Theorem cnlnadjlem7 32092

Description: Lemma for cnlnadji 32095. Helper lemma to show that 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem7	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5146	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
2		cnlnadjlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem4 32089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ)
8	2	lnopfi 31988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
11		hicl 31099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15475	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
14		normcl 31144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		normcl 31144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 3	nmcopexi 32046	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19		normcl 31144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
21		remulcl 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22, 16	remulcld 11291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
24		bcs 31200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
25	10, 24	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
26		normge0 31145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
27	2, 3	nmcoplbi 32047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
29	15, 22, 16, 26, 28	lemul1ad 12207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
30	13, 17, 23, 25, 29	letrd 11418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
31	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem5 32090	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
32	7, 31	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
33	32	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))))
34		hiidrcl 31114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
35	7, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
36		hiidge0 31117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
37	7, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
38	35, 37	absidd 15461	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
39		normsq 31153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
40	7, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
41	20	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
42	41	sqvald 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
43	40, 42	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
44	33, 38, 43	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
45	16	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	18	recni 11275	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
47		mul32 11427	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
48	46, 47	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
49	41, 45, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
50	30, 44, 49	3brtr3d 5174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
51	50	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
52	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
53		remulcl 11240	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	18, 16, 53	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
56		normge0 31145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
57		0re 11263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		leltne 11350	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
59	57, 58	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
60	19, 56, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
61	60	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
62	7, 61	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
63		lemul1 12119	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
64	52, 55, 52, 62, 63	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
65	51, 64	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
66		nmopge0 31930	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
68		mulge0 11781	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇)) ∧ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴))) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
69	18, 67, 68	mpanl12 702	. . 3 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
70	16, 26, 69	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
71	1, 65, 70	pm2.61ne 3027	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ↑cexp 14102  abscabs 15273   ℋchba 30938   ·_ih csp 30941  norm_ℎcno 30942  norm_opcnop 30964  ContOpccop 30965  LinOpclo 30966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-nmop 31858  df-cnop 31859  df-lnop 31860  df-nmfn 31864  df-nlfn 31865  df-cnfn 31866  df-lnfn 31867

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  32093  nmopadjlei  32107