Theorem cnlnadjlem7 30336

Description: Lemma for cnlnadji 30339. Helper lemma to show that 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem7	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
2		cnlnadjlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem4 30333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ)
8	2	lnopfi 30232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelrni 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
11		hicl 29343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	mpancom 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15076	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
14		normcl 29388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		normcl 29388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 10936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 3	nmcopexi 30290	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19		normcl 29388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
21		remulcl 10887	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22, 16	remulcld 10936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
24		bcs 29444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
25	10, 24	mpancom 684	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
26		normge0 29389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
27	2, 3	nmcoplbi 30291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
29	15, 22, 16, 26, 28	lemul1ad 11844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
30	13, 17, 23, 25, 29	letrd 11062	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
31	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem5 30334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
32	7, 31	mpdan 683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
33	32	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))))
34		hiidrcl 29358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
35	7, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
36		hiidge0 29361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
37	7, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
38	35, 37	absidd 15062	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
39		normsq 29397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
40	7, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
41	20	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
42	41	sqvald 13789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
43	40, 42	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
44	33, 38, 43	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
45	16	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	18	recni 10920	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
47		mul32 11071	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
48	46, 47	mp3an1 1446	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
49	41, 45, 48	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
50	30, 44, 49	3brtr3d 5101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
51	50	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
52	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
53		remulcl 10887	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	18, 16, 53	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
56		normge0 29389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
57		0re 10908	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		leltne 10995	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
59	57, 58	mp3an1 1446	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
60	19, 56, 59	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
61	60	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
62	7, 61	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
63		lemul1 11757	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
64	52, 55, 52, 62, 63	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
65	51, 64	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
66		nmopge0 30174	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
68		mulge0 11423	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇)) ∧ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴))) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
69	18, 67, 68	mpanl12 698	. . 3 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
70	16, 26, 69	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
71	1, 65, 70	pm2.61ne 3029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ℋchba 29182   ·_ih csp 29185  norm_ℎcno 29186  norm_opcnop 29208  ContOpccop 29209  LinOpclo 29210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-t1 22373  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-nmop 30102  df-cnop 30103  df-lnop 30104  df-nmfn 30108  df-nlfn 30109  df-cnfn 30110  df-lnfn 30111

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  30337  nmopadjlei  30351