Theorem log2ublem2 27305

Description: Lemma for log2ub 27307. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
log2ublem2.1	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
log2ublem2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
log2ublem2.3	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
log2ublem2.4	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
log2ublem2.5	⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
log2ublem2.6	⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
log2ublem2.7	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
log2ublem2.8	⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
log2ublem2.9	⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
log2ublem2	⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem log2ublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		log2ublem2.1	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐵)
2		fzfid 14143	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0...𝐾) ∈ Fin)
3		elfznn0 13781	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5		2re 12444	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		3nn 12449	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
7		2nn0 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		nn0mulcl 12669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
9	7, 8	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
10		nn0p1nn 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
12		nnmulcl 12386	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
13	6, 11, 12	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
14		9nn 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
15		nnexpcl 14244	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
16	14, 15	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
17	13, 16	nnmulcld 12418	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
18		nndivre 12406	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
19	5, 17, 18	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
20	4, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝐾)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
21	2, 20	fsumrecl 15929	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
22	21	mptru 1577	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
23		log2ublem2.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
24	7, 23	nn0mulcli 12671	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0
25		nn0p1nn 12672	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ
27	6, 26	nnmulcli 12387	. . 3 ⊢ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ
28		nnexpcl 14244	. . . 4 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
29	14, 23, 28	mp2an 705	. . 3 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℕ
30	27, 29	nnmulcli 12387	. 2 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ
31		log2ublem2.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
32	7, 31	nn0mulcli 12671	. 2 ⊢ (2 · 𝐵) ∈ ℕ0
33		log2ublem2.3	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
34	7, 33	nn0mulcli 12671	. 2 ⊢ (2 · 𝐹) ∈ ℕ0
35		nn0uz 13030	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
36	23, 35	eleqtri 2862	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
38		elfznn0 13781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39	38	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
40	19	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
41	39, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
42		oveq2 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
43	42	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
44	43	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑁) + 1)))
45		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (9↑𝑛) = (9↑𝑁))
46	44, 45	oveq12d 7461	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) = ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))
47	46	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
48	37, 41, 47	fsumm1 15946	. . . 4 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
49	48	mptru 1577	. . 3 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
50		log2ublem2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝐾
51	50	oveq2i 7454	. . . . 5 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝐾)
52	51	sumeq1i 15893	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
53	52	oveq1i 7453	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
54	49, 53	eqtri 2786	. 2 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...𝐾)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
55		2cn 12445	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
56	31	nn0cni 12645	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
57	33	nn0cni 12645	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℂ
58	55, 56, 57	adddii 11348	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹))
59		log2ublem2.6	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐹) = 𝐺
60	59	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ (2 · (𝐵 + 𝐹)) = (2 · 𝐺)
61	58, 60	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ ((2 · 𝐵) + (2 · 𝐹)) = (2 · 𝐺)
62		7nn 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
63	62	nnnn0i 12641	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
64		nnexpcl 14244	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
65	6, 63, 64	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
66		5nn 12456	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
67	66, 62	nnmulcli 12387	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
68	65, 67	nnmulcli 12387	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
69	68	nnrei 12371	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
70	69, 5	remulcli 11352	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ∈ ℝ
71	70	leidi 11877	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2)
72	6	nnnn0i 12641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
73		nnexpcl 14244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (9↑3) ∈ ℕ)
74	14, 72, 73	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) ∈ ℕ
75	74	nncni 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) ∈ ℂ
76	67	nncni 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
77	75, 76	mulcomi 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((5 · 7) · (9↑3))
78		log2ublem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = 3
79		log2ublem2.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
80	79	nn0cni 12645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
81	23	nn0cni 12645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
82	80, 81	addcomi 11528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀)
83	78, 82	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (𝑁 + 𝑀)
84	83	oveq2i 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑3) = (9↑(𝑁 + 𝑀))
85	14	nncni 12372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
86		expadd 14274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
87	85, 23, 79, 86	mp3an 1491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑(𝑁 + 𝑀)) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
88	84, 87	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑3) = ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))
89	88	oveq2i 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑3)) = ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀)))
90	29	nncni 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑁) ∈ ℂ
91		nnexpcl 14244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (9↑𝑀) ∈ ℕ)
92	14, 79, 91	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℕ
93	92	nncni 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9↑𝑀) ∈ ℂ
94	76, 90, 93	mul12i 11532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · ((9↑𝑁) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
95	77, 89, 94	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀)))
96		log2ublem2.9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 7) · (9↑𝑀)) = (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)
97	96	oveq2i 7454	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑𝑁) · ((5 · 7) · (9↑𝑀))) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
98	95, 97	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((9↑3) · (5 · 7)) = ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
99	98	oveq2i 7454	. . . . . 6 ⊢ (3 · ((9↑3) · (5 · 7))) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
100		df-7 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 = (6 + 1)
101	100	oveq2i 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = (3↑(6 + 1))
102		3cn 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
103		6nn0 12654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ0
104		expp1 14238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℕ0) → (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3))
105	102, 103, 104	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((3↑6) · 3)
106		expmul 14277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3))
107	102, 7, 72, 106	mp3an 1491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3)
108		2t3e6 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 3) = 6
109	108	oveq2i 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑(2 · 3)) = (3↑6)
110		sq3 14368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑2) = 9
111	110	oveq1i 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3↑2)↑3) = (9↑3)
112	107, 109, 111	3eqtr3i 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = (9↑3)
113	112	oveq1i 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ((9↑3) · 3)
114	105, 113	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(6 + 1)) = ((9↑3) · 3)
115	75, 102	mulcomi 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9↑3) · 3) = (3 · (9↑3))
116	101, 114, 115	3eqtri 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) = (3 · (9↑3))
117	116	oveq1i 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = ((3 · (9↑3)) · (5 · 7))
118	102, 75, 76	mulassi 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑3)) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
119	117, 118	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (3 · ((9↑3) · (5 · 7)))
120	26	nncni 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ
121	102, 120, 90	mul32i 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = ((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))
122	121	oveq1i 7453	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹)
123	102, 90	mulcli 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
124	123, 120, 57	mulassi 11347	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · (9↑𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) · 𝐹) = ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹))
125	120, 57	mulcli 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹) ∈ ℂ
126	102, 90, 125	mulassi 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · (9↑𝑁)) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
127	122, 124, 126	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹) = (3 · ((9↑𝑁) · (((2 · 𝑁) + 1) · 𝐹)))
128	99, 119, 127	3eqtr4i 2796	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹)
129	128	oveq2i 7454	. . . 4 ⊢ (2 · ((3↑7) · (5 · 7))) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
130	65	nncni 12372	. . . . . 6 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
131	130, 76	mulcli 11343	. . . . 5 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
132	131, 55	mulcomi 11344	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (2 · ((3↑7) · (5 · 7)))
133	30	nncni 12372	. . . . 5 ⊢ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ
134	133, 55, 57	mul12i 11532	. . . 4 ⊢ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹)) = (2 · (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · 𝐹))
135	129, 132, 134	3eqtr4i 2796	. . 3 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) = (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
136	71, 135	breqtri 5133	. 2 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 2) ≤ (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) · (2 · 𝐹))
137	1, 22, 7, 30, 32, 34, 54, 61, 136	log2ublem1 27304	1 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  5c5 12427  6c6 12428  7c7 12429  9c9 12431  ℕ₀cn0 12633  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  ↑cexp 14231  Σcsu 15882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883

This theorem is used by:  log2ublem3  27306