Theorem latlej1 18389

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31486 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18377	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18323	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  joincjn 18252  meetcmee 18253  Latclat 18372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18285  df-join 18287  df-lat 18373

This theorem is referenced by:  latjlej1  18394  latnlej  18397  latnlej2  18400  latjidm  18403  latnle  18414  latabs2  18417  latmlej11  18419  latjass  18424  mod1ile  18434  lubun  18456  oldmm1  39203  olj01  39211  omllaw5N  39233  cvlexchb1  39316  cvlsupr2  39329  cvlsupr7  39334  hlatlej1  39361  hlrelat5N  39388  2atjm  39432  2llnmj  39547  lplnexllnN  39551  2llnjaN  39553  2llnm2N  39555  4atlem3a  39584  2lplnja  39606  2lplnm2N  39608  2lplnmj  39609  dalemply  39641  dalemsly  39642  dalem10  39660  dalem13  39663  dalem21  39681  dalem55  39714  2llnma1b  39773  cdlema1N  39778  elpaddn0  39787  paddasslem12  39818  paddasslem13  39819  pmapjoin  39839  dalawlem2  39859  dalawlem7  39864  dalawlem11  39868  dalawlem12  39869  lhpmcvr3  40012  lhpmcvr5N  40014  lhpmcvr6N  40015  lautj  40080  trljat1  40153  cdlemc1  40178  cdlemc4  40181  cdleme1  40214  cdleme8  40237  cdleme11g  40252  cdleme22e  40331  cdleme22eALTN  40332  cdleme23b  40337  cdleme23c  40338  cdleme27N  40356  cdleme30a  40365  cdleme35fnpq  40436  cdleme35b  40437  cdleme35c  40438  cdleme42h  40469  cdleme42i  40470  cdleme48bw  40489  cdlemg2fv2  40587  cdlemg7fvbwN  40594  cdlemg8b  40615  cdlemg11b  40629  trlcolem  40713  trljco  40727  cdlemi1  40805  cdlemk48  40937  cdlemn2  41182  dihjustlem  41203  dihord1  41205  dihord5apre  41249  dihglbcpreN  41287  dihmeetlem3N  41292  dihmeetlem11N  41304