Theorem latlej1 18390

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31487 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18378	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18324	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  lecple 17204  joincjn 18253  meetcmee 18254  Latclat 18373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18286  df-join 18288  df-lat 18374

This theorem is referenced by:  latjlej1  18395  latnlej  18398  latnlej2  18401  latjidm  18404  latnle  18415  latabs2  18418  latmlej11  18420  latjass  18425  mod1ile  18435  lubun  18457  oldmm1  39204  olj01  39212  omllaw5N  39234  cvlexchb1  39317  cvlsupr2  39330  cvlsupr7  39335  hlatlej1  39362  hlrelat5N  39389  2atjm  39433  2llnmj  39548  lplnexllnN  39552  2llnjaN  39554  2llnm2N  39556  4atlem3a  39585  2lplnja  39607  2lplnm2N  39609  2lplnmj  39610  dalemply  39642  dalemsly  39643  dalem10  39661  dalem13  39664  dalem21  39682  dalem55  39715  2llnma1b  39774  cdlema1N  39779  elpaddn0  39788  paddasslem12  39819  paddasslem13  39820  pmapjoin  39840  dalawlem2  39860  dalawlem7  39865  dalawlem11  39869  dalawlem12  39870  lhpmcvr3  40013  lhpmcvr5N  40015  lhpmcvr6N  40016  lautj  40081  trljat1  40154  cdlemc1  40179  cdlemc4  40182  cdleme1  40215  cdleme8  40238  cdleme11g  40253  cdleme22e  40332  cdleme22eALTN  40333  cdleme23b  40338  cdleme23c  40339  cdleme27N  40357  cdleme30a  40366  cdleme35fnpq  40437  cdleme35b  40438  cdleme35c  40439  cdleme42h  40470  cdleme42i  40471  cdleme48bw  40490  cdlemg2fv2  40588  cdlemg7fvbwN  40595  cdlemg8b  40616  cdlemg11b  40630  trlcolem  40714  trljco  40728  cdlemi1  40806  cdlemk48  40938  cdlemn2  41183  dihjustlem  41204  dihord1  41206  dihord5apre  41250  dihglbcpreN  41288  dihmeetlem3N  41293  dihmeetlem11N  41305