Theorem latlej1 18166

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 29869 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18102	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-lub 18064  df-join 18066  df-lat 18150

This theorem is referenced by:  latjlej1  18171  latnlej  18174  latnlej2  18177  latjidm  18180  latnle  18191  latabs2  18194  latmlej11  18196  latjass  18201  mod1ile  18211  lubun  18233  oldmm1  37231  olj01  37239  omllaw5N  37261  cvlexchb1  37344  cvlsupr2  37357  cvlsupr7  37362  hlatlej1  37389  hlrelat5N  37415  2atjm  37459  2llnmj  37574  lplnexllnN  37578  2llnjaN  37580  2llnm2N  37582  4atlem3a  37611  2lplnja  37633  2lplnm2N  37635  2lplnmj  37636  dalemply  37668  dalemsly  37669  dalem10  37687  dalem13  37690  dalem21  37708  dalem55  37741  2llnma1b  37800  cdlema1N  37805  elpaddn0  37814  paddasslem12  37845  paddasslem13  37846  pmapjoin  37866  dalawlem2  37886  dalawlem7  37891  dalawlem11  37895  dalawlem12  37896  lhpmcvr3  38039  lhpmcvr5N  38041  lhpmcvr6N  38042  lautj  38107  trljat1  38180  cdlemc1  38205  cdlemc4  38208  cdleme1  38241  cdleme8  38264  cdleme11g  38279  cdleme22e  38358  cdleme22eALTN  38359  cdleme23b  38364  cdleme23c  38365  cdleme27N  38383  cdleme30a  38392  cdleme35fnpq  38463  cdleme35b  38464  cdleme35c  38465  cdleme42h  38496  cdleme42i  38497  cdleme48bw  38516  cdlemg2fv2  38614  cdlemg7fvbwN  38621  cdlemg8b  38642  cdlemg11b  38656  trlcolem  38740  trljco  38754  cdlemi1  38832  cdlemk48  38964  cdlemn2  39209  dihjustlem  39230  dihord1  39232  dihord5apre  39276  dihglbcpreN  39314  dihmeetlem3N  39319  dihmeetlem11N  39331