HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem2 32097
Description: Lemma for cnlnadji 32105. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 31998 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelcdmi 7103 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇𝑔) ∈ ℋ)
4 hicl 31109 . . . . . 6 (((𝑇𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53, 4sylan 580 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
65ancoms 458 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
86, 7fmptd 7134 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9 hvmulcl 31042 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ)
101lnopaddi 32000 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
11103adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
1211oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦))
132ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ)
142ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16 ax-his2 31112 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1159 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1812, 17eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
19183comr 1124 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
20193expa 1117 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
219, 20sylanl2 681 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
22 hvaddcl 31041 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
239, 22sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ContOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 32096 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2726adantll 714 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
282ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
29 ax-his3 31113 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3028, 29syl3an2 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
31303comr 1124 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
32313expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
331lnopmuli 32001 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) = (𝑥 · (𝑇𝑤)))
3433oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
361, 24, 7cnlnadjlem1 32096 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺𝑤) = ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦))
3736oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3837ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3932, 35, 383eqtr4rd 2786 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦))
401, 24, 7cnlnadjlem1 32096 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
4139, 40oveqan12d 7450 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
4221, 27, 413eqtr4d 2785 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4342ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4443ralrimivva 3200 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
45 ellnfn 31912 . . 3 (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧))))
468, 44, 45sylanbrc 583 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
471, 24nmcopexi 32056 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
48 normcl 31154 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
49 remulcl 11238 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5047, 48, 49sylancr 587 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
52 hicl 31109 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5314, 52sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5554abscld 15472 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
56 normcl 31154 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5714, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
58 remulcl 11238 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5957, 48, 58syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
60 normcl 31154 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℝ)
61 remulcl 11238 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑧) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
6247, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
63 remulcl 11238 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6462, 48, 63syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6551fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) = (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
66 bcs 31210 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6714, 66sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6865, 67eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6957adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7062adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
71 normge0 31155 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑦))
7248, 71jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
7372adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
741, 24nmcoplbi 32057 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
7574adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
76 lemul1a 12119 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦))) ∧ (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧))) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7855, 59, 64, 68, 77letrd 11416 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7960recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℂ)
8048recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
8147recni 11273 . . . . . . . . 9 (normop𝑇) ∈ ℂ
82 mul32 11425 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8381, 82mp3an1 1447 . . . . . . . 8 (((norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8479, 80, 83syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8578, 84breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8685ancoms 458 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8786ralrimiva 3144 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
88 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (𝑥 · (norm𝑧)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8988breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9089ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9190rspcev 3622 . . . 4 ((((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
9250, 87, 91syl2anc 584 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
93 lnfncon 32085 . . . 4 (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9446, 93syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9592, 94mpbird 257 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
9646, 95jca 511 1 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  abscabs 15270  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   ·ih csp 30951  normcno 30952  normopcnop 30974  ContOpccop 30975  LinOpclo 30976  ContFnccnfn 30982  LinFnclf 30983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-t1 23338  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-dip 30730  df-ph 30842  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-nmop 31868  df-cnop 31869  df-lnop 31870  df-nmfn 31874  df-cnfn 31876  df-lnfn 31877
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  32098  cnlnadjlem5  32100
  Copyright terms: Public domain W3C validator