HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem2 29839
Description: Lemma for cnlnadji 29847. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 29740 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelrni 6845 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇𝑔) ∈ ℋ)
4 hicl 28851 . . . . . 6 (((𝑇𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53, 4sylan 582 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
65ancoms 461 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
86, 7fmptd 6873 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9 hvmulcl 28784 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ)
101lnopaddi 29742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
11103adant3 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
1211oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦))
132ffvelrni 6845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ)
142ffvelrni 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16 ax-his2 28854 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1156 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1812, 17eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
19183comr 1121 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
20193expa 1114 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
219, 20sylanl2 679 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
22 hvaddcl 28783 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
239, 22sylan 582 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ContOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 29838 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2726adantll 712 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
282ffvelrni 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
29 ax-his3 28855 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3028, 29syl3an2 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
31303comr 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
32313expb 1116 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
331lnopmuli 29743 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) = (𝑥 · (𝑇𝑤)))
3433oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
3534adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
361, 24, 7cnlnadjlem1 29838 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺𝑤) = ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦))
3736oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3837ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3932, 35, 383eqtr4rd 2867 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦))
401, 24, 7cnlnadjlem1 29838 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
4139, 40oveqan12d 7169 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
4221, 27, 413eqtr4d 2866 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4342ralrimiva 3182 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4443ralrimivva 3191 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
45 ellnfn 29654 . . 3 (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧))))
468, 44, 45sylanbrc 585 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
471, 24nmcopexi 29798 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
48 normcl 28896 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
49 remulcl 10616 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5047, 48, 49sylancr 589 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5140adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
52 hicl 28851 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5314, 52sylan 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2913 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5554abscld 14790 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
56 normcl 28896 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5714, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
58 remulcl 10616 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5957, 48, 58syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
60 normcl 28896 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℝ)
61 remulcl 10616 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑧) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
6247, 60, 61sylancr 589 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
63 remulcl 10616 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6462, 48, 63syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6551fveq2d 6669 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) = (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
66 bcs 28952 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6714, 66sylan 582 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6865, 67eqbrtrd 5081 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6957adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7062adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
71 normge0 28897 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑦))
7248, 71jca 514 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
7372adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
741, 24nmcoplbi 29799 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
7574adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
76 lemul1a 11488 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦))) ∧ (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧))) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7855, 59, 64, 68, 77letrd 10791 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7960recnd 10663 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℂ)
8048recnd 10663 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
8147recni 10649 . . . . . . . . 9 (normop𝑇) ∈ ℂ
82 mul32 10800 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8381, 82mp3an1 1444 . . . . . . . 8 (((norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8479, 80, 83syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8578, 84breqtrd 5085 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8685ancoms 461 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8786ralrimiva 3182 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
88 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (𝑥 · (norm𝑧)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8988breq2d 5071 . . . . . 6 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9089ralbidv 3197 . . . . 5 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9190rspcev 3623 . . . 4 ((((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
9250, 87, 91syl2anc 586 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
93 lnfncon 29827 . . . 4 (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9446, 93syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9592, 94mpbird 259 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
9646, 95jca 514 1 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139   class class class wbr 5059  cmpt 5139  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  cle 10670  abscabs 14587  chba 28690   + cva 28691   · csm 28692   ·ih csp 28693  normcno 28694  normopcnop 28716  ContOpccop 28717  LinOpclo 28718  ContFnccnfn 28724  LinFnclf 28725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855  ax-his4 28856
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-t1 21916  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-gdiv 28267  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-vs 28370  df-nmcv 28371  df-ims 28372  df-dip 28472  df-ph 28584  df-hnorm 28739  df-hba 28740  df-hvsub 28742  df-nmop 29610  df-cnop 29611  df-lnop 29612  df-nmfn 29616  df-cnfn 29618  df-lnfn 29619
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  29840  cnlnadjlem5  29842
  Copyright terms: Public domain W3C validator