bcseqi - Hilbert Space Explorer

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Theorem bcseqi 31144

Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 31204. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
bcseqi	⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

**Proof of Theorem bcseqi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem7t.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2	1, 1	hicli 31105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
3		normlem7t.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	3, 1	hicli 31105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
6	5, 1	hvmulcli 31038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	4, 6, 4, 6	normlem9 31142	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
8		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
9	8	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
10		his5 31110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)))
11	2, 4, 3, 10	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴))
12		hiidrcl 31119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ)
13		cjre 15060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵))
14	1, 12, 13	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵)
15		ax-his3 31108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
16	2, 3, 3, 15	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
17	14, 16	oveq12i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
18	3, 3	hicli 31105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
19	2, 18	mulcli 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
20	2, 19	mulcomi 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
21	18, 2	mulcomi 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
22	21	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
23	20, 22	eqtr4i 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
24	11, 17, 23	3eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
25		his5 31110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)))
26	5, 4, 1, 25	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵))
27	1, 3	his1i 31124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵))
28	27	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐴)
29		ax-his3 31108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
30	2, 3, 1, 29	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))
31	28, 30	oveq12i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
32	1, 3	hicli 31105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
33	2, 5	mulcli 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
34	32, 33	mulcomi 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
35	2, 5, 32	mulassi 11141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
36	5, 32	mulcli 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
37	2, 36	mulcomi 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
38	34, 35, 37	3eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
39	26, 31, 38	3eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
40	9, 24, 39	3eqtr4g 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)))
41		ax-his3 31108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
42	5, 1, 3, 41	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
43	14, 42	oveq12i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
44		his5 31110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)))
45	2, 6, 3, 44	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
46		his5 31110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)))
47	5, 6, 1, 46	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵))
48		ax-his3 31108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
49	5, 1, 1, 48	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
50	28, 49	oveq12i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
51	5, 2	mulcli 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
52	32, 51	mulcomi 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
53	5, 2, 32	mul32i 11327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
54	36, 2	mulcomi 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
55	52, 53, 54	3eqtri 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
56	47, 50, 55	3eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
57	43, 45, 56	3eqtr4ri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))
59	40, 58	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
60	59	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))))
61	4, 6	hicli 31105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ
62	6, 4	hicli 31105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
63	61, 62	addcli 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) ∈ ℂ
64	63	subidi 11450	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0
65	60, 64	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0)
66	7, 65	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0)
67	4, 6	hvsubcli 31045	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
68		his6 31123	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
70	66, 69	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
71	4, 6	hvsubeq0i 31087	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
72	70, 71	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
73		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
74	21, 16	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)
75	42	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)
76	73, 74, 75	3eqtr4g 2794	. . 3 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
77	76	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
78	72, 77	impbii 209	1 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 206 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 ℂcc 11022 ℝcr 11023 0cc0 11024 + caddc 11027 · cmul 11029 − cmin 11362 ∗ccj 15017 ℋchba 30943 ·_ℎ csm 30945 ·_ih csp 30946 0_ℎc0v 30948 −_ℎ cmv 30949

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101 ax-hfvadd 31024 ax-hvcom 31025 ax-hvass 31026 ax-hv0cl 31027 ax-hvaddid 31028 ax-hfvmul 31029 ax-hvmulid 31030 ax-hvdistr2 31033 ax-hvmul0 31034 ax-hfi 31103 ax-his1 31106 ax-his2 31107 ax-his3 31108 ax-his4 31109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-rmo 3348 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-er 8633 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-div 11793 df-nn 12144 df-2 12206 df-cj 15020 df-re 15021 df-im 15022 df-hvsub 30995

This theorem is referenced by: h1de2i 31577

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