Theorem cnlnadjlem2 31997

Description: Lemma for cnlnadji 32005. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 31898	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelcdmi 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑔) ∈ ℋ)
4		hicl 31009	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
8	6, 7	fmptd 7086	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9		hvmulcl 30942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
10	1	lnopaddi 31900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
11	10	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
12	11	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦))
13	2	ffvelcdmi 7055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ)
14	2	ffvelcdmi 7055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16		ax-his2 31012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
18	12, 17	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
19	18	3comr 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
20	19	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
21	9, 20	sylanl2 681	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
22		hvaddcl 30941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	9, 22	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
27	26	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
28	2	ffvelcdmi 7055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
29		ax-his3 31013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
30	28, 29	syl3an2 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
31	30	3comr 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
32	31	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
33	1	lnopmuli 31901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) = (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)))
34	33	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑤) = ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦))
37	36	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
38	37	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦))
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
43	42	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
44	43	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
45		ellnfn 31812	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧))))
46	8, 44, 45	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
47	1, 24	nmcopexi 31956	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
48		normcl 31054	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
49		remulcl 11153	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
51	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
52		hicl 31009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	14, 52	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
56		normcl 31054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
57	14, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
58		remulcl 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
59	57, 48, 58	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
60		normcl 31054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
61		remulcl 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
62	47, 60, 61	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
63		remulcl 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
64	62, 48, 63	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
65	51	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
66		bcs 31110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
67	14, 66	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
68	65, 67	eqbrtrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
69	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
70	62	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
71		normge0 31055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑦))
72	48, 71	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
74	1, 24	nmcoplbi 31957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
76		lemul1a 12036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 11331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
79	60	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ)
80	48	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
81	47	recni 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
82		mul32 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
83	81, 82	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
84	79, 80, 83	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
85	78, 84	breqtrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
86	85	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
87	86	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
88		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
89	88	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
90	89	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
91	90	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
92	50, 87, 91	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
93		lnfncon 31985	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
94	46, 93	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
95	92, 94	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
96	46, 95	jca 511	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209  abscabs 15200   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849   ·_ℎ csm 30850   ·_ih csp 30851  norm_ℎcno 30852  norm_opcnop 30874  ContOpccop 30875  LinOpclo 30876  ContFnccnfn 30882  LinFnclf 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-t1 23201  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-ph 30742  df-hnorm 30897  df-hba 30898  df-hvsub 30900  df-nmop 31768  df-cnop 31769  df-lnop 31770  df-nmfn 31774  df-cnfn 31776  df-lnfn 31777

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  31998  cnlnadjlem5  32000