Theorem cnlnadjlem7 30435

Description: Lemma for cnlnadji 30438. Helper lemma to show that 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem7	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5077	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
2		cnlnadjlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem4 30432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ)
8	2	lnopfi 30331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelrni 6960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
11		hicl 29442	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	mpancom 685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15148	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
14		normcl 29487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		normcl 29487	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 3	nmcopexi 30389	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19		normcl 29487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
21		remulcl 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22, 16	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
24		bcs 29543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
25	10, 24	mpancom 685	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
26		normge0 29488	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
27	2, 3	nmcoplbi 30390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
29	15, 22, 16, 26, 28	lemul1ad 11914	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
30	13, 17, 23, 25, 29	letrd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
31	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem5 30433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
32	7, 31	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
33	32	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))))
34		hiidrcl 29457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
35	7, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
36		hiidge0 29460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
37	7, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
38	35, 37	absidd 15134	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
39		normsq 29496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
40	7, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
41	20	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
42	41	sqvald 13861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
43	40, 42	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
44	33, 38, 43	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
45	16	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	18	recni 10989	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
47		mul32 11141	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
48	46, 47	mp3an1 1447	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
49	41, 45, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
50	30, 44, 49	3brtr3d 5105	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
51	50	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
52	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
53		remulcl 10956	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	18, 16, 53	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
55	54	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
56		normge0 29488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
57		0re 10977	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		leltne 11064	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
59	57, 58	mp3an1 1447	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
60	19, 56, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
61	60	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
62	7, 61	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
63		lemul1 11827	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
64	52, 55, 52, 62, 63	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
65	51, 64	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
66		nmopge0 30273	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
68		mulge0 11493	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇)) ∧ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴))) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
69	18, 67, 68	mpanl12 699	. . 3 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
70	16, 26, 69	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
71	1, 65, 70	pm2.61ne 3030	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  2c2 12028  ↑cexp 13782  abscabs 14945   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  norm_ℎcno 29285  norm_opcnop 29307  ContOpccop 29308  LinOpclo 29309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-t1 22465  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-nmop 30201  df-cnop 30202  df-lnop 30203  df-nmfn 30207  df-nlfn 30208  df-cnfn 30209  df-lnfn 30210

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  30436  nmopadjlei  30450