Theorem latlej1 18622

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 32109 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18610	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18556	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  joincjn 18485  meetcmee 18486  Latclat 18605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-lub 18518  df-join 18520  df-lat 18606

This theorem is used by:  latjlej1  18627  latnlej  18630  latnlej2  18633  latjidm  18636  latnle  18647  latabs2  18650  latmlej11  18652  latjass  18657  mod1ile  18667  lubun  18689  oldmm1  40275  olj01  40283  omllaw5N  40305  cvlexchb1  40388  cvlsupr2  40401  cvlsupr7  40406  hlatlej1  40433  hlrelat5N  40459  2atjm  40503  2llnmj  40618  lplnexllnN  40622  2llnjaN  40624  2llnm2N  40626  4atlem3a  40655  2lplnja  40677  2lplnm2N  40679  2lplnmj  40680  dalemply  40712  dalemsly  40713  dalem10  40731  dalem13  40734  dalem21  40752  dalem55  40785  2llnma1b  40844  cdlema1N  40849  elpaddn0  40858  paddasslem12  40889  paddasslem13  40890  pmapjoin  40910  dalawlem2  40930  dalawlem7  40935  dalawlem11  40939  dalawlem12  40940  lhpmcvr3  41083  lhpmcvr5N  41085  lhpmcvr6N  41086  lautj  41151  trljat1  41224  cdlemc1  41249  cdlemc4  41252  cdleme1  41285  cdleme8  41308  cdleme11g  41323  cdleme22e  41402  cdleme22eALTN  41403  cdleme23b  41408  cdleme23c  41409  cdleme27N  41427  cdleme30a  41436  cdleme35fnpq  41507  cdleme35b  41508  cdleme35c  41509  cdleme42h  41540  cdleme42i  41541  cdleme48bw  41560  cdlemg2fv2  41658  cdlemg7fvbwN  41665  cdlemg8b  41686  cdlemg11b  41700  trlcolem  41784  trljco  41798  cdlemi1  41876  cdlemk48  42008  cdlemn2  42253  dihjustlem  42274  dihord1  42276  dihord5apre  42320  dihglbcpreN  42358  dihmeetlem3N  42363  dihmeetlem11N  42375