Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bcseqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcseqi 28892
 Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 28952. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem7t.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
bcseqi (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))

Proof of Theorem bcseqi
StepHypRef Expression
1 normlem7t.2 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℋ
21, 1hicli 28853 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
3 normlem7t.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 28786 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ
53, 1hicli 28853 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
65, 1hvmulcli 28786 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ
74, 6, 4, 6normlem9 28890 . . . . 5 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))))
8 oveq1 7145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
98eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
10 his5 28858 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴)))
112, 4, 3, 10mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴))
12 hiidrcl 28867 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
13 cjre 14487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵))
141, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)
15 ax-his3 28856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
162, 3, 3, 15mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
1714, 16oveq12i 7150 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
183, 3hicli 28853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
192, 18mulcli 10633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
202, 19mulcomi 10634 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2118, 2mulcomi 10634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))
2221oveq1i 7148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2320, 22eqtr4i 2850 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
2411, 17, 233eqtri 2851 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
25 his5 28858 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵)))
265, 4, 1, 25mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵))
271, 3his1i 28872 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))
2827eqcomi 2833 . . . . . . . . . . 11 (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐴)
29 ax-his3 28856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
302, 3, 1, 29mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))
3128, 30oveq12i 7150 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
321, 3hicli 28853 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
332, 5mulcli 10633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
3432, 33mulcomi 10634 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴))
352, 5, 32mulassi 10637 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
365, 32mulcli 10633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
372, 36mulcomi 10634 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
3834, 35, 373eqtri 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐵 ·ih 𝐵) · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
3926, 31, 383eqtri 2851 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
409, 24, 393eqtr4g 2884 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)))
41 ax-his3 28856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
425, 1, 3, 41mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴))
4314, 42oveq12i 7150 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
44 his5 28858 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)))
452, 6, 3, 44mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴))
46 his5 28858 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)))
475, 6, 1, 46mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵))
48 ax-his3 28856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
495, 1, 1, 48mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))
5028, 49oveq12i 7150 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) · (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
515, 2mulcli 10633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5232, 51mulcomi 10634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴))
535, 2, 32mul32i 10821 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵)) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
5436, 2mulcomi 10634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5552, 53, 543eqtri 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ·ih 𝐴) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5647, 50, 553eqtri 2851 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = ((𝐵 ·ih 𝐵) · ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
5743, 45, 563eqtr4ri 2858 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))
5857a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))
5940, 58oveq12d 7156 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))))
6059oveq1d 7153 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))) = (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))))
614, 6hicli 28853 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℂ
626, 4hicli 28853 . . . . . . . 8 (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) ∈ ℂ
6361, 62addcli 10632 . . . . . . 7 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))) ∈ ℂ
6463subidi 10942 . . . . . 6 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))) = 0
6560, 64syl6eq 2875 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) − ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) + (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴)))) = 0)
667, 65syl5eq 2871 . . . 4 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0)
674, 6hvsubcli 28793 . . . . 5 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ
68 his6 28871 . . . . 5 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0))
6967, 68ax-mp 5 . . . 4 (((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) ·ih (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0)
7066, 69sylib 221 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0)
714, 6hvsubeq0i 28835 . . 3 ((((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) − ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
7270, 71sylib 221 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) → ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
73 oveq1 7145 . . . 4 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) → (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴))
7421, 16eqtr4i 2850 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) ·ih 𝐴)
7542eqcomi 2833 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) ·ih 𝐴)
7673, 74, 753eqtr4g 2884 . . 3 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
7776eqcomd 2830 . 2 (((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵) → ((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
7872, 77impbii 212 1 (((𝐴 ·ih 𝐵) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·ih 𝐵) · 𝐴) = ((𝐴 ·ih 𝐵) · 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℂcc 10520  ℝcr 10521  0cc0 10522   + caddc 10525   · cmul 10527   − cmin 10855  ∗ccj 14444   ℋchba 28691   ·ℎ csm 28693   ·ih csp 28694  0ℎc0v 28696   −ℎ cmv 28697 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-hfvadd 28772  ax-hvcom 28773  ax-hvass 28774  ax-hv0cl 28775  ax-hvaddid 28776  ax-hfvmul 28777  ax-hvmulid 28778  ax-hvdistr2 28781  ax-hvmul0 28782  ax-hfi 28851  ax-his1 28854  ax-his2 28855  ax-his3 28856  ax-his4 28857 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-2 11686  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-hvsub 28743 This theorem is referenced by:  h1de2i  29325
 Copyright terms: Public domain W3C validator