Theorem latmle2 18183

Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmle2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Proof of Theorem latmle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8	1, 7, 3, 4, 5, 6	latcl2 18154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ))
9	8	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lemeet2 18117	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-glb 18065  df-meet 18067  df-lat 18150

This theorem is referenced by:  latmlem1  18187  latledi  18195  mod1ile  18211  oldmm1  37231  olm01  37250  cmtcomlemN  37262  cmtbr4N  37269  meetat  37310  cvrexchlem  37433  cvrat4  37457  2llnmj  37574  2lplnmj  37636  dalem25  37712  dalem54  37740  dalem57  37743  cdlema1N  37805  cdlemb  37808  llnexchb2lem  37882  llnexch2N  37884  dalawlem1  37885  dalawlem3  37887  pl42lem1N  37993  lhpelim  38051  lhpat3  38060  4atexlemunv  38080  4atexlemtlw  38081  4atexlemnclw  38084  4atexlemex2  38085  lautm  38108  trlle  38198  cdlemc2  38206  cdlemc5  38209  cdlemd2  38213  cdleme0b  38226  cdleme0c  38227  cdleme0fN  38232  cdleme01N  38235  cdleme0ex1N  38237  cdleme2  38242  cdleme3b  38243  cdleme3c  38244  cdleme3g  38248  cdleme3h  38249  cdleme7aa  38256  cdleme7c  38259  cdleme7d  38260  cdleme7e  38261  cdleme7ga  38262  cdleme11fN  38278  cdleme11k  38282  cdleme15d  38291  cdleme16f  38297  cdlemednpq  38313  cdleme19c  38319  cdleme20aN  38323  cdleme20c  38325  cdleme20j  38332  cdleme21c  38341  cdleme21ct  38343  cdleme22cN  38356  cdleme22f  38360  cdleme23a  38363  cdleme28a  38384  cdleme35d  38466  cdleme35f  38468  cdlemeg46frv  38539  cdlemeg46rgv  38542  cdlemeg46req  38543  cdlemg2fv2  38614  cdlemg2m  38618  cdlemg4  38631  cdlemg10bALTN  38650  cdlemg31b  38712  trlcolem  38740  cdlemk14  38868  dia2dimlem1  39078  docaclN  39138  doca2N  39140  djajN  39151  dihjustlem  39230  dihord1  39232  dihord2a  39233  dihord2b  39234  dihord2cN  39235  dihord11b  39236  dihord11c  39238  dihord2pre  39239  dihlsscpre  39248  dihvalcq2  39261  dihopelvalcpre  39262  dihord6apre  39270  dihord5b  39273  dihord5apre  39276  dihmeetlem1N  39304  dihglblem5apreN  39305  dihglblem3N  39309  dihmeetbclemN  39318  dihmeetlem4preN  39320  dihmeetlem7N  39324  dihmeetlem9N  39329  dihjatcclem4  39435