Theorem mul32d 11550

Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul32 11506	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   · cmul 11235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-mulcom 11294  ax-mulass 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449

This theorem is used by:  conjmul  12064  modmul1  14097  binom3  14398  bernneq  14403  expmulnbnd  14409  discr  14414  bcm1k  14489  bcp1n  14490  reccn2  15796  binomlem  16030  binomfallfaclem2  16238  tanadd  16367  eirrlem  16404  dvds2ln  16491  bezoutlem4  16747  divgcdcoprm0  16872  modprm0  17015  nrginvrcnlem  25043  tcphcphlem2  25590  csbren  25753  radcnvlem1  26773  tanarg  26980  cxpeq  27118  quad2  27200  binom4  27211  dquartlem2  27213  dquart  27214  quart1lem  27216  dvatan  27296  log2cnv  27305  basellem8  27448  bcmono  27637  gausslemma2d  27734  lgsquadlem1  27740  2lgslem3b  27757  2lgslem3c  27758  2lgslem3d  27759  rplogsumlem1  27844  dchrisumlem2  27850  chpdifbndlem1  27913  selberg3lem1  27917  selberg4  27921  selberg3r  27929  pntrlog2bndlem2  27938  pntrlog2bndlem3  27939  pntrlog2bndlem5  27941  pntlemf  27965  pntlemo  27967  ostth2lem1  27978  ostth2lem3  27995  flt4lem5f  28020  zringfrac  34169  constrrtcc  34450  logdivsqrle  35362  circum  36619  lcmineqlem8  43289  lcmineqlem12  43293  jm2.25  44210  jm2.27c  44218  binomcxplemnotnn0  45543  dvasinbx  47145  stirlinglem3  47301  dirkercncflem2  47329  cevathlem1  48092  itschlc0yqe  50087