![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > muldvds1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
muldvds1 | โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โฅ ๐ โ ๐พ โฅ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zmulcl 12651 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ ยท ๐) โ โค) | |
2 | 1 | anim1i 613 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โ โค โง ๐ โ โค)) |
3 | 2 | 3impa 1107 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โ โค โง ๐ โ โค)) |
4 | 3simpb 1146 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
5 | zmulcl 12651 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ฅ ยท ๐) โ โค) | |
6 | 5 | ancoms 457 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท ๐) โ โค) |
7 | 6 | 3ad2antl2 1183 | . 2 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท ๐) โ โค) |
8 | zcn 12603 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
9 | zcn 12603 | . . . . . . . 8 โข (๐พ โ โค โ ๐พ โ โ) | |
10 | zcn 12603 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
11 | mulass 11236 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐พ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ฅ ยท ๐พ) ยท ๐) = (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐))) | |
12 | mul32 11420 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐พ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ฅ ยท ๐พ) ยท ๐) = ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ)) | |
13 | 11, 12 | eqtr3d 2770 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐พ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ)) |
14 | 8, 9, 10, 13 | syl3an 1157 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ)) |
15 | 14 | 3coml 1124 | . . . . . 6 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ)) |
16 | 15 | 3expa 1115 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ)) |
17 | 16 | 3adantl3 1165 | . . . 4 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ)) |
18 | 17 | eqeq1d 2730 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ๐ โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = ๐)) |
19 | 18 | biimpd 228 | . 2 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = ๐ โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = ๐)) |
20 | 3, 4, 7, 19 | dvds1lem 16254 | 1 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โฅ ๐ โ ๐พ โฅ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 โcc 11146 ยท cmul 11153 โคcz 12598 โฅ cdvds 16240 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7879 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-ltxr 11293 df-sub 11486 df-neg 11487 df-nn 12253 df-n0 12513 df-z 12599 df-dvds 16241 |
This theorem is referenced by: 3dvds 16317 odmulg 19525 muldvds1d 41508 jm2.20nn 42467 jm2.27c 42477 nzss 43803 etransclem28 45697 fmtnofac2lem 46955 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |