Theorem latlej1 18409

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31600 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1143	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1144	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1145	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18343	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-lub 18305  df-join 18307  df-lat 18393

This theorem is referenced by:  latjlej1  18414  latnlej  18417  latnlej2  18420  latjidm  18423  latnle  18434  latabs2  18437  latmlej11  18439  latjass  18444  mod1ile  18454  lubun  18476  oldmm1  39724  olj01  39732  omllaw5N  39754  cvlexchb1  39837  cvlsupr2  39850  cvlsupr7  39855  hlatlej1  39882  hlrelat5N  39908  2atjm  39952  2llnmj  40067  lplnexllnN  40071  2llnjaN  40073  2llnm2N  40075  4atlem3a  40104  2lplnja  40126  2lplnm2N  40128  2lplnmj  40129  dalemply  40161  dalemsly  40162  dalem10  40180  dalem13  40183  dalem21  40201  dalem55  40234  2llnma1b  40293  cdlema1N  40298  elpaddn0  40307  paddasslem12  40338  paddasslem13  40339  pmapjoin  40359  dalawlem2  40379  dalawlem7  40384  dalawlem11  40388  dalawlem12  40389  lhpmcvr3  40532  lhpmcvr5N  40534  lhpmcvr6N  40535  lautj  40600  trljat1  40673  cdlemc1  40698  cdlemc4  40701  cdleme1  40734  cdleme8  40757  cdleme11g  40772  cdleme22e  40851  cdleme22eALTN  40852  cdleme23b  40857  cdleme23c  40858  cdleme27N  40876  cdleme30a  40885  cdleme35fnpq  40956  cdleme35b  40957  cdleme35c  40958  cdleme42h  40989  cdleme42i  40990  cdleme48bw  41009  cdlemg2fv2  41107  cdlemg7fvbwN  41114  cdlemg8b  41135  cdlemg11b  41149  trlcolem  41233  trljco  41247  cdlemi1  41325  cdlemk48  41457  cdlemn2  41702  dihjustlem  41723  dihord1  41725  dihord5apre  41769  dihglbcpreN  41807  dihmeetlem3N  41812  dihmeetlem11N  41824