MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul32i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul32i 11358
Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by NM, 11-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
mul.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
mul.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
mul32i ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต)

Proof of Theorem mul32i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 mul.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‚
3 mul.3 . 2 ๐ถ โˆˆ โ„‚
4 mul32 11328 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 1 ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  8th4div3  12380  faclbnd4lem1  14200  bpoly4  15949  dec5nprm  16945  dec2nprm  16946  karatsuba  16963  quart1lem  26221  log2ublem2  26313  log2ub  26315  normlem3  30096  bcseqi  30104  dpmul100  31795  dpmul1000  31797
  Copyright terms: Public domain W3C validator