Theorem cnlnadjlem2 29851

Description: Lemma for cnlnadji 29859. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 29752	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelrni 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑔) ∈ ℋ)
4		hicl 28863	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5	3, 4	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
8	6, 7	fmptd 6855	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9		hvmulcl 28796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
10	1	lnopaddi 29754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
11	10	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
12	11	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦))
13	2	ffvelrni 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ)
14	2	ffvelrni 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16		ax-his2 28866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
18	12, 17	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
19	18	3comr 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
20	19	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
21	9, 20	sylanl2 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
22		hvaddcl 28795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	9, 22	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 29850	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
27	26	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
28	2	ffvelrni 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
29		ax-his3 28867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
30	28, 29	syl3an2 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
31	30	3comr 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
32	31	3expb 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
33	1	lnopmuli 29755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) = (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)))
34	33	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
35	34	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 29850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑤) = ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦))
37	36	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
38	37	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦))
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 29850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2843	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
43	42	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
44	43	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
45		ellnfn 29666	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧))))
46	8, 44, 45	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
47	1, 24	nmcopexi 29810	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
48		normcl 28908	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
49		remulcl 10611	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
51	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
52		hicl 28863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	14, 52	sylan 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
55	54	abscld 14788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
56		normcl 28908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
57	14, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
58		remulcl 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
59	57, 48, 58	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
60		normcl 28908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
61		remulcl 10611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
62	47, 60, 61	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
63		remulcl 10611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
64	62, 48, 63	syl2an 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
65	51	fveq2d 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
66		bcs 28964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
67	14, 66	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
68	65, 67	eqbrtrd 5052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
69	57	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
70	62	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
71		normge0 28909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑦))
72	48, 71	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
73	72	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
74	1, 24	nmcoplbi 29811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
75	74	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
76		lemul1a 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 10786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
79	60	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ)
80	48	recnd 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
81	47	recni 10644	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
82		mul32 10795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
83	81, 82	mp3an1 1445	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
84	79, 80, 83	syl2an 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
85	78, 84	breqtrd 5056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
86	85	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
87	86	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
88		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
89	88	breq2d 5042	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
90	89	ralbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
91	90	rspcev 3571	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
92	50, 87, 91	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
93		lnfncon 29839	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
94	46, 93	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
95	92, 94	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
96	46, 95	jca 515	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665  abscabs 14585   ℋchba 28702   +_ℎ cva 28703   ·_ℎ csm 28704   ·_ih csp 28705  norm_ℎcno 28706  norm_opcnop 28728  ContOpccop 28729  LinOpclo 28730  ContFnccnfn 28736  LinFnclf 28737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr1 28791  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-t1 21919  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-ims 28384  df-dip 28484  df-ph 28596  df-hnorm 28751  df-hba 28752  df-hvsub 28754  df-nmop 29622  df-cnop 29623  df-lnop 29624  df-nmfn 29628  df-cnfn 29630  df-lnfn 29631

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  29852  cnlnadjlem5  29854