Theorem latlej1 18375

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31586 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18363	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18309	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  lecple 17188  joincjn 18238  meetcmee 18239  Latclat 18358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-lub 18271  df-join 18273  df-lat 18359

This theorem is referenced by:  latjlej1  18380  latnlej  18383  latnlej2  18386  latjidm  18389  latnle  18400  latabs2  18403  latmlej11  18405  latjass  18410  mod1ile  18420  lubun  18442  oldmm1  39545  olj01  39553  omllaw5N  39575  cvlexchb1  39658  cvlsupr2  39671  cvlsupr7  39676  hlatlej1  39703  hlrelat5N  39729  2atjm  39773  2llnmj  39888  lplnexllnN  39892  2llnjaN  39894  2llnm2N  39896  4atlem3a  39925  2lplnja  39947  2lplnm2N  39949  2lplnmj  39950  dalemply  39982  dalemsly  39983  dalem10  40001  dalem13  40004  dalem21  40022  dalem55  40055  2llnma1b  40114  cdlema1N  40119  elpaddn0  40128  paddasslem12  40159  paddasslem13  40160  pmapjoin  40180  dalawlem2  40200  dalawlem7  40205  dalawlem11  40209  dalawlem12  40210  lhpmcvr3  40353  lhpmcvr5N  40355  lhpmcvr6N  40356  lautj  40421  trljat1  40494  cdlemc1  40519  cdlemc4  40522  cdleme1  40555  cdleme8  40578  cdleme11g  40593  cdleme22e  40672  cdleme22eALTN  40673  cdleme23b  40678  cdleme23c  40679  cdleme27N  40697  cdleme30a  40706  cdleme35fnpq  40777  cdleme35b  40778  cdleme35c  40779  cdleme42h  40810  cdleme42i  40811  cdleme48bw  40830  cdlemg2fv2  40928  cdlemg7fvbwN  40935  cdlemg8b  40956  cdlemg11b  40970  trlcolem  41054  trljco  41068  cdlemi1  41146  cdlemk48  41278  cdlemn2  41523  dihjustlem  41544  dihord1  41546  dihord5apre  41590  dihglbcpreN  41628  dihmeetlem3N  41633  dihmeetlem11N  41645