Theorem latlej1 18081

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 29770 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18069	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18017	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  joincjn 17944  meetcmee 17945  Latclat 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-lub 17979  df-join 17981  df-lat 18065

This theorem is referenced by:  latjlej1  18086  latnlej  18089  latnlej2  18092  latjidm  18095  latnle  18106  latabs2  18109  latmlej11  18111  latjass  18116  mod1ile  18126  lubun  18148  oldmm1  37158  olj01  37166  omllaw5N  37188  cvlexchb1  37271  cvlsupr2  37284  cvlsupr7  37289  hlatlej1  37316  hlrelat5N  37342  2atjm  37386  2llnmj  37501  lplnexllnN  37505  2llnjaN  37507  2llnm2N  37509  4atlem3a  37538  2lplnja  37560  2lplnm2N  37562  2lplnmj  37563  dalemply  37595  dalemsly  37596  dalem10  37614  dalem13  37617  dalem21  37635  dalem55  37668  2llnma1b  37727  cdlema1N  37732  elpaddn0  37741  paddasslem12  37772  paddasslem13  37773  pmapjoin  37793  dalawlem2  37813  dalawlem7  37818  dalawlem11  37822  dalawlem12  37823  lhpmcvr3  37966  lhpmcvr5N  37968  lhpmcvr6N  37969  lautj  38034  trljat1  38107  cdlemc1  38132  cdlemc4  38135  cdleme1  38168  cdleme8  38191  cdleme11g  38206  cdleme22e  38285  cdleme22eALTN  38286  cdleme23b  38291  cdleme23c  38292  cdleme27N  38310  cdleme30a  38319  cdleme35fnpq  38390  cdleme35b  38391  cdleme35c  38392  cdleme42h  38423  cdleme42i  38424  cdleme48bw  38443  cdlemg2fv2  38541  cdlemg7fvbwN  38548  cdlemg8b  38569  cdlemg11b  38583  trlcolem  38667  trljco  38681  cdlemi1  38759  cdlemk48  38891  cdlemn2  39136  dihjustlem  39157  dihord1  39159  dihord5apre  39203  dihglbcpreN  39241  dihmeetlem3N  39246  dihmeetlem11N  39258