Theorem cnlnadjlem7 32053

Description: Lemma for cnlnadji 32056. Helper lemma to show that 𝐹 is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2	⊢ 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
cnlnadjlem.4	⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
cnlnadjlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem7	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑔,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐹   𝑇,𝑔,𝑣,𝑤,𝑦   𝑣,𝐺,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) = 0 → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
2		cnlnadjlem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ∈ ContOp
4		cnlnadjlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇‘𝑔) ·ih 𝑦))
5		cnlnadjlem.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (℩𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑣) ·ih 𝑦) = (𝑣 ·ih 𝑤))
6		cnlnadjlem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝐵)
7	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem4 32050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ)
8	2	lnopfi 31949	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
9	8	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ)
11		hicl 31060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
12	10, 11	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15382	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
14		normcl 31105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
16		normcl 31105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	15, 16	remulcld 11182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 3	nmcopexi 32007	. . . . . . . 8 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
19		normcl 31105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
21		remulcl 11131	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22, 16	remulcld 11182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
24		bcs 31161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
25	10, 24	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
26		normge0 31106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
27	2, 3	nmcoplbi 32008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
29	15, 22, 16, 26, 28	lemul1ad 12100	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑇‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
30	13, 17, 23, 25, 29	letrd 11309	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)))
31	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem5 32051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
32	7, 31	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
33	32	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))))
34		hiidrcl 31075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
35	7, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
36		hiidge0 31078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
37	7, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
38	35, 37	absidd 15366	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
39		normsq 31114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
40	7, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)))
41	20	recnd 11180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
42	41	sqvald 14086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴))↑2) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
43	40, 42	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐹‘𝐴) ·ih (𝐹‘𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
44	33, 38, 43	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘(𝐹‘𝐴)) ·ih 𝐴)) = ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
45	16	recnd 11180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	18	recni 11166	. . . . . . 7 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
47		mul32 11318	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
48	46, 47	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
49	41, 45, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((normop‘𝑇) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) · (normℎ‘𝐴)) = (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
50	30, 44, 49	3brtr3d 5133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
51	50	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))))
52	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
53		remulcl 11131	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	18, 16, 53	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ)
56		normge0 31106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
57		0re 11154	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		leltne 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
59	57, 58	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
60	19, 56, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0))
61	60	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
62	7, 61	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))
63		lemul1 12012	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
64	52, 55, 52, 62, 63	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘(𝐹‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴))) ≤ (((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) · (normℎ‘(𝐹‘𝐴)))))
65	51, 64	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≠ 0) → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
66		nmopge0 31891	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 0 ≤ (normop‘𝑇))
67	8, 66	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (normop‘𝑇)
68		mulge0 11674	. . . 4 ⊢ ((((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normop‘𝑇)) ∧ ((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴))) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
69	18, 67, 68	mpanl12 702	. . 3 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
70	16, 26, 69	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))
71	1, 65, 70	pm2.61ne 3010	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐹‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046   · cmul 11051   < clt 11186   ≤ cle 11187  2c2 12219  ↑cexp 14004  abscabs 15177   ℋchba 30899   ·_ih csp 30902  norm_ℎcno 30903  norm_opcnop 30925  ContOpccop 30926  LinOpclo 30927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cc 10366  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065  ax-hcompl 31182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-acn 9873  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17362  df-topn 17363  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-pt 17384  df-prds 17387  df-xrs 17442  df-qtop 17447  df-imas 17448  df-xps 17450  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-lm 23150  df-t1 23235  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25189  df-cau 25190  df-cmet 25191  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-ssp 30702  df-ph 30793  df-cbn 30843  df-hnorm 30948  df-hba 30949  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953  df-sh 31187  df-ch 31201  df-oc 31232  df-ch0 31233  df-nmop 31819  df-cnop 31820  df-lnop 31821  df-nmfn 31825  df-nlfn 31826  df-cnfn 31827  df-lnfn 31828

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  32054  nmopadjlei  32068