Theorem latmle2 18645

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18616	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18577	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  lecple 17441  joincjn 18491  meetcmee 18492  Latclat 18611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-glb 18525  df-meet 18527  df-lat 18612

This theorem is used by:  latmlem1  18649  latledi  18657  mod1ile  18673  oldmm1  40368  olm01  40387  cmtcomlemN  40399  cmtbr4N  40406  meetat  40447  cvrexchlem  40570  cvrat4  40594  2llnmj  40711  2lplnmj  40773  dalem25  40849  dalem54  40877  dalem57  40880  cdlema1N  40942  cdlemb  40945  llnexchb2lem  41019  llnexch2N  41021  dalawlem1  41022  dalawlem3  41024  pl42lem1N  41130  lhpelim  41188  lhpat3  41197  4atexlemunv  41217  4atexlemtlw  41218  4atexlemnclw  41221  4atexlemex2  41222  lautm  41245  trlle  41335  cdlemc2  41343  cdlemc5  41346  cdlemd2  41350  cdleme0b  41363  cdleme0c  41364  cdleme0fN  41369  cdleme01N  41372  cdleme0ex1N  41374  cdleme2  41379  cdleme3b  41380  cdleme3c  41381  cdleme3g  41385  cdleme3h  41386  cdleme7aa  41393  cdleme7c  41396  cdleme7d  41397  cdleme7e  41398  cdleme7ga  41399  cdleme11fN  41415  cdleme11k  41419  cdleme15d  41428  cdleme16f  41434  cdlemednpq  41450  cdleme19c  41456  cdleme20aN  41460  cdleme20c  41462  cdleme20j  41469  cdleme21c  41478  cdleme21ct  41480  cdleme22cN  41493  cdleme22f  41497  cdleme23a  41500  cdleme28a  41521  cdleme35d  41603  cdleme35f  41605  cdlemeg46frv  41676  cdlemeg46rgv  41679  cdlemeg46req  41680  cdlemg2fv2  41751  cdlemg2m  41755  cdlemg4  41768  cdlemg10bALTN  41787  cdlemg31b  41849  trlcolem  41877  cdlemk14  42005  dia2dimlem1  42215  docaclN  42275  doca2N  42277  djajN  42288  dihjustlem  42367  dihord1  42369  dihord2a  42370  dihord2b  42371  dihord2cN  42372  dihord11b  42373  dihord11c  42375  dihord2pre  42376  dihlsscpre  42385  dihvalcq2  42398  dihopelvalcpre  42399  dihord6apre  42407  dihord5b  42410  dihord5apre  42413  dihmeetlem1N  42441  dihglblem5apreN  42442  dihglblem3N  42446  dihmeetbclemN  42455  dihmeetlem4preN  42457  dihmeetlem7N  42461  dihmeetlem9N  42466  dihjatcclem4  42572