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Theorem 2sqlem6 27272
Description: Lemma for 2sq 27279. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2sqlem6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2sqlem6.3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆))
2sqlem6.4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
2sqlem6 (𝜑𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝   𝜑,𝑝   𝐵,𝑝   𝑆,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑤,𝑝)   𝐵(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 2sqlem6.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 2sqlem6.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆))
4 breq2 5142 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑝𝑥𝑝 ∥ 1))
54imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆)))
65ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆)))
7 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 1))
87eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 1) ∈ 𝑆))
98imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
109ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
116, 10imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12 breq2 5142 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
1312imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑆)))
1413ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆)))
15 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑦))
1615eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆))
1716imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1817ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1914, 18imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
20 breq2 5142 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
2120imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
2221ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
23 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑧))
2423eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
2524imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
2625ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
2722, 26imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
28 breq2 5142 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
2928imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)))
3029ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)))
31 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
3231eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆))
3332imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
3433ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
3530, 34imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
36 breq2 5142 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑝𝑥𝑝𝐵))
3736imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝐵𝑝𝑆)))
3837ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆)))
39 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝐵))
4039eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆))
4140imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
4241ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
4338, 42imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
44 nncn 12217 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
4544mulridd 11228 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
4645eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
4746biimpd 228 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
4847rgen 3055 . . . . 5 𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)
4948a1i 11 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
50 breq1 5141 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
51 eleq1 2813 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑆𝑥𝑆))
5250, 51imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑥𝑥𝑥𝑆)))
5352rspcv 3600 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → (𝑥𝑥𝑥𝑆)))
54 prmz 16609 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
55 iddvds 16210 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
58 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑚 ∈ ℕ)
59 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ℙ)
60 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)
61 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑥𝑆)
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 27271 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑚𝑆)
6362expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
6463ralrimiva 3138 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
6564ex 412 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥𝑆 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
6656, 65embantd 59 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥𝑥𝑥𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
6753, 66syld 47 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
68 anim12 806 . . . . 5 (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ∧ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
69 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
70 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
72 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
7372ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
74 euclemma 16647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑧)))
7569, 71, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑧)))
7675imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑧) → 𝑝𝑆)))
77 jaob 958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝𝑦𝑝𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
7876, 77bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
7978ralbidva 3167 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
80 r19.26 3103 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
8179, 80bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
8281biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
83 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑦) = (𝑛 · 𝑦))
8483eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆))
85 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑆𝑛𝑆))
8684, 85imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)))
8786cbvralvw 3226 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆))
8844adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
89 uzssz 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ‘2) ⊆ ℤ
90 zsscn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ⊆ ℂ
9189, 90sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘2) ⊆ ℂ
92 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
9392ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
9491, 93sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
95 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
9695ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
9791, 96sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℂ)
98 mul32 11377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦))
99 mulass 11194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
10098, 99eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
10188, 94, 97, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
102101eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆))
103 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
104 eluz2nn 12865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
10596, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
106103, 105nnmulcld 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑧) ∈ ℕ)
107 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆))
108 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (𝑛 · 𝑦) = ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦))
109108eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆))
110 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (𝑛𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
111109, 110imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆) ↔ (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆)))
112111rspcv 3600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 · 𝑧) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆)))
113106, 107, 112sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
114102, 113sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
115114imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
116115ralimdva 3159 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
11787, 116sylan2b 593 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
118117expimpd 453 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → ((∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
11982, 118embantd 59 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
120119ex 412 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
121120com23 86 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12268, 121syl5 34 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ∧ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 16620 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1242, 3, 123sylc 65 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
125 2sqlem6.4 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆)
126 oveq1 7408 . . . . 5 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
127126eleq1d 2810 . . . 4 (𝑚 = 𝐴 → ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆))
128 eleq1 2813 . . . 4 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚𝑆𝐴𝑆))
129127, 128imbi12d 344 . . 3 (𝑚 = 𝐴 → (((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)))
130129rspcv 3600 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)))
1311, 124, 125, 130syl3c 66 1 (𝜑𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053   class class class wbr 5138  cmpt 5221  ran crn 5667  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  1c1 11107   · cmul 11111  cn 12209  2c2 12264  cz 12555  cuz 12819  cexp 14024  abscabs 15178  cdvds 16194  cprime 16605  ℤ[i]cgz 16861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-gz 16862
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