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Theorem 2sqlem6 25562
Description: Lemma for 2sq 25569. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2sqlem6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2sqlem6.3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆))
2sqlem6.4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
2sqlem6 (𝜑𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝   𝜑,𝑝   𝐵,𝑝   𝑆,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑤,𝑝)   𝐵(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 2sqlem6.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 2sqlem6.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆))
4 breq2 4878 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑝𝑥𝑝 ∥ 1))
54imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆)))
65ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆)))
7 oveq2 6914 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 1))
87eleq1d 2892 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 1) ∈ 𝑆))
98imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
109ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
116, 10imbi12d 336 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12 breq2 4878 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
1312imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑆)))
1413ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆)))
15 oveq2 6914 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑦))
1615eleq1d 2892 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆))
1716imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1817ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1914, 18imbi12d 336 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
20 breq2 4878 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
2120imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
2221ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
23 oveq2 6914 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑧))
2423eleq1d 2892 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
2524imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
2625ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
2722, 26imbi12d 336 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
28 breq2 4878 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
2928imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)))
3029ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)))
31 oveq2 6914 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
3231eleq1d 2892 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆))
3332imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
3433ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
3530, 34imbi12d 336 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
36 breq2 4878 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑝𝑥𝑝𝐵))
3736imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝐵𝑝𝑆)))
3837ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆)))
39 oveq2 6914 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝐵))
4039eleq1d 2892 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆))
4140imbi1d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
4241ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
4338, 42imbi12d 336 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
44 nncn 11360 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
4544mulid1d 10375 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
4645eleq1d 2892 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
4746biimpd 221 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
4847rgen 3132 . . . . 5 𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)
4948a1i 11 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
50 breq1 4877 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
51 eleq1 2895 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑆𝑥𝑆))
5250, 51imbi12d 336 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑥𝑥𝑥𝑆)))
5352rspcv 3523 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → (𝑥𝑥𝑥𝑆)))
54 prmz 15762 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
55 iddvds 15373 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
5654, 55syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
58 simprl 789 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑚 ∈ ℕ)
59 simpll 785 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ℙ)
60 simprr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)
61 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑥𝑆)
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 25561 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑚𝑆)
6362expr 450 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
6463ralrimiva 3176 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
6564ex 403 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥𝑆 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
6656, 65embantd 59 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥𝑥𝑥𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
6753, 66syld 47 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
68 prth 845 . . . . 5 (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ∧ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
69 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
70 eluzelz 11979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
7170ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
72 eluzelz 11979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
7372ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
74 euclemma 15797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑧)))
7569, 71, 73, 74syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑧)))
7675imbi1d 333 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑧) → 𝑝𝑆)))
77 jaob 991 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝𝑦𝑝𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
7876, 77syl6bb 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
7978ralbidva 3195 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
80 r19.26 3275 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
8179, 80syl6bb 279 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
8281biimpa 470 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
83 oveq1 6913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑦) = (𝑛 · 𝑦))
8483eleq1d 2892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆))
85 eleq1 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑆𝑛𝑆))
8684, 85imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)))
8786cbvralv 3384 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆))
8844adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
89 uzssz 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ‘2) ⊆ ℤ
90 zsscn 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ⊆ ℂ
9189, 90sstri 3837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘2) ⊆ ℂ
92 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
9392ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
9491, 93sseldi 3826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
95 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
9695ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
9791, 96sseldi 3826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℂ)
98 mul32 10523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦))
99 mulass 10341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
10098, 99eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
10188, 94, 97, 100syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
102101eleq1d 2892 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆))
103 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
104 eluz2nn 12009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
10596, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
106103, 105nnmulcld 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑧) ∈ ℕ)
107 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆))
108 oveq1 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (𝑛 · 𝑦) = ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦))
109108eleq1d 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆))
110 eleq1 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (𝑛𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
111109, 110imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆) ↔ (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆)))
112111rspcv 3523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 · 𝑧) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆)))
113106, 107, 112sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
114102, 113sylbird 252 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
115114imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
116115ralimdva 3172 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
11787, 116sylan2b 589 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
118117expimpd 447 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → ((∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
11982, 118embantd 59 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
120119ex 403 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
121120com23 86 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12268, 121syl5 34 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ∧ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 15772 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1242, 3, 123sylc 65 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
125 2sqlem6.4 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆)
126 oveq1 6913 . . . . 5 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
127126eleq1d 2892 . . . 4 (𝑚 = 𝐴 → ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆))
128 eleq1 2895 . . . 4 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚𝑆𝐴𝑆))
129127, 128imbi12d 336 . . 3 (𝑚 = 𝐴 → (((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)))
130129rspcv 3523 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)))
1311, 124, 125, 130syl3c 66 1 (𝜑𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118   class class class wbr 4874  cmpt 4953  ran crn 5344  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  1c1 10254   · cmul 10258  cn 11351  2c2 11407  cz 11705  cuz 11969  cexp 13155  abscabs 14352  cdvds 15358  cprime 15758  ℤ[i]cgz 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-dvds 15359  df-gcd 15591  df-prm 15759  df-gz 16006
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