Theorem latlej1 18500

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31796 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1152	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18434	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  lecple 17313  joincjn 18363  meetcmee 18364  Latclat 18483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-lub 18396  df-join 18398  df-lat 18484

This theorem is referenced by:  latjlej1  18505  latnlej  18508  latnlej2  18511  latjidm  18514  latnle  18525  latabs2  18528  latmlej11  18530  latjass  18535  mod1ile  18545  lubun  18567  oldmm1  39876  olj01  39884  omllaw5N  39906  cvlexchb1  39989  cvlsupr2  40002  cvlsupr7  40007  hlatlej1  40034  hlrelat5N  40060  2atjm  40104  2llnmj  40219  lplnexllnN  40223  2llnjaN  40225  2llnm2N  40227  4atlem3a  40256  2lplnja  40278  2lplnm2N  40280  2lplnmj  40281  dalemply  40313  dalemsly  40314  dalem10  40332  dalem13  40335  dalem21  40353  dalem55  40386  2llnma1b  40445  cdlema1N  40450  elpaddn0  40459  paddasslem12  40490  paddasslem13  40491  pmapjoin  40511  dalawlem2  40531  dalawlem7  40536  dalawlem11  40540  dalawlem12  40541  lhpmcvr3  40684  lhpmcvr5N  40686  lhpmcvr6N  40687  lautj  40752  trljat1  40825  cdlemc1  40850  cdlemc4  40853  cdleme1  40886  cdleme8  40909  cdleme11g  40924  cdleme22e  41003  cdleme22eALTN  41004  cdleme23b  41009  cdleme23c  41010  cdleme27N  41028  cdleme30a  41037  cdleme35fnpq  41108  cdleme35b  41109  cdleme35c  41110  cdleme42h  41141  cdleme42i  41142  cdleme48bw  41161  cdlemg2fv2  41259  cdlemg7fvbwN  41266  cdlemg8b  41287  cdlemg11b  41301  trlcolem  41385  trljco  41399  cdlemi1  41477  cdlemk48  41609  cdlemn2  41854  dihjustlem  41875  dihord1  41877  dihord5apre  41921  dihglbcpreN  41959  dihmeetlem3N  41964  dihmeetlem11N  41976