Theorem latmle2 18516

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18448	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362  meetcmee 18363  Latclat 18482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-glb 18396  df-meet 18398  df-lat 18483

This theorem is referenced by:  latmlem1  18520  latledi  18528  mod1ile  18544  oldmm1  39991  olm01  40010  cmtcomlemN  40022  cmtbr4N  40029  meetat  40070  cvrexchlem  40193  cvrat4  40217  2llnmj  40334  2lplnmj  40396  dalem25  40472  dalem54  40500  dalem57  40503  cdlema1N  40565  cdlemb  40568  llnexchb2lem  40642  llnexch2N  40644  dalawlem1  40645  dalawlem3  40647  pl42lem1N  40753  lhpelim  40811  lhpat3  40820  4atexlemunv  40840  4atexlemtlw  40841  4atexlemnclw  40844  4atexlemex2  40845  lautm  40868  trlle  40958  cdlemc2  40966  cdlemc5  40969  cdlemd2  40973  cdleme0b  40986  cdleme0c  40987  cdleme0fN  40992  cdleme01N  40995  cdleme0ex1N  40997  cdleme2  41002  cdleme3b  41003  cdleme3c  41004  cdleme3g  41008  cdleme3h  41009  cdleme7aa  41016  cdleme7c  41019  cdleme7d  41020  cdleme7e  41021  cdleme7ga  41022  cdleme11fN  41038  cdleme11k  41042  cdleme15d  41051  cdleme16f  41057  cdlemednpq  41073  cdleme19c  41079  cdleme20aN  41083  cdleme20c  41085  cdleme20j  41092  cdleme21c  41101  cdleme21ct  41103  cdleme22cN  41116  cdleme22f  41120  cdleme23a  41123  cdleme28a  41144  cdleme35d  41226  cdleme35f  41228  cdlemeg46frv  41299  cdlemeg46rgv  41302  cdlemeg46req  41303  cdlemg2fv2  41374  cdlemg2m  41378  cdlemg4  41391  cdlemg10bALTN  41410  cdlemg31b  41472  trlcolem  41500  cdlemk14  41628  dia2dimlem1  41838  docaclN  41898  doca2N  41900  djajN  41911  dihjustlem  41990  dihord1  41992  dihord2a  41993  dihord2b  41994  dihord2cN  41995  dihord11b  41996  dihord11c  41998  dihord2pre  41999  dihlsscpre  42008  dihvalcq2  42021  dihopelvalcpre  42022  dihord6apre  42030  dihord5b  42033  dihord5apre  42036  dihmeetlem1N  42064  dihglblem5apreN  42065  dihglblem3N  42069  dihmeetbclemN  42078  dihmeetlem4preN  42080  dihmeetlem7N  42084  dihmeetlem9N  42089  dihjatcclem4  42195