Theorem latlej1 18354

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31455 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18288	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latjlej1  18359  latnlej  18362  latnlej2  18365  latjidm  18368  latnle  18379  latabs2  18382  latmlej11  18384  latjass  18389  mod1ile  18399  lubun  18421  oldmm1  39216  olj01  39224  omllaw5N  39246  cvlexchb1  39329  cvlsupr2  39342  cvlsupr7  39347  hlatlej1  39374  hlrelat5N  39400  2atjm  39444  2llnmj  39559  lplnexllnN  39563  2llnjaN  39565  2llnm2N  39567  4atlem3a  39596  2lplnja  39618  2lplnm2N  39620  2lplnmj  39621  dalemply  39653  dalemsly  39654  dalem10  39672  dalem13  39675  dalem21  39693  dalem55  39726  2llnma1b  39785  cdlema1N  39790  elpaddn0  39799  paddasslem12  39830  paddasslem13  39831  pmapjoin  39851  dalawlem2  39871  dalawlem7  39876  dalawlem11  39880  dalawlem12  39881  lhpmcvr3  40024  lhpmcvr5N  40026  lhpmcvr6N  40027  lautj  40092  trljat1  40165  cdlemc1  40190  cdlemc4  40193  cdleme1  40226  cdleme8  40249  cdleme11g  40264  cdleme22e  40343  cdleme22eALTN  40344  cdleme23b  40349  cdleme23c  40350  cdleme27N  40368  cdleme30a  40377  cdleme35fnpq  40448  cdleme35b  40449  cdleme35c  40450  cdleme42h  40481  cdleme42i  40482  cdleme48bw  40501  cdlemg2fv2  40599  cdlemg7fvbwN  40606  cdlemg8b  40627  cdlemg11b  40641  trlcolem  40725  trljco  40739  cdlemi1  40817  cdlemk48  40949  cdlemn2  41194  dihjustlem  41215  dihord1  41217  dihord5apre  41261  dihglbcpreN  41299  dihmeetlem3N  41304  dihmeetlem11N  41316