Theorem log2ublem2 27008

Description: Lemma for log2ub 27010. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
log2ublem2.1	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5	⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6	⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8	⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9	⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
log2ublem2	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ublem2.1	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2		fzfid 14024	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
3		elfznn0 13677	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		3nn 12372	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
7		2nn0 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		nn0mulcl 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
9	7, 8	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
10		nn0p1nn 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
12		nnmulcl 12317	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
13	6, 11, 12	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
14		9nn 12391	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
15		nnexpcl 14125	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
16	14, 15	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
17	13, 16	nnmulcld 12346	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
18		nndivre 12334	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
19	5, 17, 18	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
21	2, 20	fsumrecl 15782	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
22	21	mptru 1544	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
23		log2ublem2.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
24	7, 23	nn0mulcli 12591	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
25		nn0p1nn 12592	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
27	6, 26	nnmulcli 12318	. . 3 ⊢ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
28		nnexpcl 14125	. . . 4 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
29	14, 23, 28	mp2an 691	. . 3 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℕ
30	27, 29	nnmulcli 12318	. 2 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
31		log2ublem2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
32	7, 31	nn0mulcli 12591	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
33		log2ublem2.3	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
34	7, 33	nn0mulcli 12591	. 2 ⊢ (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
35		nn0uz 12945	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
36	23, 35	eleqtri 2842	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
38		elfznn0 13677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
40	19	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
42		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
43	42	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
45		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
46	44, 45	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
47	46	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
48	37, 41, 47	fsumm1 15799	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
49	48	mptru 1544	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
50		log2ublem2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
51	50	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
52	51	sumeq1i 15745	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
53	52	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
54	49, 53	eqtri 2768	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55		2cn 12368	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
56	31	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
57	33	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
58	55, 56, 57	adddii 11302	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
59		log2ublem2.6	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
60	59	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
61	58, 60	eqtr3i 2770	. 2 ⊢ ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
62		7nn 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
63	62	nnnn0i 12561	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
64		nnexpcl 14125	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
65	6, 63, 64	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
66		5nn 12379	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
67	66, 62	nnmulcli 12318	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
68	65, 67	nnmulcli 12318	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
69	68	nnrei 12302	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
70	69, 5	remulcli 11306	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
71	70	leidi 11824	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
72	6	nnnn0i 12561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
73		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
74	14, 72, 73	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) ∈ ℕ
75	74	nncni 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) ∈ ℂ
76	67	nncni 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
77	75, 76	mulcomi 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
78		log2ublem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
79		log2ublem2.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
80	79	nn0cni 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
81	23	nn0cni 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
82	80, 81	addcomi 11481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
83	78, 82	eqtr3i 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (𝑁 + 𝑀)
84	83	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
85	14	nncni 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
86		expadd 14155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
87	85, 23, 79, 86	mp3an 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
88	84, 87	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
89	88	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
90	29	nncni 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℂ
91		nnexpcl 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
92	14, 79, 91	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℕ
93	92	nncni 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℂ
94	76, 90, 93	mul12i 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
95	77, 89, 94	3eqtri 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
96		log2ublem2.9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
97	96	oveq2i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
98	95, 97	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
99	98	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
100		df-7 12361	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 = (6 + 1)
101	100	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = (3↑(6 + 1))
102		3cn 12374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
103		6nn0 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
104		expp1 14119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
105	102, 103, 104	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
106		expmul 14158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
107	102, 7, 72, 106	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
108	55, 102	mulcomi 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
109		3t2e6 12459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
110	108, 109	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = 6
111	110	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
112		sq3 14247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑2) = 9
113	112	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3↑2)↑3) = (9↑3)
114	107, 111, 113	3eqtr3i 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = (9↑3)
115	114	oveq1i 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
116	105, 115	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
117	75, 102	mulcomi 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
118	101, 116, 117	3eqtri 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) = (3 · (9↑3))
119	118	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
120	102, 75, 76	mulassi 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
121	119, 120	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
122	26	nncni 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
123	102, 122, 90	mul32i 11486	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
124	123	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
125	102, 90	mulcli 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
126	125, 122, 57	mulassi 11301	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
127	122, 57	mulcli 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
128	102, 90, 127	mulassi 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
129	124, 126, 128	3eqtri 2772	. . . . . 6 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
130	99, 121, 129	3eqtr4i 2778	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
131	130	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
132	65	nncni 12303	. . . . . 6 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
133	132, 76	mulcli 11297	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
134	133, 55	mulcomi 11298	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
135	30	nncni 12303	. . . . 5 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
136	135, 55, 57	mul12i 11485	. . . 4 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
137	131, 134, 136	3eqtr4i 2778	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
138	71, 137	breqtri 5191	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
139	1, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 138	log2ublem1 27007	1 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  9c9 12355  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  log2ublem3  27009