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Theorem faclbnd4lem1 13284
Description: Lemma for faclbnd4 13288. Prepare the induction step. (Contributed by NM, 20-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
faclbnd4lem1.1 𝑁 ∈ ℕ
faclbnd4lem1.2 𝐾 ∈ ℕ0
faclbnd4lem1.3 𝑀 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem1 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd4lem1
StepHypRef Expression
1 faclbnd4lem1.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
21nnrei 11284 . . 3 𝑁 ∈ ℝ
3 1re 10293 . . 3 1 ∈ ℝ
4 lelttric 10398 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑁))
52, 3, 4mp2an 683 . 2 (𝑁 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑁)
6 nnge1 11303 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝑁
82, 3letri3i 10407 . . . . . 6 (𝑁 = 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑁))
97, 8mpbiran2 701 . . . . 5 (𝑁 = 1 ↔ 𝑁 ≤ 1)
10 0le1 10805 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
113, 10pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
12 2re 11346 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
13 faclbnd4lem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ ℕ0
14 1nn 11287 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
15 nn0nnaddcl 11571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
1613, 14, 15mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 + 1) ∈ ℕ
1716nnnn0i 11547 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 + 1) ∈ ℕ0
18 2nn0 11557 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
1917, 18nn0expcli 13093 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℕ0
20 reexpcl 13084 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℕ0) → (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ)
2112, 19, 20mp2an 683 . . . . . . . . 9 (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ
2211, 21pm3.2i 462 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ)
23 faclbnd4lem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11550 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ ℝ
2523nn0ge0i 11567 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 𝑀
2624, 25pm3.2i 462 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀)
27 nn0nnaddcl 11571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ ℕ)
2823, 16, 27mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ ℕ
2928nnnn0i 11547 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ ℕ0
3023, 29nn0expcli 13093 . . . . . . . . . 10 (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℕ0
3130nn0rei 11550 . . . . . . . . 9 (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ
3226, 31pm3.2i 462 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ)
3322, 32pm3.2i 462 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ))
34 2cn 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
35 exp0 13071 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
37 1le2 11487 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 2
38 nn0uz 11922 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
3919, 38eleqtri 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘0)
40 leexp2a 13123 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘0)) → (2↑0) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)))
4112, 37, 39, 40mp3an 1585 . . . . . . . . 9 (2↑0) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
4236, 41eqbrtrri 4832 . . . . . . . 8 1 ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
43 elnn0 11540 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
44 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4544exp1d 13210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) = 𝑀)
46 nnge1 11303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
47 nnuz 11923 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
4828, 47eleqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ (ℤ‘1)
49 leexp2a 13123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑀 ∧ (𝑀 + (𝐾 + 1)) ∈ (ℤ‘1)) → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5024, 48, 49mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≤ 𝑀 → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5146, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5245, 51eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5330nn0ge0i 11567 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
54 breq1 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ↔ 0 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))))
5553, 54mpbiri 249 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5652, 55jaoi 883 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5743, 56sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
5823, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
5942, 58pm3.2i 462 . . . . . . 7 (1 ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
60 lemul12a 11135 . . . . . . 7 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) → (1 · 𝑀) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))))
6133, 59, 60mp2 9 . . . . . 6 (1 · 𝑀) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
62 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = (1↑(𝐾 + 1)))
6316nnzi 11648 . . . . . . . . . 10 (𝐾 + 1) ∈ ℤ
64 1exp 13096 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝐾 + 1)) = 1)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1↑(𝐾 + 1)) = 1
6662, 65syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = 1)
67 oveq2 6850 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑀𝑁) = (𝑀↑1))
6823nn0cni 11551 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ ℂ
69 exp1 13073 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑1) = 𝑀)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑀↑1) = 𝑀
7167, 70syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑀𝑁) = 𝑀)
7266, 71oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = (1 · 𝑀))
73 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
74 fac1 13268 . . . . . . . . . 10 (!‘1) = 1
7573, 74syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
7675oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · 1))
7721recni 10308 . . . . . . . . . 10 (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℂ
7830nn0cni 11551 . . . . . . . . . 10 (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) ∈ ℂ
7977, 78mulcli 10301 . . . . . . . . 9 ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ
8079mulid1i 10298 . . . . . . . 8 (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · 1) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
8176, 80syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))))
8272, 81breq12d 4822 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) ↔ (1 · 𝑀) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))))
8361, 82mpbiri 249 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
849, 83sylbir 226 . . . 4 (𝑁 ≤ 1 → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
8584adantr 472 . . 3 ((𝑁 ≤ 1 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
86 reexpcl 13084 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
872, 17, 86mp2an 683 . . . . . . 7 (𝑁↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ
881nnnn0i 11547 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ0
89 reexpcl 13084 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
9024, 88, 89mp2an 683 . . . . . . 7 (𝑀𝑁) ∈ ℝ
9187, 90remulcli 10310 . . . . . 6 ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ∈ ℝ)
9313, 18nn0expcli 13093 . . . . . . . . 9 (𝐾↑2) ∈ ℕ0
94 reexpcl 13084 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℝ)
9512, 93, 94mp2an 683 . . . . . . . 8 (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℝ
9618, 13nn0expcli 13093 . . . . . . . . 9 (2↑𝐾) ∈ ℕ0
9796nn0rei 11550 . . . . . . . 8 (2↑𝐾) ∈ ℝ
9895, 97remulcli 10310 . . . . . . 7 ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℝ
99 faccl 13274 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10088, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘𝑁) ∈ ℕ
101100nnnn0i 11547 . . . . . . . . 9 (!‘𝑁) ∈ ℕ0
