Theorem latlej1 18569

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 32028 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18557	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18503	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  lecple 17382  joincjn 18432  meetcmee 18433  Latclat 18552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-lub 18465  df-join 18467  df-lat 18553

This theorem is used by:  latjlej1  18574  latnlej  18577  latnlej2  18580  latjidm  18583  latnle  18594  latabs2  18597  latmlej11  18599  latjass  18604  mod1ile  18614  lubun  18636  oldmm1  40188  olj01  40196  omllaw5N  40218  cvlexchb1  40301  cvlsupr2  40314  cvlsupr7  40319  hlatlej1  40346  hlrelat5N  40372  2atjm  40416  2llnmj  40531  lplnexllnN  40535  2llnjaN  40537  2llnm2N  40539  4atlem3a  40568  2lplnja  40590  2lplnm2N  40592  2lplnmj  40593  dalemply  40625  dalemsly  40626  dalem10  40644  dalem13  40647  dalem21  40665  dalem55  40698  2llnma1b  40757  cdlema1N  40762  elpaddn0  40771  paddasslem12  40802  paddasslem13  40803  pmapjoin  40823  dalawlem2  40843  dalawlem7  40848  dalawlem11  40852  dalawlem12  40853  lhpmcvr3  40996  lhpmcvr5N  40998  lhpmcvr6N  40999  lautj  41064  trljat1  41137  cdlemc1  41162  cdlemc4  41165  cdleme1  41198  cdleme8  41221  cdleme11g  41236  cdleme22e  41315  cdleme22eALTN  41316  cdleme23b  41321  cdleme23c  41322  cdleme27N  41340  cdleme30a  41349  cdleme35fnpq  41420  cdleme35b  41421  cdleme35c  41422  cdleme42h  41453  cdleme42i  41454  cdleme48bw  41473  cdlemg2fv2  41571  cdlemg7fvbwN  41578  cdlemg8b  41599  cdlemg11b  41613  trlcolem  41697  trljco  41711  cdlemi1  41789  cdlemk48  41921  cdlemn2  42166  dihjustlem  42187  dihord1  42189  dihord5apre  42233  dihglbcpreN  42271  dihmeetlem3N  42276  dihmeetlem11N  42288