Theorem latlej1 18507

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31829 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1152	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18495	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18441	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  dom cdm 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  lecple 17320  joincjn 18370  meetcmee 18371  Latclat 18490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18403  df-join 18405  df-lat 18491

This theorem is referenced by:  latjlej1  18512  latnlej  18515  latnlej2  18518  latjidm  18521  latnle  18532  latabs2  18535  latmlej11  18537  latjass  18542  mod1ile  18552  lubun  18574  oldmm1  39941  olj01  39949  omllaw5N  39971  cvlexchb1  40054  cvlsupr2  40067  cvlsupr7  40072  hlatlej1  40099  hlrelat5N  40125  2atjm  40169  2llnmj  40284  lplnexllnN  40288  2llnjaN  40290  2llnm2N  40292  4atlem3a  40321  2lplnja  40343  2lplnm2N  40345  2lplnmj  40346  dalemply  40378  dalemsly  40379  dalem10  40397  dalem13  40400  dalem21  40418  dalem55  40451  2llnma1b  40510  cdlema1N  40515  elpaddn0  40524  paddasslem12  40555  paddasslem13  40556  pmapjoin  40576  dalawlem2  40596  dalawlem7  40601  dalawlem11  40605  dalawlem12  40606  lhpmcvr3  40749  lhpmcvr5N  40751  lhpmcvr6N  40752  lautj  40817  trljat1  40890  cdlemc1  40915  cdlemc4  40918  cdleme1  40951  cdleme8  40974  cdleme11g  40989  cdleme22e  41068  cdleme22eALTN  41069  cdleme23b  41074  cdleme23c  41075  cdleme27N  41093  cdleme30a  41102  cdleme35fnpq  41173  cdleme35b  41174  cdleme35c  41175  cdleme42h  41206  cdleme42i  41207  cdleme48bw  41226  cdlemg2fv2  41324  cdlemg7fvbwN  41331  cdlemg8b  41352  cdlemg11b  41366  trlcolem  41450  trljco  41464  cdlemi1  41542  cdlemk48  41674  cdlemn2  41919  dihjustlem  41940  dihord1  41942  dihord5apre  41986  dihglbcpreN  42024  dihmeetlem3N  42029  dihmeetlem11N  42041