Theorem latlej1 18354

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31487 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18288	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latjlej1  18359  latnlej  18362  latnlej2  18365  latjidm  18368  latnle  18379  latabs2  18382  latmlej11  18384  latjass  18389  mod1ile  18399  lubun  18421  oldmm1  39315  olj01  39323  omllaw5N  39345  cvlexchb1  39428  cvlsupr2  39441  cvlsupr7  39446  hlatlej1  39473  hlrelat5N  39499  2atjm  39543  2llnmj  39658  lplnexllnN  39662  2llnjaN  39664  2llnm2N  39666  4atlem3a  39695  2lplnja  39717  2lplnm2N  39719  2lplnmj  39720  dalemply  39752  dalemsly  39753  dalem10  39771  dalem13  39774  dalem21  39792  dalem55  39825  2llnma1b  39884  cdlema1N  39889  elpaddn0  39898  paddasslem12  39929  paddasslem13  39930  pmapjoin  39950  dalawlem2  39970  dalawlem7  39975  dalawlem11  39979  dalawlem12  39980  lhpmcvr3  40123  lhpmcvr5N  40125  lhpmcvr6N  40126  lautj  40191  trljat1  40264  cdlemc1  40289  cdlemc4  40292  cdleme1  40325  cdleme8  40348  cdleme11g  40363  cdleme22e  40442  cdleme22eALTN  40443  cdleme23b  40448  cdleme23c  40449  cdleme27N  40467  cdleme30a  40476  cdleme35fnpq  40547  cdleme35b  40548  cdleme35c  40549  cdleme42h  40580  cdleme42i  40581  cdleme48bw  40600  cdlemg2fv2  40698  cdlemg7fvbwN  40705  cdlemg8b  40726  cdlemg11b  40740  trlcolem  40824  trljco  40838  cdlemi1  40916  cdlemk48  41048  cdlemn2  41293  dihjustlem  41314  dihord1  41316  dihord5apre  41360  dihglbcpreN  41398  dihmeetlem3N  41403  dihmeetlem11N  41415