bcseqi - Hilbert Space Explorer

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Theorem bcseqi 31210

Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 31270. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
bcseqi	⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

**Proof of Theorem bcseqi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem7t.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2	1, 1	hicli 31171	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
3		normlem7t.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	3, 1	hicli 31171	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
6	5, 1	hvmulcli 31104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	4, 6, 4, 6	normlem9 31208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
8		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
9	8	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
10		his5 31176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)))
11	2, 4, 3, 10	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴))
12		hiidrcl 31185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ)
13		cjre 15093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵))
14	1, 12, 13	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵)
15		ax-his3 31174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
16	2, 3, 3, 15	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
17	14, 16	oveq12i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
18	3, 3	hicli 31171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
19	2, 18	mulcli 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
20	2, 19	mulcomi 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
21	18, 2	mulcomi 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
22	21	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
23	20, 22	eqtr4i 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
24	11, 17, 23	3eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
25		his5 31176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)))
26	5, 4, 1, 25	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵))
27	1, 3	his1i 31190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵))
28	27	eqcomi 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐴)
29		ax-his3 31174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
30	2, 3, 1, 29	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))
31	28, 30	oveq12i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
32	1, 3	hicli 31171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
33	2, 5	mulcli 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
34	32, 33	mulcomi 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
35	2, 5, 32	mulassi 11148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
36	5, 32	mulcli 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
37	2, 36	mulcomi 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
38	34, 35, 37	3eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
39	26, 31, 38	3eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
40	9, 24, 39	3eqtr4g 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)))
41		ax-his3 31174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
42	5, 1, 3, 41	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
43	14, 42	oveq12i 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
44		his5 31176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)))
45	2, 6, 3, 44	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
46		his5 31176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)))
47	5, 6, 1, 46	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵))
48		ax-his3 31174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
49	5, 1, 1, 48	mp3an 1469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
50	28, 49	oveq12i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
51	5, 2	mulcli 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
52	32, 51	mulcomi 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
53	5, 2, 32	mul32i 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
54	36, 2	mulcomi 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
55	52, 53, 54	3eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
56	47, 50, 55	3eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
57	43, 45, 56	3eqtr4ri 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))
59	40, 58	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
60	59	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))))
61	4, 6	hicli 31171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ
62	6, 4	hicli 31171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
63	61, 62	addcli 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) ∈ ℂ
64	63	subidi 11457	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0
65	60, 64	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0)
66	7, 65	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0)
67	4, 6	hvsubcli 31111	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
68		his6 31189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
70	66, 69	sylib 219	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
71	4, 6	hvsubeq0i 31153	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
72	70, 71	sylib 219	. 2 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
73		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
74	21, 16	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)
75	42	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)
76	73, 74, 75	3eqtr4g 2799	. . 3 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
77	76	eqcomd 2745	. 2 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
78	72, 77	impbii 210	1 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 207 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ‘cfv 6486 (class class class)co 7357 ℂcc 11028 ℝcr 11029 0cc0 11030 + caddc 11033 · cmul 11035 − cmin 11369 ∗ccj 15050 ℋchba 31009 ·_ℎ csm 31011 ·_ih csp 31012 0_ℎc0v 31014 −_ℎ cmv 31015

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-sep 5219 ax-nul 5229 ax-pow 5295 ax-pr 5363 ax-un 7679 ax-resscn 11087 ax-1cn 11088 ax-icn 11089 ax-addcl 11090 ax-addrcl 11091 ax-mulcl 11092 ax-mulrcl 11093 ax-mulcom 11094 ax-addass 11095 ax-mulass 11096 ax-distr 11097 ax-i2m1 11098 ax-1ne0 11099 ax-1rid 11100 ax-rnegex 11101 ax-rrecex 11102 ax-cnre 11103 ax-pre-lttri 11104 ax-pre-lttrn 11105 ax-pre-ltadd 11106 ax-pre-mulgt0 11107 ax-hfvadd 31090 ax-hvcom 31091 ax-hvass 31092 ax-hv0cl 31093 ax-hvaddid 31094 ax-hfvmul 31095 ax-hvmulid 31096 ax-hvdistr2 31099 ax-hvmul0 31100 ax-hfi 31169 ax-his1 31172 ax-his2 31173 ax-his3 31174 ax-his4 31175

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4263 df-if 4456 df-pw 4532 df-sn 4557 df-pr 4559 df-op 4563 df-uni 4840 df-iun 4924 df-br 5074 df-opab 5136 df-mpt 5155 df-tr 5181 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7314 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7808 df-2nd 7933 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-er 8634 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11173 df-mnf 11174 df-xr 11175 df-ltxr 11176 df-le 11177 df-sub 11371 df-neg 11372 df-div 11800 df-nn 12167 df-2 12236 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-hvsub 31061

This theorem is referenced by: h1de2i 31643

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