Theorem cnlnadjlem2 31010

Description: Lemma for cnlnadji 31018. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 30911	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelcdmi 7034	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑔) ∈ ℋ)
4		hicl 30022	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
8	6, 7	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9		hvmulcl 29955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ)
10	1	lnopaddi 30913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
11	10	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)))
12	11	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦))
13	2	ffvelcdmi 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ)
14	2	ffvelcdmi 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ)
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16		ax-his2 30025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) +ℎ (𝑇‘𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
18	12, 17	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
19	18	3comr 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
20	19	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
21	9, 20	sylanl2 679	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
22		hvaddcl 29954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
23	9, 22	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
27	26	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) ·ih 𝑦))
28	2	ffvelcdmi 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ)
29		ax-his3 30026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
30	28, 29	syl3an2 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
31	30	3comr 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
32	31	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
33	1	lnopmuli 30914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) = (𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)))
34	33	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ (𝑇‘𝑤)) ·ih 𝑦))
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑤) = ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦))
37	36	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
38	37	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇‘𝑤) ·ih 𝑦)))
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺‘𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦))
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 31009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
41	39, 40	oveqan12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 ·ℎ 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
43	42	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
44	43	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧)))
45		ellnfn 30825	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 ·ℎ 𝑤) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺‘𝑤)) + (𝐺‘𝑧))))
46	8, 44, 45	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
47	1, 24	nmcopexi 30969	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
48		normcl 30067	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
49		remulcl 11136	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
51	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) = ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦))
52		hicl 30022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53	14, 52	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
56		normcl 30067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
57	14, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
58		remulcl 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
59	57, 48, 58	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
60		normcl 30067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
61		remulcl 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
62	47, 60, 61	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
63		remulcl 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
64	62, 48, 63	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ)
65	51	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) = (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)))
66		bcs 30123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇‘𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
67	14, 66	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
68	65, 67	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
69	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
70	62	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
71		normge0 30068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝑦))
72	48, 71	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦)))
74	1, 24	nmcoplbi 30970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
75	74	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)))
76		lemul1a 12009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝑦))) ∧ (normℎ‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧))) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)))
79	60	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ)
80	48	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ)
81	47	recni 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
82		mul32 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
83	81, 82	mp3an1 1448	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
84	79, 80, 83	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑧)) · (normℎ‘𝑦)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
85	78, 84	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
86	85	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
87	86	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
88		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧)))
89	88	breq2d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → ((abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
90	89	ralbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))))
91	90	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)) · (normℎ‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
92	50, 87, 91	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧)))
93		lnfncon 30998	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
94	46, 93	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺‘𝑧)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑧))))
95	92, 94	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
96	46, 95	jca 512	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   ≤ cle 11190  abscabs 15119   ℋchba 29861   +_ℎ cva 29862   ·_ℎ csm 29863   ·_ih csp 29864  norm_ℎcno 29865  norm_opcnop 29887  ContOpccop 29888  LinOpclo 29889  ContFnccnfn 29895  LinFnclf 29896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ph 29755  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-nmop 30781  df-cnop 30782  df-lnop 30783  df-nmfn 30787  df-cnfn 30789  df-lnfn 30790

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  31011  cnlnadjlem5  31013