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Theorem log2ublem2 27005
Description: Lemma for log2ub 27007. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
log2ublem2.1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5 (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6 (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8 (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9 ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
Assertion
Ref Expression
log2ublem2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2
StepHypRef Expression
1 log2ublem2.1 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2 fzfid 14011 . . . 4 (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
3 elfznn0 13657 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5 2re 12338 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6 3nn 12343 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
7 2nn0 12541 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
8 nn0mulcl 12560 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
97, 8mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
10 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
12 nnmulcl 12288 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
136, 11, 12sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
14 9nn 12362 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ
15 nnexpcl 14112 . . . . . . . 8 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1614, 15mpan 690 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
1713, 16nnmulcld 12317 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
18 nndivre 12305 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
195, 17, 18sylancr 587 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
204, 19syl 17 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
212, 20fsumrecl 15767 . . 3 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
2221mptru 1544 . 2 Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
23 log2ublem2.4 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0
247, 23nn0mulcli 12562 . . . . 5 (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
25 nn0p1nn 12563 . . . . 5 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
276, 26nnmulcli 12289 . . 3 (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
28 nnexpcl 14112 . . . 4 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
2914, 23, 28mp2an 692 . . 3 (9↑𝑁) ∈ ℕ
3027, 29nnmulcli 12289 . 2 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
31 log2ublem2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
327, 31nn0mulcli 12562 . 2 (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
33 log2ublem2.3 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
347, 33nn0mulcli 12562 . 2 (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
35 nn0uz 12918 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
3623, 35eleqtri 2837 . . . . . 6 𝑁 ∈ (ℤ‘0)
3736a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
38 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4019recnd 11287 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
42 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
4342oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
4443oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
45 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
4644, 45oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
4746oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
4837, 41, 47fsumm1 15784 . . . 4 (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
4948mptru 1544 . . 3 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
50 log2ublem2.5 . . . . . 6 (𝑁 − 1) = 𝐾
5150oveq2i 7442 . . . . 5 (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
5251sumeq1i 15730 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
5352oveq1i 7441 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
5449, 53eqtri 2763 . 2 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55 2cn 12339 . . . 4 2 ∈ ℂ
5631nn0cni 12536 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
5733nn0cni 12536 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
5855, 56, 57adddii 11271 . . 3 (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
59 log2ublem2.6 . . . 4 (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
6059oveq2i 7442 . . 3 (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
6158, 60eqtr3i 2765 . 2 ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
62 7nn 12356 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
6362nnnn0i 12532 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
64 nnexpcl 14112 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
656, 63, 64mp2an 692 . . . . . . 7 (3↑7) ∈ ℕ
66 5nn 12350 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
6766, 62nnmulcli 12289 . . . . . . 7 (5 · 7) ∈ ℕ
6865, 67nnmulcli 12289 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
6968nnrei 12273 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
7069, 5remulcli 11275 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
7170leidi 11795 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
726nnnn0i 12532 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
73 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
7414, 72, 73mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (9↑3) ∈ ℕ
7574nncni 12274 . . . . . . . . . 10 (9↑3) ∈ ℂ
7667nncni 12274 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
7775, 76mulcomi 11267 . . . . . . . . 9 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
78 log2ublem2.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) = 3
79 log2ublem2.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ ℕ0
8079nn0cni 12536 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 ∈ ℂ
8123nn0cni 12536 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ ℂ
8280, 81addcomi 11450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
8378, 82eqtr3i 2765 . . . . . . . . . . . 12 3 = (𝑁 + 𝑀)
8483oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
8514nncni 12274 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
86 expadd 14142 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
8785, 23, 79, 86mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
8884, 87eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
8988oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
9029nncni 12274 . . . . . . . . . 10 (9↑𝑁) ∈ ℂ
91 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
9214, 79, 91mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (9↑𝑀) ∈ ℕ
9392nncni 12274 . . . . . . . . . 10 (9↑𝑀) ∈ ℂ
9476, 90, 93mul12i 11454 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
9577, 89, 943eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
96 log2ublem2.9 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
9796oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
9895, 97eqtri 2763 . . . . . . 7 ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
9998oveq2i 7442 . . . . . 6 (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
100 df-7 12332 . . . . . . . . . 10 7 = (6 + 1)
101100oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (3↑7) = (3↑(6 + 1))
102 3cn 12345 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
103 6nn0 12545 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ0
104 expp1 14106 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
105102, 103, 104mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
106 expmul 14145 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
107102, 7, 72, 106mp3an 1460 . . . . . . . . . . . 12 (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
10855, 102mulcomi 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 3) = (3 · 2)
109 3t2e6 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
110108, 109eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 3) = 6
111110oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
112 sq3 14234 . . . . . . . . . . . . 13 (3↑2) = 9
113112oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((3↑2)↑3) = (9↑3)
114107, 111, 1133eqtr3i 2771 . . . . . . . . . . 11 (3↑6) = (9↑3)
115114oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
116105, 115eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
11775, 102mulcomi 11267 . . . . . . . . 9 ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
118101, 116, 1173eqtri 2767 . . . . . . . 8 (3↑7) = (3 · (9↑3))
119118oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
120102, 75, 76mulassi 11270 . . . . . . 7 ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
121119, 120eqtri 2763 . . . . . 6 ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
12226nncni 12274 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
123102, 122, 90mul32i 11455 . . . . . . . 8 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
124123oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
125102, 90mulcli 11266 . . . . . . . 8 (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
126125, 122, 57mulassi 11270 . . . . . . 7 (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
127122, 57mulcli 11266 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
128102, 90, 127mulassi 11270 . . . . . . 7 ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
129124, 126, 1283eqtri 2767 . . . . . 6 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
13099, 121, 1293eqtr4i 2773 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
131130oveq2i 7442 . . . 4 (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
13265nncni 12274 . . . . . 6 (3↑7) ∈ ℂ
133132, 76mulcli 11266 . . . . 5 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
134133, 55mulcomi 11267 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
13530nncni 12274 . . . . 5 ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
136135, 55, 57mul12i 11454 . . . 4 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
137131, 134, 1363eqtr4i 2773 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
13871, 137breqtri 5173 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
1391, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 138log2ublem1 27004 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  9c9 12326  0cn0 12524  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
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