HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem2 30855
Description: Lemma for cnlnadji 30863. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 30756 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelcdmi 7030 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇𝑔) ∈ ℋ)
4 hicl 29867 . . . . . 6 (((𝑇𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53, 4sylan 580 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
65ancoms 459 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
86, 7fmptd 7058 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9 hvmulcl 29800 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ)
101lnopaddi 30758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
11103adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
1211oveq1d 7366 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦))
132ffvelcdmi 7030 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ)
142ffvelcdmi 7030 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16 ax-his2 29870 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1160 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1812, 17eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
19183comr 1125 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
20193expa 1118 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
219, 20sylanl2 679 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
22 hvaddcl 29799 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
239, 22sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ContOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 30854 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2726adantll 712 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
282ffvelcdmi 7030 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
29 ax-his3 29871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3028, 29syl3an2 1164 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
31303comr 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
32313expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
331lnopmuli 30759 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) = (𝑥 · (𝑇𝑤)))
3433oveq1d 7366 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
361, 24, 7cnlnadjlem1 30854 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺𝑤) = ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦))
3736oveq2d 7367 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3837ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3932, 35, 383eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦))
401, 24, 7cnlnadjlem1 30854 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
4139, 40oveqan12d 7370 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
4221, 27, 413eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4342ralrimiva 3141 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4443ralrimivva 3195 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
45 ellnfn 30670 . . 3 (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧))))
468, 44, 45sylanbrc 583 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
471, 24nmcopexi 30814 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
48 normcl 29912 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
49 remulcl 11094 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5047, 48, 49sylancr 587 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5140adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
52 hicl 29867 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5314, 52sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5554abscld 15275 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
56 normcl 29912 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5714, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
58 remulcl 11094 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5957, 48, 58syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
60 normcl 29912 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℝ)
61 remulcl 11094 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑧) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
6247, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
63 remulcl 11094 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6462, 48, 63syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6551fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) = (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
66 bcs 29968 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6714, 66sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6865, 67eqbrtrd 5125 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6957adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7062adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
71 normge0 29913 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑦))
7248, 71jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
7372adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
741, 24nmcoplbi 30815 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
7574adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
76 lemul1a 11967 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦))) ∧ (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧))) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7855, 59, 64, 68, 77letrd 11270 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7960recnd 11141 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℂ)
8048recnd 11141 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
8147recni 11127 . . . . . . . . 9 (normop𝑇) ∈ ℂ
82 mul32 11279 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8381, 82mp3an1 1448 . . . . . . . 8 (((norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8479, 80, 83syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8578, 84breqtrd 5129 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8685ancoms 459 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8786ralrimiva 3141 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
88 oveq1 7358 . . . . . . 7 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (𝑥 · (norm𝑧)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8988breq2d 5115 . . . . . 6 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9089ralbidv 3172 . . . . 5 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9190rspcev 3579 . . . 4 ((((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
9250, 87, 91syl2anc 584 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
93 lnfncon 30843 . . . 4 (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9446, 93syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9592, 94mpbird 256 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
9646, 95jca 512 1 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  cmpt 5186  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012   · cmul 11014  cle 11148  abscabs 15073  chba 29706   + cva 29707   · csm 29708   ·ih csp 29709  normcno 29710  normopcnop 29732  ContOpccop 29733  LinOpclo 29734  ContFnccnfn 29740  LinFnclf 29741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 29786  ax-hfvadd 29787  ax-hvcom 29788  ax-hvass 29789  ax-hv0cl 29790  ax-hvaddid 29791  ax-hfvmul 29792  ax-hvmulid 29793  ax-hvmulass 29794  ax-hvdistr1 29795  ax-hvdistr2 29796  ax-hvmul0 29797  ax-hfi 29866  ax-his1 29869  ax-his2 29870  ax-his3 29871  ax-his4 29872
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-sum 15525  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-rest 17258  df-topn 17259  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-topgen 17279  df-pt 17280  df-prds 17283  df-xrs 17338  df-qtop 17343  df-imas 17344  df-xps 17346  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-mulg 18826  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-cnfld 20744  df-top 22189  df-topon 22206  df-topsp 22228  df-bases 22242  df-cld 22316  df-ntr 22317  df-cls 22318  df-cn 22524  df-cnp 22525  df-t1 22611  df-haus 22612  df-tx 22859  df-hmeo 23052  df-xms 23619  df-ms 23620  df-tms 23621  df-grpo 29280  df-gid 29281  df-ginv 29282  df-gdiv 29283  df-ablo 29332  df-vc 29346  df-nv 29379  df-va 29382  df-ba 29383  df-sm 29384  df-0v 29385  df-vs 29386  df-nmcv 29387  df-ims 29388  df-dip 29488  df-ph 29600  df-hnorm 29755  df-hba 29756  df-hvsub 29758  df-nmop 30626  df-cnop 30627  df-lnop 30628  df-nmfn 30632  df-cnfn 30634  df-lnfn 30635
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  30856  cnlnadjlem5  30858
  Copyright terms: Public domain W3C validator