![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul12 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Commutative/associative law for multiplication. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul12 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcom 11193 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1d 7417 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ)) |
3 | 2 | 3adant3 1129 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ)) |
4 | mulass 11195 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ))) | |
5 | mulass 11195 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))) | |
6 | 5 | 3com12 1120 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ต ยท ๐ด) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))) |
7 | 3, 4, 6 | 3eqtr3d 2772 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7402 โcc 11105 ยท cmul 11112 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-ext 2695 ax-mulcom 11171 ax-mulass 11173 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-sb 2060 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-rab 3425 df-v 3468 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-iota 6486 df-fv 6542 df-ov 7405 |
This theorem is referenced by: mul02 11391 mul12i 11408 mul12d 11422 mulre 15070 sqreulem 15308 fsumcube 16006 demoivre 16146 demoivreALT 16147 dvdscmul 16229 dvdscmulr 16231 dvdstr 16240 ablfacrp 19984 nmoleub2lem3 24986 sinperlem 26355 coskpi 26397 sineq0 26398 efif1olem4 26419 rpvmasum2 27385 expgrowthi 43641 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |