MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem6 26774
Description: Lemma for 2sq 26781. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem6.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2sqlem6.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2sqlem6.3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
2sqlem6.4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
2sqlem6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘   ๐œ‘,๐‘   ๐ต,๐‘   ๐‘†,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ค)   ๐ด(๐‘ค,๐‘)   ๐ต(๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ค)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2 2sqlem6.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
3 2sqlem6.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
4 breq2 5110 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ 1))
54imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
65ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
7 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท 1))
87eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘†))
98imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
109ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
116, 10imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
12 breq2 5110 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ))
1312imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
1413ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
15 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท ๐‘ฆ))
1615eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†))
1716imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
1817ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
1914, 18imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
20 breq2 5110 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ง))
2120imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
2221ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
23 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท ๐‘ง))
2423eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
2524imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
2625ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
2722, 26imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
28 breq2 5110 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
2928imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
3029ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
31 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
3231eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘†))
3332imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
3433ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
3530, 34imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
36 breq2 5110 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ โˆฅ ๐ต))
3736imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
3837ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
39 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) = (๐‘š ยท ๐ต))
4039eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
4140imbi1d 342 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
4241ralbidv 3175 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
4338, 42imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
44 nncn 12162 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
4544mulid1d 11173 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š ยท 1) = ๐‘š)
4645eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
4746biimpd 228 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
4847rgen 3067 . . . . 5 โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)
4948a1i 11 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท 1) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
50 breq1 5109 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ))
51 eleq1 2826 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†))
5250, 51imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)))
5352rspcv 3578 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)))
54 prmz 16552 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
55 iddvds 16153 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ)
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
58 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
59 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„™)
60 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
61 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†)
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 26773 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)
6362expr 458 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
6463ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
6564ex 414 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
6656, 65embantd 59 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
6753, 66syld 47 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
68 anim12 808 . . . . 5 (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โˆง (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ ((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
69 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
70 eluzelz 12774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
72 eluzelz 12774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
7372ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
74 euclemma 16590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง)))
7569, 71, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง)))
7675imbi1d 342 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
77 jaob 961 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
7876, 77bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))))
7978ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))))
80 r19.26 3115 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ((๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
8179, 80bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†” (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))))
8281biimpa 478 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)))
83 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ) = (๐‘› ยท ๐‘ฆ))
8483eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†))
85 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘› โˆˆ ๐‘†))
8684, 85imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)))
8786cbvralvw 3226 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†))
8844adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
89 uzssz 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โŠ† โ„ค
90 zsscn 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„ค โŠ† โ„‚
9189, 90sstri 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โŠ† โ„‚
92 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9491, 93sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
95 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9791, 96sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
98 mul32 11322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ))
99 mulass 11140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
10098, 99eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
10188, 94, 97, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) = (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
102101eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘†))
103 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
104 eluz2nn 12810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
10596, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
106103, 105nnmulcld 12207 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
107 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†))
108 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ))
109108eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†” ((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†))
110 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
111109, 110imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = (๐‘š ยท ๐‘ง) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†) โ†” (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)))
112111rspcv 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†)))
113106, 107, 112sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
114102, 113sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘†))
115114imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
116115ralimdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘› ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
11787, 116sylan2b 595 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
118117expimpd 455 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
11982, 118embantd 59 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
120119ex 414 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
121120com23 86 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
12268, 121syl5 34 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)) โˆง (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐‘ง) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))))
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 16563 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†)))
1242, 3, 123sylc 65 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
125 2sqlem6.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†)
126 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
127126eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘†))
128 eleq1 2826 . . . 4 (๐‘š = ๐ด โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐‘† โ†” ๐ด โˆˆ ๐‘†))
129127, 128imbi12d 345 . . 3 (๐‘š = ๐ด โ†’ (((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)))
130129rspcv 3578 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• ((๐‘š ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)))
1311, 124, 125, 130syl3c 66 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  ran crn 5635  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  โ†‘cexp 13968  abscabs 15120   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548  โ„ค[i]cgz 16802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-gz 16803
This theorem is referenced by:  2sqlem8  26777
  Copyright terms: Public domain W3C validator