dalem54  40311  dalem57  40314  cdlema1N  40376  cdlemb  40379  llnexchb2lem  40453  llnexch2N  40455  dalawlem1  40456  dalawlem3  40458  pl42lem1N  40564  lhpelim  40622  lhpat3  40631  4atexlemunv  40651  4atexlemtlw  40652  4atexlemnclw  40655  4atexlemex2  40656  lautm  40679  trlle  40769  cdlemc2  40777  cdlemc5  40780  cdlemd2  40784  cdleme0b  40797  cdleme0c  40798  cdleme0fN  40803  cdleme01N  40806  cdleme0ex1N  40808  cdleme2  40813  cdleme3b  40814  cdleme3c  40815  cdleme3g  40819  cdleme3h  40820  cdleme7aa  40827  cdleme7c  40830  cdleme7d  40831  cdleme7e  40832  cdleme7ga  40833  cdleme11fN  40849  cdleme11k  40853  cdleme15d  40862  cdleme16f  40868  cdlemednpq  40884  cdleme19c  40890  cdleme20aN  40894  cdleme20c  40896  cdleme20j  40903  cdleme21c  40912  cdleme21ct  40914  cdleme22cN  40927  cdleme22f  40931  cdleme23a  40934  cdleme28a  40955  cdleme35d  41037  cdleme35f  41039  cdlemeg46frv  41110  cdlemeg46rgv  41113  cdlemeg46req  41114  cdlemg2fv2  41185  cdlemg2m  41189  cdlemg4  41202  cdlemg10bALTN  41221  cdlemg31b  41283  trlcolem  41311  cdlemk14  41439  dia2dimlem1  41649  docaclN  41709  doca2N  41711  djajN  41722  dihjustlem  41801  dihord1  41803  dihord2a  41804  dihord2b  41805  dihord2cN  41806  dihord11b  41807  dihord11c  41809  dihord2pre  41810  dihlsscpre  41819  dihvalcq2  41832  dihopelvalcpre  41833  dihord6apre  41841  dihord5b  41844  dihord5apre  41847  dihmeetlem1N  41875  dihglblem5apreN  41876  dihglblem3N  41880  dihmeetbclemN  41889  dihmeetlem4preN  41891  dihmeetlem7N  41895  dihmeetlem9N  41900  dihjatcclem4  42006