Theorem latlej1 17518

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 29055 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1117	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1118	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2772	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 17506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 17470	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ⟨cop 4441   class class class wbr 4923  dom cdm 5400  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  lecple 16418  joincjn 17402  meetcmee 17403  Latclat 17503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-lub 17432  df-join 17434  df-lat 17504

This theorem is referenced by:  latjlej1  17523  latnlej  17526  latnlej2  17529  latjidm  17532  latnle  17543  latabs2  17546  latmlej11  17548  latjass  17553  mod1ile  17563  lubun  17581  oldmm1  35746  olj01  35754  omllaw5N  35776  cvlexchb1  35859  cvlsupr2  35872  cvlsupr7  35877  hlatlej1  35904  hlrelat5N  35930  2atjm  35974  2llnmj  36089  lplnexllnN  36093  2llnjaN  36095  2llnm2N  36097  4atlem3a  36126  2lplnja  36148  2lplnm2N  36150  2lplnmj  36151  dalemply  36183  dalemsly  36184  dalem10  36202  dalem13  36205  dalem21  36223  dalem55  36256  2llnma1b  36315  cdlema1N  36320  elpaddn0  36329  paddasslem12  36360  paddasslem13  36361  pmapjoin  36381  dalawlem2  36401  dalawlem7  36406  dalawlem11  36410  dalawlem12  36411  lhpmcvr3  36554  lhpmcvr5N  36556  lhpmcvr6N  36557  lautj  36622  trljat1  36695  cdlemc1  36720  cdlemc4  36723  cdleme1  36756  cdleme8  36779  cdleme11g  36794  cdleme22e  36873  cdleme22eALTN  36874  cdleme23b  36879  cdleme23c  36880  cdleme27N  36898  cdleme30a  36907  cdleme35fnpq  36978  cdleme35b  36979  cdleme35c  36980  cdleme42h  37011  cdleme42i  37012  cdleme48bw  37031  cdlemg2fv2  37129  cdlemg7fvbwN  37136  cdlemg8b  37157  cdlemg11b  37171  trlcolem  37255  trljco  37269  cdlemi1  37347  cdlemk48  37479  cdlemn2  37724  dihjustlem  37745  dihord1  37747  dihord5apre  37791  dihglbcpreN  37829  dihmeetlem3N  37834  dihmeetlem11N  37846