HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem2 29471
Description: Lemma for cnlnadji 29479. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 29372 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelrni 6607 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇𝑔) ∈ ℋ)
4 hicl 28481 . . . . . 6 (((𝑇𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53, 4sylan 575 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
65ancoms 452 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
86, 7fmptd 6633 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9 hvmulcl 28414 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ)
101lnopaddi 29374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
11103adant3 1166 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
1211oveq1d 6920 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦))
132ffvelrni 6607 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ)
142ffvelrni 6607 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16 ax-his2 28484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1203 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1812, 17eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
19183comr 1159 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
20193expa 1151 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
219, 20sylanl2 671 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
22 hvaddcl 28413 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
239, 22sylan 575 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ContOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 29470 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2726adantll 705 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
282ffvelrni 6607 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
29 ax-his3 28485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3028, 29syl3an2 1207 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
31303comr 1159 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
32313expb 1153 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
331lnopmuli 29375 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) = (𝑥 · (𝑇𝑤)))
3433oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
3534adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
361, 24, 7cnlnadjlem1 29470 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺𝑤) = ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦))
3736oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3837ad2antll 720 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3932, 35, 383eqtr4rd 2872 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦))
401, 24, 7cnlnadjlem1 29470 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
4139, 40oveqan12d 6924 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
4221, 27, 413eqtr4d 2871 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4342ralrimiva 3175 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4443ralrimivva 3180 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
45 ellnfn 29286 . . 3 (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧))))
468, 44, 45sylanbrc 578 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
471, 24nmcopexi 29430 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
48 normcl 28526 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
49 remulcl 10337 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5047, 48, 49sylancr 581 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5140adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
52 hicl 28481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5314, 52sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2906 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5554abscld 14552 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
56 normcl 28526 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5714, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
58 remulcl 10337 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5957, 48, 58syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
60 normcl 28526 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℝ)
61 remulcl 10337 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑧) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
6247, 60, 61sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
63 remulcl 10337 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6462, 48, 63syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6551fveq2d 6437 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) = (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
66 bcs 28582 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6714, 66sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6865, 67eqbrtrd 4895 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6957adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7062adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
71 normge0 28527 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑦))
7248, 71jca 507 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
7372adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
741, 24nmcoplbi 29431 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
7574adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
76 lemul1a 11207 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦))) ∧ (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧))) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1496 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7855, 59, 64, 68, 77letrd 10513 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7960recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℂ)
8048recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
8147recni 10371 . . . . . . . . 9 (normop𝑇) ∈ ℂ
82 mul32 10522 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8381, 82mp3an1 1576 . . . . . . . 8 (((norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8479, 80, 83syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8578, 84breqtrd 4899 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8685ancoms 452 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8786ralrimiva 3175 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
88 oveq1 6912 . . . . . . 7 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (𝑥 · (norm𝑧)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8988breq2d 4885 . . . . . 6 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9089ralbidv 3195 . . . . 5 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9190rspcev 3526 . . . 4 ((((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
9250, 87, 91syl2anc 579 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
93 lnfncon 29459 . . . 4 (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9446, 93syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9592, 94mpbird 249 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
9646, 95jca 507 1 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118   class class class wbr 4873  cmpt 4952  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252   + caddc 10255   · cmul 10257  cle 10392  abscabs 14351  chba 28320   + cva 28321   · csm 28322   ·ih csp 28323  normcno 28324  normopcnop 28346  ContOpccop 28347  LinOpclo 28348  ContFnccnfn 28354  LinFnclf 28355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332  ax-hilex 28400  ax-hfvadd 28401  ax-hvcom 28402  ax-hvass 28403  ax-hv0cl 28404  ax-hvaddid 28405  ax-hfvmul 28406  ax-hvmulid 28407  ax-hvmulass 28408  ax-hvdistr1 28409  ax-hvdistr2 28410  ax-hvmul0 28411  ax-hfi 28480  ax-his1 28483  ax-his2 28484  ax-his3 28485  ax-his4 28486
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-t1 21489  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-grpo 27892  df-gid 27893  df-ginv 27894  df-gdiv 27895  df-ablo 27944  df-vc 27958  df-nv 27991  df-va 27994  df-ba 27995  df-sm 27996  df-0v 27997  df-vs 27998  df-nmcv 27999  df-ims 28000  df-dip 28100  df-ph 28212  df-hnorm 28369  df-hba 28370  df-hvsub 28372  df-nmop 29242  df-cnop 29243  df-lnop 29244  df-nmfn 29248  df-cnfn 29250  df-lnfn 29251
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  29472  cnlnadjlem5  29474
  Copyright terms: Public domain W3C validator