Theorem latmle2 18517

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1152	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18449	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  lecple 17313  joincjn 18363  meetcmee 18364  Latclat 18483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-glb 18397  df-meet 18399  df-lat 18484

This theorem is referenced by:  latmlem1  18521  latledi  18529  mod1ile  18545  oldmm1  39876  olm01  39895  cmtcomlemN  39907  cmtbr4N  39914  meetat  39955  cvrexchlem  40078  cvrat4  40102  2llnmj  40219  2lplnmj  40281  dalem25  40357  dalem54  40385  dalem57  40388  cdlema1N  40450  cdlemb  40453  llnexchb2lem  40527  llnexch2N  40529  dalawlem1  40530  dalawlem3  40532  pl42lem1N  40638  lhpelim  40696  lhpat3  40705  4atexlemunv  40725  4atexlemtlw  40726  4atexlemnclw  40729  4atexlemex2  40730  lautm  40753  trlle  40843  cdlemc2  40851  cdlemc5  40854  cdlemd2  40858  cdleme0b  40871  cdleme0c  40872  cdleme0fN  40877  cdleme01N  40880  cdleme0ex1N  40882  cdleme2  40887  cdleme3b  40888  cdleme3c  40889  cdleme3g  40893  cdleme3h  40894  cdleme7aa  40901  cdleme7c  40904  cdleme7d  40905  cdleme7e  40906  cdleme7ga  40907  cdleme11fN  40923  cdleme11k  40927  cdleme15d  40936  cdleme16f  40942  cdlemednpq  40958  cdleme19c  40964  cdleme20aN  40968  cdleme20c  40970  cdleme20j  40977  cdleme21c  40986  cdleme21ct  40988  cdleme22cN  41001  cdleme22f  41005  cdleme23a  41008  cdleme28a  41029  cdleme35d  41111  cdleme35f  41113  cdlemeg46frv  41184  cdlemeg46rgv  41187  cdlemeg46req  41188  cdlemg2fv2  41259  cdlemg2m  41263  cdlemg4  41276  cdlemg10bALTN  41295  cdlemg31b  41357  trlcolem  41385  cdlemk14  41513  dia2dimlem1  41723  docaclN  41783  doca2N  41785  djajN  41796  dihjustlem  41875  dihord1  41877  dihord2a  41878  dihord2b  41879  dihord2cN  41880  dihord11b  41881  dihord11c  41883  dihord2pre  41884  dihlsscpre  41893  dihvalcq2  41906  dihopelvalcpre  41907  dihord6apre  41915  dihord5b  41918  dihord5apre  41921  dihmeetlem1N  41949  dihglblem5apreN  41950  dihglblem3N  41954  dihmeetbclemN  41963  dihmeetlem4preN  41965  dihmeetlem7N  41969  dihmeetlem9N  41974  dihjatcclem4  42080