bcseqi - Hilbert Space Explorer

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Theorem bcseqi 31002

Description: Equality case of Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality. Specifically, in the equality case the two vectors are collinear. Compare bcsiHIL 31062. (Contributed by NM, 16-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
normlem7t.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem7t.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

**Assertion**
Ref	Expression
bcseqi	⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

**Proof of Theorem bcseqi**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem7t.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2	1, 1	hicli 30963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
3		normlem7t.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 30896	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	3, 1	hicli 30963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ
6	5, 1	hvmulcli 30896	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	4, 6, 4, 6	normlem9 31000	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
8		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
9	8	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
10		his5 30968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)))
11	2, 4, 3, 10	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴))
12		hiidrcl 30977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ)
13		cjre 15122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℝ → (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵))
14	1, 12, 13	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐵)
15		ax-his3 30966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
16	2, 3, 3, 15	mp3an 1457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
17	14, 16	oveq12i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)))
18	3, 3	hicli 30963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
19	2, 18	mulcli 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
20	2, 19	mulcomi 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
21	18, 2	mulcomi 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))
22	21	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
23	20, 22	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
24	11, 17, 23	3eqtri 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
25		his5 30968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)))
26	5, 4, 1, 25	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵))
27	1, 3	his1i 30982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵))
28	27	eqcomi 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) = (𝐵 ·_ih 𝐴)
29		ax-his3 30966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
30	2, 3, 1, 29	mp3an 1457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))
31	28, 30	oveq12i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)))
32	1, 3	hicli 30963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ·_ih 𝐴) ∈ ℂ
33	2, 5	mulcli 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
34	32, 33	mulcomi 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
35	2, 5, 32	mulassi 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
36	5, 32	mulcli 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) ∈ ℂ
37	2, 36	mulcomi 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
38	34, 35, 37	3eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐵 ·_ih 𝐵) · (𝐴 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
39	26, 31, 38	3eqtri 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
40	9, 24, 39	3eqtr4g 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)))
41		ax-his3 30966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
42	5, 1, 3, 41	mp3an 1457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
43	14, 42	oveq12i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
44		his5 30968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)))
45	2, 6, 3, 44	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
46		his5 30968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)))
47	5, 6, 1, 46	mp3an 1457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵))
48		ax-his3 30966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
49	5, 1, 1, 48	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
50	28, 49	oveq12i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘(𝐴 ·_ih 𝐵)) · (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
51	5, 2	mulcli 11253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ∈ ℂ
52	32, 51	mulcomi 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴))
53	5, 2, 32	mul32i 11442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵))
54	36, 2	mulcomi 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
55	52, 53, 54	3eqtri 2757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ·_ih 𝐴) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐵))) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
56	47, 50, 55	3eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = ((𝐵 ·_ih 𝐵) · ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
57	43, 45, 56	3eqtr4ri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))
58	57	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))
59	40, 58	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))))
60	59	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))))
61	4, 6	hicli 30963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ
62	6, 4	hicli 30963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
63	61, 62	addcli 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) ∈ ℂ
64	63	subidi 11563	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0
65	60, 64	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) − ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) + (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴)))) = 0)
66	7, 65	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0)
67	4, 6	hvsubcli 30903	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
68		his6 30981	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))) = 0 ↔ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
70	66, 69	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ)
71	4, 6	hvsubeq0i 30945	. . 3 ⊢ ((((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) −_ℎ ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵)) = 0_ℎ ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
72	70, 71	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) → ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))
73		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴))
74	21, 16	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) ·_ih 𝐴)
75	42	eqcomi 2734	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = (((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐴)
76	73, 74, 75	3eqtr4g 2790	. . 3 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)))
77	76	eqcomd 2731	. 2 ⊢ (((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵) → ((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)))
78	72, 77	impbii 208	1 ⊢ (((𝐴 ·_ih 𝐵) · (𝐵 ·_ih 𝐴)) = ((𝐴 ·_ih 𝐴) · (𝐵 ·_ih 𝐵)) ↔ ((𝐵 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐴) = ((𝐴 ·_ih 𝐵) ·_ℎ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 205 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ‘cfv 6549 (class class class)co 7419 ℂcc 11138 ℝcr 11139 0cc0 11140 + caddc 11143 · cmul 11145 − cmin 11476 ∗ccj 15079 ℋchba 30801 ·_ℎ csm 30803 ·_ih csp 30804 0_ℎc0v 30806 −_ℎ cmv 30807

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7741 ax-resscn 11197 ax-1cn 11198 ax-icn 11199 ax-addcl 11200 ax-addrcl 11201 ax-mulcl 11202 ax-mulrcl 11203 ax-mulcom 11204 ax-addass 11205 ax-mulass 11206 ax-distr 11207 ax-i2m1 11208 ax-1ne0 11209 ax-1rid 11210 ax-rnegex 11211 ax-rrecex 11212 ax-cnre 11213 ax-pre-lttri 11214 ax-pre-lttrn 11215 ax-pre-ltadd 11216 ax-pre-mulgt0 11217 ax-hfvadd 30882 ax-hvcom 30883 ax-hvass 30884 ax-hv0cl 30885 ax-hvaddid 30886 ax-hfvmul 30887 ax-hvmulid 30888 ax-hvdistr2 30891 ax-hvmul0 30892 ax-hfi 30961 ax-his1 30964 ax-his2 30965 ax-his3 30966 ax-his4 30967

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2930 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3419 df-v 3463 df-sbc 3774 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4323 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4910 df-iun 4999 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6501 df-fun 6551 df-fn 6552 df-f 6553 df-f1 6554 df-fo 6555 df-f1o 6556 df-fv 6557 df-riota 7375 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11282 df-mnf 11283 df-xr 11284 df-ltxr 11285 df-le 11286 df-sub 11478 df-neg 11479 df-div 11904 df-2 12308 df-cj 15082 df-re 15083 df-im 15084 df-hvsub 30853

This theorem is referenced by: h1de2i 31435

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