Theorem latlej1 17662

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 29290 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 17650	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 17614	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-lub 17576  df-join 17578  df-lat 17648

This theorem is referenced by:  latjlej1  17667  latnlej  17670  latnlej2  17673  latjidm  17676  latnle  17687  latabs2  17690  latmlej11  17692  latjass  17697  mod1ile  17707  lubun  17725  oldmm1  36513  olj01  36521  omllaw5N  36543  cvlexchb1  36626  cvlsupr2  36639  cvlsupr7  36644  hlatlej1  36671  hlrelat5N  36697  2atjm  36741  2llnmj  36856  lplnexllnN  36860  2llnjaN  36862  2llnm2N  36864  4atlem3a  36893  2lplnja  36915  2lplnm2N  36917  2lplnmj  36918  dalemply  36950  dalemsly  36951  dalem10  36969  dalem13  36972  dalem21  36990  dalem55  37023  2llnma1b  37082  cdlema1N  37087  elpaddn0  37096  paddasslem12  37127  paddasslem13  37128  pmapjoin  37148  dalawlem2  37168  dalawlem7  37173  dalawlem11  37177  dalawlem12  37178  lhpmcvr3  37321  lhpmcvr5N  37323  lhpmcvr6N  37324  lautj  37389  trljat1  37462  cdlemc1  37487  cdlemc4  37490  cdleme1  37523  cdleme8  37546  cdleme11g  37561  cdleme22e  37640  cdleme22eALTN  37641  cdleme23b  37646  cdleme23c  37647  cdleme27N  37665  cdleme30a  37674  cdleme35fnpq  37745  cdleme35b  37746  cdleme35c  37747  cdleme42h  37778  cdleme42i  37779  cdleme48bw  37798  cdlemg2fv2  37896  cdlemg7fvbwN  37903  cdlemg8b  37924  cdlemg11b  37938  trlcolem  38022  trljco  38036  cdlemi1  38114  cdlemk48  38246  cdlemn2  38491  dihjustlem  38512  dihord1  38514  dihord5apre  38558  dihglbcpreN  38596  dihmeetlem3N  38601  dihmeetlem11N  38613