MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem6 27306
Description: Lemma for 2sq 27313. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem6.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2sqlem6.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2sqlem6.3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
2sqlem6.4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
2sqlem6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘   ๐œ‘,๐‘   ๐ต,๐‘   ๐‘†,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค)   ๐ด(๐‘ค,๐‘)   ๐ต(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2 2sqlem6.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
3 2sqlem6.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
4 breq2 5145 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ 1))
54imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
65ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
7 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท 1))
87eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘†))
98imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
109ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
116, 10imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
12 breq2 5145 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ))
1312imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
1413ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
15 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท ๐‘ฆ))
1615eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†))
1716imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
1817ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
1914, 18imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
20 breq2 5145 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ง))
2120imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
2221ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
23 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท ๐‘ง))
2423eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
2524imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
2625ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
2722, 26imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
28 breq2 5145 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
2928imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
3029ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
31 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
3231eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘†))
3332imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
3433ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
3530, 34imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
36 breq2 5145 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐ต))
3736imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
3837ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
39 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท ๐ต))
4039eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
4140imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
4241ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
4338, 42imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
44 nncn 12221 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
4544mulridd 11232 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š ยท 1) = ๐‘š)
4645eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
4746biimpd 228 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
4847rgen 3057 . . . . 5 โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)
4948a1i 11 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
50 breq1 5144 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ))
51 eleq1 2815 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†))
5250, 51imbi12d 344 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)))
5352rspcv 3602 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)))
54 prmz 16616 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
55 iddvds 16217 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ)
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
58 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
59 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„™)
60 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
61 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 27305 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)
6362expr 456 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
6463ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
6564ex 412 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
6656, 65embantd 59 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
6753, 66syld 47 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
68 anim12 806 . . . . 5 (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โˆง (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
69 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
70 eluzelz 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
72 eluzelz 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
7372ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
74 euclemma 16654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง)))
7569, 71, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง)))
7675imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
77 jaob 958 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
7876, 77bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))))
7978ralbidva 3169 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))))
80 r19.26 3105 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
8179, 80bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))))
8281biimpa 476 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
83 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ) = (๐‘› ยท ๐‘ฆ))
8483eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†))
85 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘› โˆˆ ๐‘†))
8684, 85imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)))
8786cbvralvw 3228 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†))
8844adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
89 uzssz 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โІ โ„ค
90 zsscn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„ค โІ โ„‚
9189, 90sstri 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โІ โ„‚
92 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9392ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9491, 93sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
95 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9695ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9791, 96sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
98 mul32 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ))
99 mulass 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
10098, 99eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
10188, 94, 97, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
102101eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘†))
103 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
104 eluz2nn 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
10596, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
106103, 105nnmulcld 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
107 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†))
108 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ))
109108eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†))
110 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
111109, 110imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†) โ†” (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)))
112111rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)))
113106, 107, 112sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
114102, 113sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
115114imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
116115ralimdva 3161 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
11787, 116sylan2b 593 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
118117expimpd 453 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
11982, 118embantd 59 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
120119ex 412 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
121120com23 86 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
12268, 121syl5 34 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โˆง (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 16627 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
1242, 3, 123sylc 65 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
125 2sqlem6.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
126 oveq1 7411 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
127126eleq1d 2812 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
128 eleq1 2815 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐‘† โ†” ๐ด โˆˆ ๐‘†))
129127, 128imbi12d 344 . . 3 (๐‘š = ๐ด โ†’ (((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)))
130129rspcv 3602 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)))
1311, 124, 125, 130syl3c 66 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ†‘cexp 14029  abscabs 15184   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612  โ„ค[i]cgz 16868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-gz 16869
This theorem is referenced by:  2sqlem8  27309
  Copyright terms: Public domain W3C validator