MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul32d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul32d 10842
Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul32d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcomd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addcand.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 mul32 10798 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1365 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2106  (class class class)co 7151  cc 10527   · cmul 10534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-mulcom 10593  ax-mulass 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-iota 6311  df-fv 6359  df-ov 7154
This theorem is referenced by:  conjmul  11349  modmul1  13285  binom3  13578  bernneq  13583  expmulnbnd  13589  discr  13594  bcm1k  13668  bcp1n  13669  reccn2  14946  binomlem  15176  binomfallfaclem2  15386  tanadd  15512  eirrlem  15549  dvds2ln  15634  bezoutlem4  15882  divgcdcoprm0  16001  modprm0  16134  nrginvrcnlem  23215  tcphcphlem2  23754  csbren  23917  radcnvlem1  24916  tanarg  25115  cxpeq  25251  quad2  25330  binom4  25341  dquartlem2  25343  dquart  25344  quart1lem  25346  dvatan  25426  log2cnv  25436  basellem8  25579  bcmono  25767  gausslemma2d  25864  lgsquadlem1  25870  2lgslem3b  25887  2lgslem3c  25888  2lgslem3d  25889  rplogsumlem1  25974  dchrisumlem2  25980  chpdifbndlem1  26043  selberg3lem1  26047  selberg4  26051  selberg3r  26059  pntrlog2bndlem2  26068  pntrlog2bndlem3  26069  pntrlog2bndlem5  26071  pntlemf  26095  pntlemo  26097  ostth2lem1  26108  ostth2lem3  26125  logdivsqrle  31808  circum  32802  jm2.25  39458  jm2.27c  39466  binomcxplemnotnn0  40550  dvasinbx  42067  stirlinglem3  42224  dirkercncflem2  42252  cevathlem1  42987  itschlc0yqe  44576
  Copyright terms: Public domain W3C validator