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Theorem cnlnadjlem2 31920
Description: Lemma for cnlnadji 31928. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘”) Β·ih 𝑦))
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)
Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables 𝑀 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 31821 . . . . . . 7 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
32ffvelcdmi 7087 . . . . . 6 (𝑔 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ β„‹)
4 hicl 30932 . . . . . 6 (((π‘‡β€˜π‘”) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘”) Β·ih 𝑦) ∈ β„‚)
53, 4sylan 578 . . . . 5 ((𝑔 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘”) Β·ih 𝑦) ∈ β„‚)
65ancoms 457 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑔 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘”) Β·ih 𝑦) ∈ β„‚)
7 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘”) Β·ih 𝑦))
86, 7fmptd 7118 . . 3 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝐺: β„‹βŸΆβ„‚)
9 hvmulcl 30865 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹)
101lnopaddi 31823 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) +β„Ž (π‘‡β€˜π‘§)))
11103adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) +β„Ž (π‘‡β€˜π‘§)))
1211oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) +β„Ž (π‘‡β€˜π‘§)) Β·ih 𝑦))
132ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) ∈ β„‹)
142ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‹)
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
16 ax-his2 30935 . . . . . . . . . . 11 (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) +β„Ž (π‘‡β€˜π‘§)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1157 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) +β„Ž (π‘‡β€˜π‘§)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
1812, 17eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
19183comr 1122 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
20193expa 1115 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
219, 20sylanl2 679 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
22 hvaddcl 30864 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
239, 22sylan 578 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ContOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 31919 . . . . . . . 8 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦))
2726adantll 712 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘‡β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) Β·ih 𝑦))
282ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ β„‹)
29 ax-his3 30936 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)) Β·ih 𝑦) = (π‘₯ Β· ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦)))
3028, 29syl3an2 1161 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)) Β·ih 𝑦) = (π‘₯ Β· ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦)))
31303comr 1122 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)) Β·ih 𝑦) = (π‘₯ Β· ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦)))
32313expb 1117 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)) Β·ih 𝑦) = (π‘₯ Β· ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦)))
331lnopmuli 31824 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) = (π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)))
3433oveq1d 7430 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) = ((π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)) Β·ih 𝑦))
3534adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) β†’ ((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) = ((π‘₯ Β·β„Ž (π‘‡β€˜π‘€)) Β·ih 𝑦))
361, 24, 7cnlnadjlem1 31919 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‹ β†’ (πΊβ€˜π‘€) = ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦))
3736oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) = (π‘₯ Β· ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦)))
3837ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) β†’ (π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) = (π‘₯ Β· ((π‘‡β€˜π‘€) Β·ih 𝑦)))
3932, 35, 383eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) β†’ (π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) = ((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦))
401, 24, 7cnlnadjlem1 31919 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦))
4139, 40oveqan12d 7434 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) + (πΊβ€˜π‘§)) = (((π‘‡β€˜(π‘₯ Β·β„Ž 𝑀)) Β·ih 𝑦) + ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
4221, 27, 413eqtr4d 2775 . . . . 5 (((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) + (πΊβ€˜π‘§)))
4342ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‹)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) + (πΊβ€˜π‘§)))
4443ralrimivva 3191 . . 3 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) + (πΊβ€˜π‘§)))
45 ellnfn 31735 . . 3 (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (πΊβ€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑀) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (πΊβ€˜π‘€)) + (πΊβ€˜π‘§))))
468, 44, 45sylanbrc 581 . 2 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝐺 ∈ LinFn)
471, 24nmcopexi 31879 . . . . 5 (normopβ€˜π‘‡) ∈ ℝ
48 normcl 30977 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
49 remulcl 11221 . . . . 5 (((normopβ€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
5047, 48, 49sylancr 585 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
5140adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦))
52 hicl 30932 . . . . . . . . . . 11 (((π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦) ∈ β„‚)
5314, 52sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦) ∈ β„‚)
5451, 53eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
5554abscld 15413 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
56 normcl 30977 . . . . . . . . . 10 ((π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
5714, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
58 remulcl 11221 . . . . . . . . 9 (((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
5957, 48, 58syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
60 normcl 30977 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
61 remulcl 11221 . . . . . . . . . 10 (((normopβ€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
6247, 60, 61sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
63 remulcl 11221 . . . . . . . . 9 ((((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ) β†’ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6462, 48, 63syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6551fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) = (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)))
66 bcs 31033 . . . . . . . . . 10 (((π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
6714, 66sylan 578 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘§) Β·ih 𝑦)) ≀ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
6865, 67eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
6957adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7062adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
71 normge0 30978 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 0 ≀ (normβ„Žβ€˜π‘¦))
7248, 71jca 510 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
7372adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
741, 24nmcoplbi 31880 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
7574adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
76 lemul1a 12096 . . . . . . . . 9 ((((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ ((normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (normβ„Žβ€˜π‘¦))) ∧ (normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) ≀ ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§))) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((normβ„Žβ€˜(π‘‡β€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
7855, 59, 64, 68, 77letrd 11399 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)))
7960recnd 11270 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8048recnd 11270 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
8147recni 11256 . . . . . . . . 9 (normopβ€˜π‘‡) ∈ β„‚
82 mul32 11408 . . . . . . . . 9 (((normopβ€˜π‘‡) ∈ β„‚ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) = (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
8381, 82mp3an1 1444 . . . . . . . 8 (((normβ„Žβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (normβ„Žβ€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) = (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
8479, 80, 83syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) = (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
8578, 84breqtrd 5169 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
8685ancoms 457 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
8786ralrimiva 3136 . . . 4 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
88 oveq1 7422 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) = (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
8988breq2d 5155 . . . . . 6 (π‘₯ = ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ↔ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§))))
9089ralbidv 3168 . . . . 5 (π‘₯ = ((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§))))
9190rspcev 3602 . . . 4 ((((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (((normopβ€˜π‘‡) Β· (normβ„Žβ€˜π‘¦)) Β· (normβ„Žβ€˜π‘§))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
9250, 87, 91syl2anc 582 . . 3 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§)))
93 lnfncon 31908 . . . 4 (𝐺 ∈ LinFn β†’ (𝐺 ∈ ContFn ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§))))
9446, 93syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝐺 ∈ ContFn ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ≀ (π‘₯ Β· (normβ„Žβ€˜π‘§))))
9592, 94mpbird 256 . 2 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝐺 ∈ ContFn)
9646, 95jca 510 1 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   Β· cmul 11141   ≀ cle 11277  abscabs 15211   β„‹chba 30771   +β„Ž cva 30772   Β·β„Ž csm 30773   Β·ih csp 30774  normβ„Žcno 30775  normopcnop 30797  ContOpccop 30798  LinOpclo 30799  ContFnccnfn 30805  LinFnclf 30806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-t1 23234  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ph 30665  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-nmop 31691  df-cnop 31692  df-lnop 31693  df-nmfn 31697  df-cnfn 31699  df-lnfn 31700
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  31921  cnlnadjlem5  31923
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