Theorem latlej1 18505

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 31535 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem latlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		simp1 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
8	1, 3, 7, 4, 5, 6	latcl2 18493	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
9	8	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	lejoin1 18441	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  lecple 17304  joincjn 18368  meetcmee 18369  Latclat 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18403  df-join 18405  df-lat 18489

This theorem is referenced by:  latjlej1  18510  latnlej  18513  latnlej2  18516  latjidm  18519  latnle  18530  latabs2  18533  latmlej11  18535  latjass  18540  mod1ile  18550  lubun  18572  oldmm1  39198  olj01  39206  omllaw5N  39228  cvlexchb1  39311  cvlsupr2  39324  cvlsupr7  39329  hlatlej1  39356  hlrelat5N  39383  2atjm  39427  2llnmj  39542  lplnexllnN  39546  2llnjaN  39548  2llnm2N  39550  4atlem3a  39579  2lplnja  39601  2lplnm2N  39603  2lplnmj  39604  dalemply  39636  dalemsly  39637  dalem10  39655  dalem13  39658  dalem21  39676  dalem55  39709  2llnma1b  39768  cdlema1N  39773  elpaddn0  39782  paddasslem12  39813  paddasslem13  39814  pmapjoin  39834  dalawlem2  39854  dalawlem7  39859  dalawlem11  39863  dalawlem12  39864  lhpmcvr3  40007  lhpmcvr5N  40009  lhpmcvr6N  40010  lautj  40075  trljat1  40148  cdlemc1  40173  cdlemc4  40176  cdleme1  40209  cdleme8  40232  cdleme11g  40247  cdleme22e  40326  cdleme22eALTN  40327  cdleme23b  40332  cdleme23c  40333  cdleme27N  40351  cdleme30a  40360  cdleme35fnpq  40431  cdleme35b  40432  cdleme35c  40433  cdleme42h  40464  cdleme42i  40465  cdleme48bw  40484  cdlemg2fv2  40582  cdlemg7fvbwN  40589  cdlemg8b  40610  cdlemg11b  40624  trlcolem  40708  trljco  40722  cdlemi1  40800  cdlemk48  40932  cdlemn2  41177  dihjustlem  41198  dihord1  41200  dihord5apre  41244  dihglbcpreN  41282  dihmeetlem3N  41287  dihmeetlem11N  41299