bcseqi - Hilbert Space Explorer

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Theorem bcseqi 29482

Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 29542. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
bcseqi	⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

**Proof of Theorem bcseqi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem7t.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2	1, 1	hicli 29443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
3		normlem7t.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 29376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	3, 1	hicli 29443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
6	5, 1	hvmulcli 29376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	4, 6, 4, 6	normlem9 29480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
8		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
9	8	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
10		his5 29448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)))
11	2, 4, 3, 10	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴))
12		hiidrcl 29457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ)
13		cjre 14850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵))
14	1, 12, 13	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵)
15		ax-his3 29446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
16	2, 3, 3, 15	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
17	14, 16	oveq12i 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
18	3, 3	hicli 29443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
19	2, 18	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
20	2, 19	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
21	18, 2	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
22	21	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
23	20, 22	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
24	11, 17, 23	3eqtri 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
25		his5 29448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)))
26	5, 4, 1, 25	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵))
27	1, 3	his1i 29462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵))
28	27	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐴)
29		ax-his3 29446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
30	2, 3, 1, 29	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))
31	28, 30	oveq12i 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
32	1, 3	hicli 29443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
33	2, 5	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
34	32, 33	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
35	2, 5, 32	mulassi 10986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
36	5, 32	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
37	2, 36	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
38	34, 35, 37	3eqtri 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
39	26, 31, 38	3eqtri 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
40	9, 24, 39	3eqtr4g 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)))
41		ax-his3 29446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
42	5, 1, 3, 41	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
43	14, 42	oveq12i 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
44		his5 29448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)))
45	2, 6, 3, 44	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
46		his5 29448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)))
47	5, 6, 1, 46	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵))
48		ax-his3 29446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
49	5, 1, 1, 48	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
50	28, 49	oveq12i 7287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
51	5, 2	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
52	32, 51	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
53	5, 2, 32	mul32i 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
54	36, 2	mulcomi 10983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
55	52, 53, 54	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
56	47, 50, 55	3eqtri 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
57	43, 45, 56	3eqtr4ri 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))
59	40, 58	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
60	59	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))))
61	4, 6	hicli 29443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ
62	6, 4	hicli 29443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
63	61, 62	addcli 10981	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) ∈ ℂ
64	63	subidi 11292	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0
65	60, 64	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0)
66	7, 65	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0)
67	4, 6	hvsubcli 29383	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
68		his6 29461	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
70	66, 69	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
71	4, 6	hvsubeq0i 29425	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
72	70, 71	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
73		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
74	21, 16	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)
75	42	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)
76	73, 74, 75	3eqtr4g 2803	. . 3 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
77	76	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
78	72, 77	impbii 208	1 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 205 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 + caddc 10874 · cmul 10876 − cmin 11205 ∗ccj 14807 ℋchba 29281 ·_ℎ csm 29283 ·_ih csp 29284 0_ℎc0v 29286 −_ℎ cmv 29287

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-hfvadd 29362 ax-hvcom 29363 ax-hvass 29364 ax-hv0cl 29365 ax-hvaddid 29366 ax-hfvmul 29367 ax-hvmulid 29368 ax-hvdistr2 29371 ax-hvmul0 29372 ax-hfi 29441 ax-his1 29444 ax-his2 29445 ax-his3 29446 ax-his4 29447

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-id 5489 df-po 5503 df-so 5504 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-2 12036 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-hvsub 29333

This theorem is referenced by: h1de2i 29915

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