HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem7 31857
Description: Lemma for cnlnadji 31860. Helper lemma to show that ๐น is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
cnlnadjlem.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
cnlnadjlem.3 ๐บ = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ฆ))
cnlnadjlem.4 ๐ต = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
cnlnadjlem.5 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฃ,๐‘”,๐‘ค,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ค,๐น   ๐‘‡,๐‘”,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฃ,๐บ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘”)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ฃ,๐‘”)   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘”)

Proof of Theorem cnlnadjlem7
StepHypRef Expression
1 breq1 5145 . 2 ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) = 0 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
2 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
4 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . 10 ๐บ = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ฆ))
5 cnlnadjlem.4 . . . . . . . . . 10 ๐ต = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
6 cnlnadjlem.5 . . . . . . . . . 10 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ๐ต)
72, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem4 31854 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
82lnopfi 31753 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
98ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹)
11 hicl 30864 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1210, 11mpancom 687 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1312abscld 15401 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„)
14 normcl 30909 . . . . . . . 8 ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
16 normcl 30909 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1715, 16remulcld 11260 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
182, 3nmcopexi 31811 . . . . . . . 8 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
19 normcl 30909 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
207, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
21 remulcl 11209 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2218, 20, 21sylancr 586 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2322, 16remulcld 11260 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
24 bcs 30965 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
2510, 24mpancom 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
26 normge0 30910 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐ด))
272, 3nmcoplbi 31812 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
287, 27syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
2915, 22, 16, 26, 28lemul1ad 12169 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3013, 17, 23, 25, 29letrd 11387 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
312, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem5 31855 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
327, 31mpdan 686 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
3332fveq2d 6895 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด))))
34 hiidrcl 30879 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
357, 34syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
36 hiidge0 30882 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
377, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
3835, 37absidd 15387 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด))) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
39 normsq 30918 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
407, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
4120recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4241sqvald 14125 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4340, 42eqtr3d 2769 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)) = ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4433, 38, 433eqtrd 2771 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) = ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4516recnd 11258 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4618recni 11244 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
47 mul32 11396 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4846, 47mp3an1 1445 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4941, 45, 48syl2anc 583 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
5030, 44, 493brtr3d 5173 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
5150adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
5220adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
53 remulcl 11209 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
5418, 16, 53sylancr 586 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
5554adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
56 normge0 30910 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))
57 0re 11232 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
58 leltne 11319 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0))
5957, 58mp3an1 1445 . . . . . . 7 (((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0))
6019, 56, 59syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0))
6160biimpar 477 . . . . 5 (((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))
627, 61sylan 579 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))
63 lemul1 12082 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))))
6452, 55, 52, 62, 63syl112anc 1372 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))))
6551, 64mpbird 257 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
66 nmopge0 31695 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
678, 66ax-mp 5 . . . 4 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
68 mulge0 11748 . . . 4 ((((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
6918, 67, 68mpanl12 701 . . 3 (((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
7016, 26, 69syl2anc 583 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
711, 65, 70pm2.61ne 3022 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  โ„ฉcrio 7369  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265  2c2 12283  โ†‘cexp 14044  abscabs 15199   โ„‹chba 30703   ยทih csp 30706  normโ„Žcno 30707  normopcnop 30729  ContOpccop 30730  LinOpclo 30731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 30783  ax-hfvadd 30784  ax-hvcom 30785  ax-hvass 30786  ax-hv0cl 30787  ax-hvaddid 30788  ax-hfvmul 30789  ax-hvmulid 30790  ax-hvmulass 30791  ax-hvdistr1 30792  ax-hvdistr2 30793  ax-hvmul0 30794  ax-hfi 30863  ax-his1 30866  ax-his2 30867  ax-his3 30868  ax-his4 30869  ax-hcompl 30986
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-lm 23107  df-t1 23192  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cfil 25157  df-cau 25158  df-cmet 25159  df-grpo 30277  df-gid 30278  df-ginv 30279  df-gdiv 30280  df-ablo 30329  df-vc 30343  df-nv 30376  df-va 30379  df-ba 30380  df-sm 30381  df-0v 30382  df-vs 30383  df-nmcv 30384  df-ims 30385  df-dip 30485  df-ssp 30506  df-ph 30597  df-cbn 30647  df-hnorm 30752  df-hba 30753  df-hvsub 30755  df-hlim 30756  df-hcau 30757  df-sh 30991  df-ch 31005  df-oc 31036  df-ch0 31037  df-nmop 31623  df-cnop 31624  df-lnop 31625  df-nmfn 31629  df-nlfn 31630  df-cnfn 31631  df-lnfn 31632
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  31858  nmopadjlei  31872
  Copyright terms: Public domain W3C validator