Theorem latlej1 18354

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31451 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18288	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latjlej1  18359  latnlej  18362  latnlej2  18365  latjidm  18368  latnle  18379  latabs2  18382  latmlej11  18384  latjass  18389  mod1ile  18399  lubun  18421  oldmm1  39200  olj01  39208  omllaw5N  39230  cvlexchb1  39313  cvlsupr2  39326  cvlsupr7  39331  hlatlej1  39358  hlrelat5N  39384  2atjm  39428  2llnmj  39543  lplnexllnN  39547  2llnjaN  39549  2llnm2N  39551  4atlem3a  39580  2lplnja  39602  2lplnm2N  39604  2lplnmj  39605  dalemply  39637  dalemsly  39638  dalem10  39656  dalem13  39659  dalem21  39677  dalem55  39710  2llnma1b  39769  cdlema1N  39774  elpaddn0  39783  paddasslem12  39814  paddasslem13  39815  pmapjoin  39835  dalawlem2  39855  dalawlem7  39860  dalawlem11  39864  dalawlem12  39865  lhpmcvr3  40008  lhpmcvr5N  40010  lhpmcvr6N  40011  lautj  40076  trljat1  40149  cdlemc1  40174  cdlemc4  40177  cdleme1  40210  cdleme8  40233  cdleme11g  40248  cdleme22e  40327  cdleme22eALTN  40328  cdleme23b  40333  cdleme23c  40334  cdleme27N  40352  cdleme30a  40361  cdleme35fnpq  40432  cdleme35b  40433  cdleme35c  40434  cdleme42h  40465  cdleme42i  40466  cdleme48bw  40485  cdlemg2fv2  40583  cdlemg7fvbwN  40590  cdlemg8b  40611  cdlemg11b  40625  trlcolem  40709  trljco  40723  cdlemi1  40801  cdlemk48  40933  cdlemn2  41178  dihjustlem  41199  dihord1  41201  dihord5apre  41245  dihglbcpreN  41283  dihmeetlem3N  41288  dihmeetlem11N  41300