Theorem mul32d 11356

Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul32 11312	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-mulcom 11102  ax-mulass 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  conjmul  11872  modmul1  13886  binom3  14186  bernneq  14191  expmulnbnd  14197  discr  14202  bcm1k  14277  bcp1n  14278  reccn2  15559  binomlem  15794  binomfallfaclem2  16005  tanadd  16134  eirrlem  16171  dvds2ln  16258  bezoutlem4  16511  divgcdcoprm0  16634  modprm0  16776  nrginvrcnlem  24656  tcphcphlem2  25203  csbren  25366  radcnvlem1  26378  tanarg  26583  cxpeq  26721  quad2  26803  binom4  26814  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1lem  26819  dvatan  26899  log2cnv  26908  basellem8  27051  bcmono  27240  gausslemma2d  27337  lgsquadlem1  27343  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  rplogsumlem1  27447  dchrisumlem2  27453  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg4  27524  selberg3r  27532  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem5  27544  pntlemf  27568  pntlemo  27570  ostth2lem1  27581  ostth2lem3  27598  zringfrac  33614  constrrtcc  33879  logdivsqrle  34794  circum  35856  lcmineqlem8  42475  lcmineqlem12  42479  flt4lem5f  43090  jm2.25  43427  jm2.27c  43435  binomcxplemnotnn0  44783  dvasinbx  46348  stirlinglem3  46504  dirkercncflem2  46532  cevathlem1  47295  itschlc0yqe  49236