Theorem muldvds1 16081

Description: If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
muldvds1	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem muldvds1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12462	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	anim1i 615	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		3simpb 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
5		zmulcl 12462	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	3ad2antl2 1185	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℤ)
8		zcn 12417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		zcn 12417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
10		zcn 12417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
11		mulass 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
12		mul32 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
13	11, 12	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
15	14	3coml 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
16	15	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
17	16	3adantl3 1167	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
18	17	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = 𝑁 ↔ ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = 𝑁))
19	18	biimpd 228	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = 𝑁))
20	3, 4, 7, 19	dvds1lem 16068	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  ℂcc 10962   · cmul 10969  ℤcz 12412   ∥ cdvds 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-ltxr 11107  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-dvds 16055

This theorem is referenced by:  3dvds  16131  odmulg  19251  muldvds1d  40253  jm2.20nn  41070  jm2.27c  41080  nzss  42245  etransclem28  44128  fmtnofac2lem  45360