Theorem latlej1 17672

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 29286 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 17660	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 497	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 17624	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  meetcmee 17557  Latclat 17657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-lub 17586  df-join 17588  df-lat 17658

This theorem is referenced by:  latjlej1  17677  latnlej  17680  latnlej2  17683  latjidm  17686  latnle  17697  latabs2  17700  latmlej11  17702  latjass  17707  mod1ile  17717  lubun  17735  oldmm1  36355  olj01  36363  omllaw5N  36385  cvlexchb1  36468  cvlsupr2  36481  cvlsupr7  36486  hlatlej1  36513  hlrelat5N  36539  2atjm  36583  2llnmj  36698  lplnexllnN  36702  2llnjaN  36704  2llnm2N  36706  4atlem3a  36735  2lplnja  36757  2lplnm2N  36759  2lplnmj  36760  dalemply  36792  dalemsly  36793  dalem10  36811  dalem13  36814  dalem21  36832  dalem55  36865  2llnma1b  36924  cdlema1N  36929  elpaddn0  36938  paddasslem12  36969  paddasslem13  36970  pmapjoin  36990  dalawlem2  37010  dalawlem7  37015  dalawlem11  37019  dalawlem12  37020  lhpmcvr3  37163  lhpmcvr5N  37165  lhpmcvr6N  37166  lautj  37231  trljat1  37304  cdlemc1  37329  cdlemc4  37332  cdleme1  37365  cdleme8  37388  cdleme11g  37403  cdleme22e  37482  cdleme22eALTN  37483  cdleme23b  37488  cdleme23c  37489  cdleme27N  37507  cdleme30a  37516  cdleme35fnpq  37587  cdleme35b  37588  cdleme35c  37589  cdleme42h  37620  cdleme42i  37621  cdleme48bw  37640  cdlemg2fv2  37738  cdlemg7fvbwN  37745  cdlemg8b  37766  cdlemg11b  37780  trlcolem  37864  trljco  37878  cdlemi1  37956  cdlemk48  38088  cdlemn2  38333  dihjustlem  38354  dihord1  38356  dihord5apre  38400  dihglbcpreN  38438  dihmeetlem3N  38443  dihmeetlem11N  38455