Theorem log2ublem2 25533

Description: Lemma for log2ub 25535. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
log2ublem2.1	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5	⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6	⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8	⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9	⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
log2ublem2	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ublem2.1	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2		fzfid 13336	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
3		elfznn0 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4	3	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5		2re 11699	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		3nn 11704	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
7		2nn0 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		nn0mulcl 11921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
9	7, 8	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
10		nn0p1nn 11924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
12		nnmulcl 11649	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
13	6, 11, 12	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
14		9nn 11723	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
15		nnexpcl 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
16	14, 15	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
17	13, 16	nnmulcld 11678	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
18		nndivre 11666	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
19	5, 17, 18	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
21	2, 20	fsumrecl 15083	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
22	21	mptru 1545	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
23		log2ublem2.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
24	7, 23	nn0mulcli 11923	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
25		nn0p1nn 11924	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
27	6, 26	nnmulcli 11650	. . 3 ⊢ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
28		nnexpcl 13438	. . . 4 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
29	14, 23, 28	mp2an 691	. . 3 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℕ
30	27, 29	nnmulcli 11650	. 2 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
31		log2ublem2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
32	7, 31	nn0mulcli 11923	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
33		log2ublem2.3	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
34	7, 33	nn0mulcli 11923	. 2 ⊢ (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
35		nn0uz 12268	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
36	23, 35	eleqtri 2888	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
38		elfznn0 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39	38	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
40	19	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
42		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
43	42	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
44	43	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
45		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
46	44, 45	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
47	46	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
48	37, 41, 47	fsumm1 15098	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
49	48	mptru 1545	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
50		log2ublem2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
51	50	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
52	51	sumeq1i 15047	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
53	52	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
54	49, 53	eqtri 2821	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55		2cn 11700	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
56	31	nn0cni 11897	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
57	33	nn0cni 11897	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
58	55, 56, 57	adddii 10642	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
59		log2ublem2.6	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
60	59	oveq2i 7146	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
61	58, 60	eqtr3i 2823	. 2 ⊢ ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
62		7nn 11717	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
63	62	nnnn0i 11893	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
64		nnexpcl 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
65	6, 63, 64	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
66		5nn 11711	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
67	66, 62	nnmulcli 11650	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
68	65, 67	nnmulcli 11650	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
69	68	nnrei 11634	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
70	69, 5	remulcli 10646	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
71	70	leidi 11163	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
72	6	nnnn0i 11893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
73		nnexpcl 13438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
74	14, 72, 73	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) ∈ ℕ
75	74	nncni 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) ∈ ℂ
76	67	nncni 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
77	75, 76	mulcomi 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
78		log2ublem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
79		log2ublem2.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
80	79	nn0cni 11897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
81	23	nn0cni 11897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
82	80, 81	addcomi 10820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
83	78, 82	eqtr3i 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (𝑁 + 𝑀)
84	83	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
85	14	nncni 11635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
86		expadd 13467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
87	85, 23, 79, 86	mp3an 1458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
88	84, 87	eqtri 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
89	88	oveq2i 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
90	29	nncni 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℂ
91		nnexpcl 13438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
92	14, 79, 91	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℕ
93	92	nncni 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℂ
94	76, 90, 93	mul12i 10824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
95	77, 89, 94	3eqtri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
96		log2ublem2.9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
97	96	oveq2i 7146	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
98	95, 97	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
99	98	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
100		df-7 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 = (6 + 1)
101	100	oveq2i 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = (3↑(6 + 1))
102		3cn 11706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
103		6nn0 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
104		expp1 13432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
105	102, 103, 104	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
106		expmul 13470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
107	102, 7, 72, 106	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
108	55, 102	mulcomi 10638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
109		3t2e6 11791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
110	108, 109	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = 6
111	110	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
112		sq3 13557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑2) = 9
113	112	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3↑2)↑3) = (9↑3)
114	107, 111, 113	3eqtr3i 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = (9↑3)
115	114	oveq1i 7145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
116	105, 115	eqtri 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
117	75, 102	mulcomi 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
118	101, 116, 117	3eqtri 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) = (3 · (9↑3))
119	118	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
120	102, 75, 76	mulassi 10641	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
121	119, 120	eqtri 2821	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
122	26	nncni 11635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
123	102, 122, 90	mul32i 10825	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
124	123	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
125	102, 90	mulcli 10637	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
126	125, 122, 57	mulassi 10641	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
127	122, 57	mulcli 10637	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
128	102, 90, 127	mulassi 10641	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
129	124, 126, 128	3eqtri 2825	. . . . . 6 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
130	99, 121, 129	3eqtr4i 2831	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
131	130	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
132	65	nncni 11635	. . . . . 6 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
133	132, 76	mulcli 10637	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
134	133, 55	mulcomi 10638	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
135	30	nncni 11635	. . . . 5 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
136	135, 55, 57	mul12i 10824	. . . 4 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
137	131, 134, 136	3eqtr4i 2831	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
138	71, 137	breqtri 5055	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
139	1, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 138	log2ublem1 25532	1 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  9c9 11687  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  log2ublem3  25534