Theorem latlej1 18648

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 32136 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18636	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18582	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  lecple 17461  joincjn 18511  meetcmee 18512  Latclat 18631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-lub 18544  df-join 18546  df-lat 18632

This theorem is used by:  latjlej1  18653  latnlej  18656  latnlej2  18659  latjidm  18662  latnle  18673  latabs2  18676  latmlej11  18678  latjass  18683  mod1ile  18693  lubun  18715  oldmm1  40465  olj01  40473  omllaw5N  40495  cvlexchb1  40578  cvlsupr2  40591  cvlsupr7  40596  hlatlej1  40623  hlrelat5N  40649  2atjm  40693  2llnmj  40808  lplnexllnN  40812  2llnjaN  40814  2llnm2N  40816  4atlem3a  40845  2lplnja  40867  2lplnm2N  40869  2lplnmj  40870  dalemply  40902  dalemsly  40903  dalem10  40921  dalem13  40924  dalem21  40942  dalem55  40975  2llnma1b  41034  cdlema1N  41039  elpaddn0  41048  paddasslem12  41079  paddasslem13  41080  pmapjoin  41100  dalawlem2  41120  dalawlem7  41125  dalawlem11  41129  dalawlem12  41130  lhpmcvr3  41273  lhpmcvr5N  41275  lhpmcvr6N  41276  lautj  41341  trljat1  41414  cdlemc1  41439  cdlemc4  41442  cdleme1  41475  cdleme8  41498  cdleme11g  41513  cdleme22e  41592  cdleme22eALTN  41593  cdleme23b  41598  cdleme23c  41599  cdleme27N  41617  cdleme30a  41626  cdleme35fnpq  41697  cdleme35b  41698  cdleme35c  41699  cdleme42h  41730  cdleme42i  41731  cdleme48bw  41750  cdlemg2fv2  41848  cdlemg7fvbwN  41855  cdlemg8b  41876  cdlemg11b  41890  trlcolem  41974  trljco  41988  cdlemi1  42066  cdlemk48  42198  cdlemn2  42443  dihjustlem  42464  dihord1  42466  dihord5apre  42510  dihglbcpreN  42548  dihmeetlem3N  42553  dihmeetlem11N  42565