Theorem latlej1 18510

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31870 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18498	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18444	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  joincjn 18373  meetcmee 18374  Latclat 18493

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18406  df-join 18408  df-lat 18494

This theorem is used by:  latjlej1  18515  latnlej  18518  latnlej2  18521  latjidm  18524  latnle  18535  latabs2  18538  latmlej11  18540  latjass  18545  mod1ile  18555  lubun  18577  oldmm1  40019  olj01  40027  omllaw5N  40049  cvlexchb1  40132  cvlsupr2  40145  cvlsupr7  40150  hlatlej1  40177  hlrelat5N  40203  2atjm  40247  2llnmj  40362  lplnexllnN  40366  2llnjaN  40368  2llnm2N  40370  4atlem3a  40399  2lplnja  40421  2lplnm2N  40423  2lplnmj  40424  dalemply  40456  dalemsly  40457  dalem10  40475  dalem13  40478  dalem21  40496  dalem55  40529  2llnma1b  40588  cdlema1N  40593  elpaddn0  40602  paddasslem12  40633  paddasslem13  40634  pmapjoin  40654  dalawlem2  40674  dalawlem7  40679  dalawlem11  40683  dalawlem12  40684  lhpmcvr3  40827  lhpmcvr5N  40829  lhpmcvr6N  40830  lautj  40895  trljat1  40968  cdlemc1  40993  cdlemc4  40996  cdleme1  41029  cdleme8  41052  cdleme11g  41067  cdleme22e  41146  cdleme22eALTN  41147  cdleme23b  41152  cdleme23c  41153  cdleme27N  41171  cdleme30a  41180  cdleme35fnpq  41251  cdleme35b  41252  cdleme35c  41253  cdleme42h  41284  cdleme42i  41285  cdleme48bw  41304  cdlemg2fv2  41402  cdlemg7fvbwN  41409  cdlemg8b  41430  cdlemg11b  41444  trlcolem  41528  trljco  41542  cdlemi1  41620  cdlemk48  41752  cdlemn2  41997  dihjustlem  42018  dihord1  42020  dihord5apre  42064  dihglbcpreN  42102  dihmeetlem3N  42107  dihmeetlem11N  42119