HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem7 31057
Description: Lemma for cnlnadji 31060. Helper lemma to show that ๐น is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
cnlnadjlem.2 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
cnlnadjlem.3 ๐บ = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ฆ))
cnlnadjlem.4 ๐ต = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
cnlnadjlem.5 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฃ,๐‘”,๐‘ค,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ค,๐น   ๐‘‡,๐‘”,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฃ,๐บ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘”)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ฃ,๐‘”)   ๐บ(๐‘ฆ,๐‘”)

Proof of Theorem cnlnadjlem7
StepHypRef Expression
1 breq1 5109 . 2 ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) = 0 โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด))))
2 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โˆˆ ContOp
4 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . 10 ๐บ = (๐‘” โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ((๐‘‡โ€˜๐‘”) ยทih ๐‘ฆ))
5 cnlnadjlem.4 . . . . . . . . . 10 ๐ต = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฃ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฃ ยทih ๐‘ค))
6 cnlnadjlem.5 . . . . . . . . . 10 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ ๐ต)
72, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem4 31054 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
82lnopfi 30953 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
98ffvelcdmi 7035 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹)
11 hicl 30064 . . . . . . . 8 (((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1210, 11mpancom 687 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1312abscld 15327 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„)
14 normcl 30109 . . . . . . . 8 ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
16 normcl 30109 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1715, 16remulcld 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
182, 3nmcopexi 31011 . . . . . . . 8 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
19 normcl 30109 . . . . . . . . 9 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
207, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
21 remulcl 11141 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2218, 20, 21sylancr 588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2322, 16remulcld 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
24 bcs 30165 . . . . . . 7 (((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
2510, 24mpancom 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
26 normge0 30110 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐ด))
272, 3nmcoplbi 31012 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
287, 27syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
2915, 22, 16, 26, 28lemul1ad 12099 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
3013, 17, 23, 25, 29letrd 11317 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
312, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem5 31055 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
327, 31mpdan 686 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
3332fveq2d 6847 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) = (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด))))
34 hiidrcl 30079 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
357, 34syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
36 hiidge0 30082 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
377, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
3835, 37absidd 15313 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด))) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
39 normsq 30118 . . . . . . . 8 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
407, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)))
4120recnd 11188 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4241sqvald 14054 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4340, 42eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ยทih (๐นโ€˜๐ด)) = ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4433, 38, 433eqtrd 2777 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (absโ€˜((๐‘‡โ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยทih ๐ด)) = ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4516recnd 11188 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4618recni 11174 . . . . . . 7 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
47 mul32 11326 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4846, 47mp3an1 1449 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
4941, 45, 48syl2anc 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) = (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
5030, 44, 493brtr3d 5137 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
5150adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))))
5220adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
53 remulcl 11141 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
5418, 16, 53sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
5554adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
56 normge0 30110 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))
57 0re 11162 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
58 leltne 11249 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0))
5957, 58mp3an1 1449 . . . . . . 7 (((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0))
6019, 56, 59syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โ†’ (0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0))
6160biimpar 479 . . . . 5 (((๐นโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))
627, 61sylan 581 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ 0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))
63 lemul1 12012 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))))
6452, 55, 52, 62, 63syl112anc 1375 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด))) โ‰ค (((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)))))
6551, 64mpbird 257 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰  0) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
66 nmopge0 30895 . . . . 5 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
678, 66ax-mp 5 . . . 4 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)
68 mulge0 11678 . . . 4 ((((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡)) โˆง ((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
6918, 67, 68mpanl12 701 . . 3 (((normโ„Žโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
7016, 26, 69syl2anc 585 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
711, 65, 70pm2.61ne 3027 1 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘‡) ยท (normโ„Žโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  โ„ฉcrio 7313  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195  2c2 12213  โ†‘cexp 13973  abscabs 15125   โ„‹chba 29903   ยทih csp 29906  normโ„Žcno 29907  normopcnop 29929  ContOpccop 29930  LinOpclo 29931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-t1 22681  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-nmop 30823  df-cnop 30824  df-lnop 30825  df-nmfn 30829  df-nlfn 30830  df-cnfn 30831  df-lnfn 30832
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  31058  nmopadjlei  31072
  Copyright terms: Public domain W3C validator