Theorem mul32d 10839

Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul32 10795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   · cmul 10531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2770  ax-mulcom 10590  ax-mulass 10592

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138

This theorem is referenced by:  conjmul  11346  modmul1  13287  binom3  13581  bernneq  13586  expmulnbnd  13592  discr  13597  bcm1k  13671  bcp1n  13672  reccn2  14945  binomlem  15176  binomfallfaclem2  15386  tanadd  15512  eirrlem  15549  dvds2ln  15634  bezoutlem4  15880  divgcdcoprm0  15999  modprm0  16132  nrginvrcnlem  23297  tcphcphlem2  23840  csbren  24003  radcnvlem1  25008  tanarg  25210  cxpeq  25346  quad2  25425  binom4  25436  dquartlem2  25438  dquart  25439  quart1lem  25441  dvatan  25521  log2cnv  25530  basellem8  25673  bcmono  25861  gausslemma2d  25958  lgsquadlem1  25964  2lgslem3b  25981  2lgslem3c  25982  2lgslem3d  25983  rplogsumlem1  26068  dchrisumlem2  26074  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem1  26141  selberg4  26145  selberg3r  26153  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem5  26165  pntlemf  26189  pntlemo  26191  ostth2lem1  26202  ostth2lem3  26219  logdivsqrle  32031  circum  33030  lcmineqlem8  39324  lcmineqlem12  39328  jm2.25  39940  jm2.27c  39948  binomcxplemnotnn0  41060  dvasinbx  42562  stirlinglem3  42718  dirkercncflem2  42746  cevathlem1  43481  itschlc0yqe  45174