HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bcseqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcseqi 30640
Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 30700. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem7t.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
bcseqi (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))

Proof of Theorem bcseqi
StepHypRef Expression
1 normlem7t.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℋ
21, 1hicli 30601 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
3 normlem7t.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 30534 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ
53, 1hicli 30601 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
65, 1hvmulcli 30534 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ
74, 6, 4, 6normlem9 30638 . . . . 5 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))))
8 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
98eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
10 his5 30606 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴)))
112, 4, 3, 10mp3an 1459 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴))
12 hiidrcl 30615 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
13 cjre 15090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵))
141, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)
15 ax-his3 30604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
162, 3, 3, 15mp3an 1459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
1714, 16oveq12i 7423 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
183, 3hicli 30601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
192, 18mulcli 11225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
202, 19mulcomi 11226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2118, 2mulcomi 11226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
2221oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2320, 22eqtr4i 2761 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2411, 17, 233eqtri 2762 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
25 his5 30606 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵)))
265, 4, 1, 25mp3an 1459 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵))
271, 3his1i 30620 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))
2827eqcomi 2739 . . . . . . . . . . 11 (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐴)
29 ax-his3 30604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
302, 3, 1, 29mp3an 1459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))
3128, 30oveq12i 7423 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
321, 3hicli 30601 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
332, 5mulcli 11225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
3432, 33mulcomi 11226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴))
352, 5, 32mulassi 11229 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
365, 32mulcli 11225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
372, 36mulcomi 11226 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
3834, 35, 373eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
3926, 31, 383eqtri 2762 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
409, 24, 393eqtr4g 2795 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
41 ax-his3 30604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
425, 1, 3, 41mp3an 1459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))
4314, 42oveq12i 7423 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
44 his5 30606 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)))
452, 6, 3, 44mp3an 1459 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴))
46 his5 30606 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)))
475, 6, 1, 46mp3an 1459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵))
48 ax-his3 30604 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
495, 1, 1, 48mp3an 1459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))
5028, 49oveq12i 7423 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
515, 2mulcli 11225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5232, 51mulcomi 11226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴))
535, 2, 32mul32i 11414 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
5436, 2mulcomi 11226 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5552, 53, 543eqtri 2762 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5647, 50, 553eqtri 2762 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5743, 45, 563eqtr4ri 2769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
5940, 58oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))))
6059oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))) = (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))))
614, 6hicli 30601 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℂ
626, 4hicli 30601 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) ∈ ℂ
6361, 62addcli 11224 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))) ∈ ℂ
6463subidi 11535 . . . . . 6 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))) = 0
6560, 64eqtrdi 2786 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))) = 0)
667, 65eqtrid 2782 . . . 4 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)
674, 6hvsubcli 30541 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ
68 his6 30619 . . . . 5 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0))
6967, 68ax-mp 5 . . . 4 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0)
7066, 69sylib 217 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0)
714, 6hvsubeq0i 30583 . . 3 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
7270, 71sylib 217 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
73 oveq1 7418 . . . 4 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴))
7421, 16eqtr4i 2761 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴)
7542eqcomi 2739 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)
7673, 74, 753eqtr4g 2795 . . 3 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
7776eqcomd 2736 . 2 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
7872, 77impbii 208 1 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117  cmin 11448  ccj 15047  chba 30439   · csm 30441   ·ih csp 30442  0c0v 30444   cmv 30445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-hvsub 30491
This theorem is referenced by:  h1de2i  31073
  Copyright terms: Public domain W3C validator