Theorem latlej1 18540

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31974 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18528	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18474	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  lecple 17353  joincjn 18403  meetcmee 18404  Latclat 18523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-lub 18436  df-join 18438  df-lat 18524

This theorem is used by:  latjlej1  18545  latnlej  18548  latnlej2  18551  latjidm  18554  latnle  18565  latabs2  18568  latmlej11  18570  latjass  18575  mod1ile  18585  lubun  18607  oldmm1  40077  olj01  40085  omllaw5N  40107  cvlexchb1  40190  cvlsupr2  40203  cvlsupr7  40208  hlatlej1  40235  hlrelat5N  40261  2atjm  40305  2llnmj  40420  lplnexllnN  40424  2llnjaN  40426  2llnm2N  40428  4atlem3a  40457  2lplnja  40479  2lplnm2N  40481  2lplnmj  40482  dalemply  40514  dalemsly  40515  dalem10  40533  dalem13  40536  dalem21  40554  dalem55  40587  2llnma1b  40646  cdlema1N  40651  elpaddn0  40660  paddasslem12  40691  paddasslem13  40692  pmapjoin  40712  dalawlem2  40732  dalawlem7  40737  dalawlem11  40741  dalawlem12  40742  lhpmcvr3  40885  lhpmcvr5N  40887  lhpmcvr6N  40888  lautj  40953  trljat1  41026  cdlemc1  41051  cdlemc4  41054  cdleme1  41087  cdleme8  41110  cdleme11g  41125  cdleme22e  41204  cdleme22eALTN  41205  cdleme23b  41210  cdleme23c  41211  cdleme27N  41229  cdleme30a  41238  cdleme35fnpq  41309  cdleme35b  41310  cdleme35c  41311  cdleme42h  41342  cdleme42i  41343  cdleme48bw  41362  cdlemg2fv2  41460  cdlemg7fvbwN  41467  cdlemg8b  41488  cdlemg11b  41502  trlcolem  41586  trljco  41600  cdlemi1  41678  cdlemk48  41810  cdlemn2  42055  dihjustlem  42076  dihord1  42078  dihord5apre  42122  dihglbcpreN  42160  dihmeetlem3N  42165  dihmeetlem11N  42177