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Theorem log2ublem2 26795
Description: Lemma for log2ub 26797. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
log2ublem2.1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5 (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6 (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8 (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9 ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
Assertion
Ref Expression
log2ublem2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2
StepHypRef Expression
1 log2ublem2.1 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2 fzfid 13935 . . . 4 (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
3 elfznn0 13591 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 2re 12283 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6 3nn 12288 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
7 2nn0 12486 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
8 nn0mulcl 12505 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
97, 8mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
12 nnmulcl 12233 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
136, 11, 12sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
14 9nn 12307 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ
15 nnexpcl 14037 . . . . . . . 8 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1614, 15mpan 687 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1713, 16nnmulcld 12262 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
18 nndivre 12250 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
195, 17, 18sylancr 586 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
204, 19syl 17 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
212, 20fsumrecl 15677 . . 3 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
2221mptru 1540 . 2 Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
23 log2ublem2.4 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0
247, 23nn0mulcli 12507 . . . . 5 (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
25 nn0p1nn 12508 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
276, 26nnmulcli 12234 . . 3 (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
28 nnexpcl 14037 . . . 4 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
2914, 23, 28mp2an 689 . . 3 (9↑𝑁) ∈ ℕ
3027, 29nnmulcli 12234 . 2 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
31 log2ublem2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
327, 31nn0mulcli 12507 . 2 (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
33 log2ublem2.3 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
347, 33nn0mulcli 12507 . 2 (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
35 nn0uz 12861 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
3623, 35eleqtri 2823 . . . . . 6 𝑁 ∈ (ℤ‘0)
3736a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
38 elfznn0 13591 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4019recnd 11239 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
42 oveq2 7409 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
4342oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
4443oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
45 oveq2 7409 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
4644, 45oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
4746oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
4837, 41, 47fsumm1 15694 . . . 4 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
4948mptru 1540 . . 3 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
50 log2ublem2.5 . . . . . 6 (𝑁 − 1) = 𝐾
5150oveq2i 7412 . . . . 5 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
5251sumeq1i 15641 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
5352oveq1i 7411 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
5449, 53eqtri 2752 . 2 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55 2cn 12284 . . . 4 2 ∈ ℂ
5631nn0cni 12481 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
5733nn0cni 12481 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
5855, 56, 57adddii 11223 . . 3 (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
59 log2ublem2.6 . . . 4 (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
6059oveq2i 7412 . . 3 (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
6158, 60eqtr3i 2754 . 2 ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
62 7nn 12301 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
6362nnnn0i 12477 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
64 nnexpcl 14037 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
656, 63, 64mp2an 689 . . . . . . 7 (3↑7) ∈ ℕ
66 5nn 12295 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
6766, 62nnmulcli 12234 . . . . . . 7 (5 · 7) ∈ ℕ
6865, 67nnmulcli 12234 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
6968nnrei 12218 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
7069, 5remulcli 11227 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
7170leidi 11745 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
726nnnn0i 12477 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
73 nnexpcl 14037 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
7414, 72, 73mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (9↑3) ∈ ℕ
7574nncni 12219 . . . . . . . . . 10 (9↑3) ∈ ℂ
7667nncni 12219 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
7775, 76mulcomi 11219 . . . . . . . . 9 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
78 log2ublem2.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) = 3
79 log2ublem2.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ ℕ0
8079nn0cni 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ∈ ℂ
8123nn0cni 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ ℂ
8280, 81addcomi 11402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
8378, 82eqtr3i 2754 . . . . . . . . . . . 12 3 = (𝑁 + 𝑀)
8483oveq2i 7412 . . . . . . . . . . 11 (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
8514nncni 12219 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
86 expadd 14067 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
8785, 23, 79, 86mp3an 1457 . . . . . . . . . . 11 (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
8884, 87eqtri 2752 . . . . . . . . . 10 (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
8988oveq2i 7412 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
9029nncni 12219 . . . . . . . . . 10 (9↑𝑁) ∈ ℂ
91 nnexpcl 14037 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
9214, 79, 91mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (9↑𝑀) ∈ ℕ
9392nncni 12219 . . . . . . . . . 10 (9↑𝑀) ∈ ℂ
9476, 90, 93mul12i 11406 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
9577, 89, 943eqtri 2756 . . . . . . . 8 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
96 log2ublem2.9 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
9796oveq2i 7412 . . . . . . . 8 ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
9895, 97eqtri 2752 . . . . . . 7 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
9998oveq2i 7412 . . . . . 6 (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
100 df-7 12277 . . . . . . . . . 10 7 = (6 + 1)
101100oveq2i 7412 . . . . . . . . 9 (3↑7) = (3↑(6 + 1))
102 3cn 12290 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
103 6nn0 12490 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ0
104 expp1 14031 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
105102, 103, 104mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
106 expmul 14070 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
107102, 7, 72, 106mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
10855, 102mulcomi 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 3) = (3 · 2)
109 3t2e6 12375 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
110108, 109eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3) = 6
111110oveq2i 7412 . . . . . . . . . . . 12 (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
112 sq3 14159 . . . . . . . . . . . . 13 (3↑2) = 9
113112oveq1i 7411 . . . . . . . . . . . 12 ((3↑2)↑3) = (9↑3)
114107, 111, 1133eqtr3i 2760 . . . . . . . . . . 11 (3↑6) = (9↑3)
115114oveq1i 7411 . . . . . . . . . 10 ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
116105, 115eqtri 2752 . . . . . . . . 9 (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
11775, 102mulcomi 11219 . . . . . . . . 9 ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
118101, 116, 1173eqtri 2756 . . . . . . . 8 (3↑7) = (3 · (9↑3))
119118oveq1i 7411 . . . . . . 7 ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
120102, 75, 76mulassi 11222 . . . . . . 7 ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
121119, 120eqtri 2752 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
12226nncni 12219 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
123102, 122, 90mul32i 11407 . . . . . . . 8 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
124123oveq1i 7411 . . . . . . 7 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
125102, 90mulcli 11218 . . . . . . . 8 (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
126125, 122, 57mulassi 11222 . . . . . . 7 (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
127122, 57mulcli 11218 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
128102, 90, 127mulassi 11222 . . . . . . 7 ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
129124, 126, 1283eqtri 2756 . . . . . 6 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
13099, 121, 1293eqtr4i 2762 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
131130oveq2i 7412 . . . 4 (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
13265nncni 12219 . . . . . 6 (3↑7) ∈ ℂ
133132, 76mulcli 11218 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
134133, 55mulcomi 11219 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
13530nncni 12219 . . . . 5 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
136135, 55, 57mul12i 11406 . . . 4 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
137131, 134, 1363eqtr4i 2762 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
13871, 137breqtri 5163 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
1391, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 138log2ublem1 26794 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cle 11246  cmin 11441   / cdiv 11868  cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  5c5 12267  6c6 12268  7c7 12269  9c9 12271  0cn0 12469  cuz 12819  ...cfz 13481  cexp 14024  Σcsu 15629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630
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