Theorem latlej1 18456

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31434 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18444	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18392	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  lecple 17276  joincjn 18321  meetcmee 18322  Latclat 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-lub 18354  df-join 18356  df-lat 18440

This theorem is referenced by:  latjlej1  18461  latnlej  18464  latnlej2  18467  latjidm  18470  latnle  18481  latabs2  18484  latmlej11  18486  latjass  18491  mod1ile  18501  lubun  18523  oldmm1  39181  olj01  39189  omllaw5N  39211  cvlexchb1  39294  cvlsupr2  39307  cvlsupr7  39312  hlatlej1  39339  hlrelat5N  39366  2atjm  39410  2llnmj  39525  lplnexllnN  39529  2llnjaN  39531  2llnm2N  39533  4atlem3a  39562  2lplnja  39584  2lplnm2N  39586  2lplnmj  39587  dalemply  39619  dalemsly  39620  dalem10  39638  dalem13  39641  dalem21  39659  dalem55  39692  2llnma1b  39751  cdlema1N  39756  elpaddn0  39765  paddasslem12  39796  paddasslem13  39797  pmapjoin  39817  dalawlem2  39837  dalawlem7  39842  dalawlem11  39846  dalawlem12  39847  lhpmcvr3  39990  lhpmcvr5N  39992  lhpmcvr6N  39993  lautj  40058  trljat1  40131  cdlemc1  40156  cdlemc4  40159  cdleme1  40192  cdleme8  40215  cdleme11g  40230  cdleme22e  40309  cdleme22eALTN  40310  cdleme23b  40315  cdleme23c  40316  cdleme27N  40334  cdleme30a  40343  cdleme35fnpq  40414  cdleme35b  40415  cdleme35c  40416  cdleme42h  40447  cdleme42i  40448  cdleme48bw  40467  cdlemg2fv2  40565  cdlemg7fvbwN  40572  cdlemg8b  40593  cdlemg11b  40607  trlcolem  40691  trljco  40705  cdlemi1  40783  cdlemk48  40915  cdlemn2  41160  dihjustlem  41181  dihord1  41183  dihord5apre  41227  dihglbcpreN  41265  dihmeetlem3N  41270  dihmeetlem11N  41282