Theorem latlej1 18493

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31526 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18429	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-lub 18391  df-join 18393  df-lat 18477

This theorem is referenced by:  latjlej1  18498  latnlej  18501  latnlej2  18504  latjidm  18507  latnle  18518  latabs2  18521  latmlej11  18523  latjass  18528  mod1ile  18538  lubun  18560  oldmm1  39218  olj01  39226  omllaw5N  39248  cvlexchb1  39331  cvlsupr2  39344  cvlsupr7  39349  hlatlej1  39376  hlrelat5N  39403  2atjm  39447  2llnmj  39562  lplnexllnN  39566  2llnjaN  39568  2llnm2N  39570  4atlem3a  39599  2lplnja  39621  2lplnm2N  39623  2lplnmj  39624  dalemply  39656  dalemsly  39657  dalem10  39675  dalem13  39678  dalem21  39696  dalem55  39729  2llnma1b  39788  cdlema1N  39793  elpaddn0  39802  paddasslem12  39833  paddasslem13  39834  pmapjoin  39854  dalawlem2  39874  dalawlem7  39879  dalawlem11  39883  dalawlem12  39884  lhpmcvr3  40027  lhpmcvr5N  40029  lhpmcvr6N  40030  lautj  40095  trljat1  40168  cdlemc1  40193  cdlemc4  40196  cdleme1  40229  cdleme8  40252  cdleme11g  40267  cdleme22e  40346  cdleme22eALTN  40347  cdleme23b  40352  cdleme23c  40353  cdleme27N  40371  cdleme30a  40380  cdleme35fnpq  40451  cdleme35b  40452  cdleme35c  40453  cdleme42h  40484  cdleme42i  40485  cdleme48bw  40504  cdlemg2fv2  40602  cdlemg7fvbwN  40609  cdlemg8b  40630  cdlemg11b  40644  trlcolem  40728  trljco  40742  cdlemi1  40820  cdlemk48  40952  cdlemn2  41197  dihjustlem  41218  dihord1  41220  dihord5apre  41264  dihglbcpreN  41302  dihmeetlem3N  41307  dihmeetlem11N  41319