Theorem latlej1 18468

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31437 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18456	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 493	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18404	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4629   class class class wbr 5145  dom cdm 5674  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  lecple 17268  joincjn 18331  meetcmee 18332  Latclat 18451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-lub 18366  df-join 18368  df-lat 18452

This theorem is referenced by:  latjlej1  18473  latnlej  18476  latnlej2  18479  latjidm  18482  latnle  18493  latabs2  18496  latmlej11  18498  latjass  18503  mod1ile  18513  lubun  18535  oldmm1  38928  olj01  38936  omllaw5N  38958  cvlexchb1  39041  cvlsupr2  39054  cvlsupr7  39059  hlatlej1  39086  hlrelat5N  39113  2atjm  39157  2llnmj  39272  lplnexllnN  39276  2llnjaN  39278  2llnm2N  39280  4atlem3a  39309  2lplnja  39331  2lplnm2N  39333  2lplnmj  39334  dalemply  39366  dalemsly  39367  dalem10  39385  dalem13  39388  dalem21  39406  dalem55  39439  2llnma1b  39498  cdlema1N  39503  elpaddn0  39512  paddasslem12  39543  paddasslem13  39544  pmapjoin  39564  dalawlem2  39584  dalawlem7  39589  dalawlem11  39593  dalawlem12  39594  lhpmcvr3  39737  lhpmcvr5N  39739  lhpmcvr6N  39740  lautj  39805  trljat1  39878  cdlemc1  39903  cdlemc4  39906  cdleme1  39939  cdleme8  39962  cdleme11g  39977  cdleme22e  40056  cdleme22eALTN  40057  cdleme23b  40062  cdleme23c  40063  cdleme27N  40081  cdleme30a  40090  cdleme35fnpq  40161  cdleme35b  40162  cdleme35c  40163  cdleme42h  40194  cdleme42i  40195  cdleme48bw  40214  cdlemg2fv2  40312  cdlemg7fvbwN  40319  cdlemg8b  40340  cdlemg11b  40354  trlcolem  40438  trljco  40452  cdlemi1  40530  cdlemk48  40662  cdlemn2  40907  dihjustlem  40928  dihord1  40930  dihord5apre  40974  dihglbcpreN  41012  dihmeetlem3N  41017  dihmeetlem11N  41029