Theorem cnlnadjlem2 32087

Description: Lemma for cnlnadji 32095. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 31988	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelcdmi 7103	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑔) ∈ ℋ)
4		hicl 31099	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
8	6, 7	fmptd 7134	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9		hvmulcl 31032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
10	1	lnopaddi 31990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
11	10	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
12	11	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦))
13	2	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ)
14	2	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16		ax-his2 31102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
18	12, 17	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
19	18	3comr 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
20	19	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
21	9, 20	sylanl2 681	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
22		hvaddcl 31031	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	9, 22	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 32086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
27	26	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
28	2	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
29		ax-his3 31103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
30	28, 29	syl3an2 1165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
31	30	3comr 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
32	31	3expb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
33	1	lnopmuli 31991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) = (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)))
34	33	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 32086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑤) = ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦))
37	36	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
38	37	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦))
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 32086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
43	42	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
44	43	ralrimivva 3202	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
45		ellnfn 31902	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧))))
46	8, 44, 45	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
47	1, 24	nmcopexi 32046	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
48		normcl 31144	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
49		remulcl 11240	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
51	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
52		hicl 31099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	14, 52	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
56		normcl 31144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
57	14, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
58		remulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
59	57, 48, 58	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
60		normcl 31144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
61		remulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
62	47, 60, 61	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
63		remulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
64	62, 48, 63	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
65	51	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
66		bcs 31200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
67	14, 66	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
68	65, 67	eqbrtrd 5165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
69	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
70	62	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
71		normge0 31145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑦))
72	48, 71	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
74	1, 24	nmcoplbi 32047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
76		lemul1a 12121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 11418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
79	60	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ)
80	48	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
81	47	recni 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
82		mul32 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
83	81, 82	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
84	79, 80, 83	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
85	78, 84	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
86	85	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
87	86	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
88		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
89	88	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
90	89	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
91	90	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
92	50, 87, 91	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
93		lnfncon 32075	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
94	46, 93	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
95	92, 94	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
96	46, 95	jca 511	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296  abscabs 15273   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940   ·_ih csp 30941  norm_ℎcno 30942  norm_opcnop 30964  ContOpccop 30965  LinOpclo 30966  ContFnccnfn 30972  LinFnclf 30973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ph 30832  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-nmop 31858  df-cnop 31859  df-lnop 31860  df-nmfn 31864  df-cnfn 31866  df-lnfn 31867

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  32088  cnlnadjlem5  32090