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Theorem log2ublem2 26313
Description: Lemma for log2ub 26315. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
log2ublem2.1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5 (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6 (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8 (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9 ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
Assertion
Ref Expression
log2ublem2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2
StepHypRef Expression
1 log2ublem2.1 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2 fzfid 13885 . . . 4 (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
3 elfznn0 13541 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43adantl 483 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 2re 12234 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6 3nn 12239 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
7 2nn0 12437 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
8 nn0mulcl 12456 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
97, 8mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
12 nnmulcl 12184 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
136, 11, 12sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
14 9nn 12258 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ
15 nnexpcl 13987 . . . . . . . 8 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1614, 15mpan 689 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1713, 16nnmulcld 12213 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
18 nndivre 12201 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
195, 17, 18sylancr 588 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
204, 19syl 17 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
212, 20fsumrecl 15626 . . 3 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
2221mptru 1549 . 2 Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
23 log2ublem2.4 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0
247, 23nn0mulcli 12458 . . . . 5 (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
25 nn0p1nn 12459 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
276, 26nnmulcli 12185 . . 3 (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
28 nnexpcl 13987 . . . 4 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
2914, 23, 28mp2an 691 . . 3 (9↑𝑁) ∈ ℕ
3027, 29nnmulcli 12185 . 2 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
31 log2ublem2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
327, 31nn0mulcli 12458 . 2 (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
33 log2ublem2.3 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
347, 33nn0mulcli 12458 . 2 (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
35 nn0uz 12812 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
3623, 35eleqtri 2836 . . . . . 6 𝑁 ∈ (ℤ‘0)
3736a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
38 elfznn0 13541 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3938adantl 483 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4019recnd 11190 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
42 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
4342oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
4443oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
45 oveq2 7370 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
4644, 45oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
4746oveq2d 7378 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
4837, 41, 47fsumm1 15643 . . . 4 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
4948mptru 1549 . . 3 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
50 log2ublem2.5 . . . . . 6 (𝑁 − 1) = 𝐾
5150oveq2i 7373 . . . . 5 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
5251sumeq1i 15590 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
5352oveq1i 7372 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
5449, 53eqtri 2765 . 2 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55 2cn 12235 . . . 4 2 ∈ ℂ
5631nn0cni 12432 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
5733nn0cni 12432 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
5855, 56, 57adddii 11174 . . 3 (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
59 log2ublem2.6 . . . 4 (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
6059oveq2i 7373 . . 3 (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
6158, 60eqtr3i 2767 . 2 ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
62 7nn 12252 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
6362nnnn0i 12428 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
64 nnexpcl 13987 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
656, 63, 64mp2an 691 . . . . . . 7 (3↑7) ∈ ℕ
66 5nn 12246 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
6766, 62nnmulcli 12185 . . . . . . 7 (5 · 7) ∈ ℕ
6865, 67nnmulcli 12185 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
6968nnrei 12169 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
7069, 5remulcli 11178 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
7170leidi 11696 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
726nnnn0i 12428 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
73 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
7414, 72, 73mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (9↑3) ∈ ℕ
7574nncni 12170 . . . . . . . . . 10 (9↑3) ∈ ℂ
7667nncni 12170 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
7775, 76mulcomi 11170 . . . . . . . . 9 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
78 log2ublem2.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) = 3
79 log2ublem2.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ ℕ0
8079nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ∈ ℂ
8123nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ ℂ
8280, 81addcomi 11353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
8378, 82eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . 12 3 = (𝑁 + 𝑀)
8483oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
8514nncni 12170 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
86 expadd 14017 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
8785, 23, 79, 86mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
8884, 87eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
8988oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
9029nncni 12170 . . . . . . . . . 10 (9↑𝑁) ∈ ℂ
91 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
9214, 79, 91mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (9↑𝑀) ∈ ℕ
9392nncni 12170 . . . . . . . . . 10 (9↑𝑀) ∈ ℂ
9476, 90, 93mul12i 11357 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
9577, 89, 943eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
96 log2ublem2.9 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
9796oveq2i 7373 . . . . . . . 8 ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
9895, 97eqtri 2765 . . . . . . 7 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
9998oveq2i 7373 . . . . . 6 (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
100 df-7 12228 . . . . . . . . . 10 7 = (6 + 1)
101100oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (3↑7) = (3↑(6 + 1))
102 3cn 12241 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
103 6nn0 12441 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ0
104 expp1 13981 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
105102, 103, 104mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
106 expmul 14020 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
107102, 7, 72, 106mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
10855, 102mulcomi 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 3) = (3 · 2)
109 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
110108, 109eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3) = 6
111110oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
112 sq3 14109 . . . . . . . . . . . . 13 (3↑2) = 9
113112oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((3↑2)↑3) = (9↑3)
114107, 111, 1133eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . 11 (3↑6) = (9↑3)
115114oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
116105, 115eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
11775, 102mulcomi 11170 . . . . . . . . 9 ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
118101, 116, 1173eqtri 2769 . . . . . . . 8 (3↑7) = (3 · (9↑3))
119118oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
120102, 75, 76mulassi 11173 . . . . . . 7 ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
121119, 120eqtri 2765 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
12226nncni 12170 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
123102, 122, 90mul32i 11358 . . . . . . . 8 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
124123oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
125102, 90mulcli 11169 . . . . . . . 8 (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
126125, 122, 57mulassi 11173 . . . . . . 7 (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
127122, 57mulcli 11169 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
128102, 90, 127mulassi 11173 . . . . . . 7 ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
129124, 126, 1283eqtri 2769 . . . . . 6 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
13099, 121, 1293eqtr4i 2775 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
131130oveq2i 7373 . . . 4 (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
13265nncni 12170 . . . . . 6 (3↑7) ∈ ℂ
133132, 76mulcli 11169 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
134133, 55mulcomi 11170 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
13530nncni 12170 . . . . 5 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
136135, 55, 57mul12i 11357 . . . 4 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
137131, 134, 1363eqtr4i 2775 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
13871, 137breqtri 5135 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
1391, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 138log2ublem1 26312 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cle 11197  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  9c9 12222  0cn0 12420  cuz 12770  ...cfz 13431  cexp 13974  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
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