Theorem cnlnadjlem2 31950

Description: Lemma for cnlnadji 31958. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 31851	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelcdmi 7092	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑔) ∈ ℋ)
4		hicl 30962	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5	3, 4	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
8	6, 7	fmptd 7123	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9		hvmulcl 30895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
10	1	lnopaddi 31853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
11	10	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
12	11	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦))
13	2	ffvelcdmi 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ)
14	2	ffvelcdmi 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16		ax-his2 30965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
18	12, 17	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
19	18	3comr 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
20	19	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
21	9, 20	sylanl2 679	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
22		hvaddcl 30894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	9, 22	sylan 578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
27	26	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
28	2	ffvelcdmi 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
29		ax-his3 30966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
30	28, 29	syl3an2 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
31	30	3comr 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
32	31	3expb 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
33	1	lnopmuli 31854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) = (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)))
34	33	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
35	34	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑤) = ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦))
37	36	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
38	37	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦))
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
43	42	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
44	43	ralrimivva 3190	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
45		ellnfn 31765	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧))))
46	8, 44, 45	sylanbrc 581	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
47	1, 24	nmcopexi 31909	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
48		normcl 31007	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
49		remulcl 11225	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
51	40	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
52		hicl 30962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	14, 52	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
56		normcl 31007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
57	14, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
58		remulcl 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
59	57, 48, 58	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
60		normcl 31007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
61		remulcl 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
62	47, 60, 61	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
63		remulcl 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
64	62, 48, 63	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
65	51	fveq2d 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
66		bcs 31063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
67	14, 66	sylan 578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
68	65, 67	eqbrtrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
69	57	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
70	62	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
71		normge0 31008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑦))
72	48, 71	jca 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
73	72	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
74	1, 24	nmcoplbi 31910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
75	74	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
76		lemul1a 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 11403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
79	60	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ)
80	48	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
81	47	recni 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
82		mul32 11412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
83	81, 82	mp3an1 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
84	79, 80, 83	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
85	78, 84	breqtrd 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
86	85	ancoms 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
87	86	ralrimiva 3135	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
88		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
89	88	breq2d 5161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
90	89	ralbidv 3167	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
91	90	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
92	50, 87, 91	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
93		lnfncon 31938	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
94	46, 93	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
95	92, 94	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
96	46, 95	jca 510	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145   ≤ cle 11281  abscabs 15217   ℋchba 30801   +_ℎ cva 30802   ·_ℎ csm 30803   ·_ih csp 30804  norm_ℎcno 30805  norm_opcnop 30827  ContOpccop 30828  LinOpclo 30829  ContFnccnfn 30835  LinFnclf 30836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-t1 23262  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-dip 30583  df-ph 30695  df-hnorm 30850  df-hba 30851  df-hvsub 30853  df-nmop 31721  df-cnop 31722  df-lnop 31723  df-nmfn 31727  df-cnfn 31729  df-lnfn 31730

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  31951  cnlnadjlem5  31953