Theorem latlej1 18482

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31712 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1150	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1152	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18470	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  lecple 17295  joincjn 18345  meetcmee 18346  Latclat 18465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-lub 18378  df-join 18380  df-lat 18466

This theorem is referenced by:  latjlej1  18487  latnlej  18490  latnlej2  18493  latjidm  18496  latnle  18507  latabs2  18510  latmlej11  18512  latjass  18517  mod1ile  18527  lubun  18549  oldmm1  39846  olj01  39854  omllaw5N  39876  cvlexchb1  39959  cvlsupr2  39972  cvlsupr7  39977  hlatlej1  40004  hlrelat5N  40030  2atjm  40074  2llnmj  40189  lplnexllnN  40193  2llnjaN  40195  2llnm2N  40197  4atlem3a  40226  2lplnja  40248  2lplnm2N  40250  2lplnmj  40251  dalemply  40283  dalemsly  40284  dalem10  40302  dalem13  40305  dalem21  40323  dalem55  40356  2llnma1b  40415  cdlema1N  40420  elpaddn0  40429  paddasslem12  40460  paddasslem13  40461  pmapjoin  40481  dalawlem2  40501  dalawlem7  40506  dalawlem11  40510  dalawlem12  40511  lhpmcvr3  40654  lhpmcvr5N  40656  lhpmcvr6N  40657  lautj  40722  trljat1  40795  cdlemc1  40820  cdlemc4  40823  cdleme1  40856  cdleme8  40879  cdleme11g  40894  cdleme22e  40973  cdleme22eALTN  40974  cdleme23b  40979  cdleme23c  40980  cdleme27N  40998  cdleme30a  41007  cdleme35fnpq  41078  cdleme35b  41079  cdleme35c  41080  cdleme42h  41111  cdleme42i  41112  cdleme48bw  41131  cdlemg2fv2  41229  cdlemg7fvbwN  41236  cdlemg8b  41257  cdlemg11b  41271  trlcolem  41355  trljco  41369  cdlemi1  41447  cdlemk48  41579  cdlemn2  41824  dihjustlem  41845  dihord1  41847  dihord5apre  41891  dihglbcpreN  41929  dihmeetlem3N  41934  dihmeetlem11N  41946