10230, 101nn0mulcli 11578 . . . . . . . 8 ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ0
103102nn0rei 11550 . . . . . . 7 ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ
10498, 103remulcli 10310 . . . . . 6 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
10621, 103remulcli 10310 . . . . . 6 ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ
107106a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
1081nncni 11285 . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℂ
109 expp1 13074 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝐾 + 1)) = ((𝑁𝐾) · 𝑁))
110108, 13, 109mp2an 683 . . . . . . . 8 (𝑁↑(𝐾 + 1)) = ((𝑁𝐾) · 𝑁)
111 expm1t 13095 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁) = ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
11268, 1, 111mp2an 683 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁) = ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)
113110, 112oveq12i 6854 . . . . . . 7 ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = (((𝑁𝐾) · 𝑁) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
114 reexpcl 13084 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
1152, 13, 114mp2an 683 . . . . . . . . 9 (𝑁𝐾) ∈ ℝ
116115recni 10308 . . . . . . . 8 (𝑁𝐾) ∈ ℂ
117 elnnnn0 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
1181, 117mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
119118simpri 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − 1) ∈ ℕ0
12023, 119nn0expcli 13093 . . . . . . . . . 10 (𝑀↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0
121120, 23nn0mulcli 11578 . . . . . . . . 9 ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀) ∈ ℕ0
122121nn0cni 11551 . . . . . . . 8 ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀) ∈ ℂ
123116, 108, 122mulassi 10305 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) · 𝑁) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) = ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
124113, 123eqtri 2787 . . . . . 6 ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) = ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
12588, 121nn0mulcli 11578 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℕ0
126125nn0rei 11550 . . . . . . . . . 10 (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ
127115, 126remulcli 10310 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ∈ ℝ
128127a1i 11 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ∈ ℝ)
129119nn0rei 11550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) ∈ ℝ
130 reexpcl 13084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1)↑𝐾) ∈ ℝ)
131129, 13, 130mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1)↑𝐾) ∈ ℝ
132120nn0rei 11550 . . . . . . . . . . 11 (𝑀↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ
133131, 132remulcli 10310 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ
13496, 88nn0mulcli 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐾) · 𝑁) ∈ ℕ0
135134, 23nn0mulcli 11578 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℕ0
136135nn0rei 11550 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ
137133, 136remulcli 10310 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ
138137a1i 11 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ)
13923, 13nn0addcli 11577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0
140 reexpcl 13084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℝ)
14124, 139, 140mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℝ
14295, 141remulcli 10310 . . . . . . . . . . 11 ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ
143 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
144119, 143ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ
145144nnrei 11284 . . . . . . . . . . 11 (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ
146142, 145remulcli 10310 . . . . . . . . . 10 (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ∈ ℝ
147146, 136remulcli 10310 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ
148147a1i 11 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ∈ ℝ)
14997, 131remulcli 10310 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) ∈ ℝ
150125nn0ge0i 11567 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
151126, 150pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
152115, 149, 1513pm3.2i 1438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))))
153 nnltp1le 11680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
15414, 1, 153mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
155 df-2 11335 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
156155breq1i 4816 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
157154, 156bitr4i 269 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
158 expubnd 13128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)))
1592, 13, 158mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . 12 (2 ≤ 𝑁 → (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)))
160157, 159sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (1 < 𝑁 → (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)))
161 lemul1a 11131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))) ∧ (𝑁𝐾) ≤ ((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))))
162152, 160, 161sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (1 < 𝑁 → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))))
16396nn0cni 11551 . . . . . . . . . . . 12 (2↑𝐾) ∈ ℂ
164131recni 10308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1)↑𝐾) ∈ ℂ
165163, 164, 108, 122mul4i 10487 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) = (((2↑𝐾) · 𝑁) · (((𝑁 − 1)↑𝐾) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
166120nn0cni 11551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ
167164, 166, 68mulassi 10305 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · 𝑀) = (((𝑁 − 1)↑𝐾) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))
168167oveq2i 6853 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · 𝑁) · ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · 𝑀)) = (((2↑𝐾) · 𝑁) · (((𝑁 − 1)↑𝐾) · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀)))
169134nn0cni 11551 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝐾) · 𝑁) ∈ ℂ
170133recni 10308 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ
171169, 170, 68mul12i 10485 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐾) · 𝑁) · ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · 𝑀)) = ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))
172165, 168, 1713eqtr2i 2793 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐾) · ((𝑁 − 1)↑𝐾)) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) = ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))
173162, 172syl6breq 4850 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑁 → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
174173adantr 472 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
175135nn0ge0i 11567 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)
176136, 175pm3.2i 462 . . . . . . . . . . 11 ((((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))
177133, 146, 1763pm3.2i 1438 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ ((((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
178 lemul1a 11131 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) ∈ ℝ ∧ ((((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀))) ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
179177, 178mpan 681 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
180179adantl 473 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
181128, 138, 148, 174, 180letrd 10448 . . . . . . 7 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)))
182163, 108, 68mul32i 10486 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀) = (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁)
183182oveq2i 6853 . . . . . . . 8 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁))
184 expp1 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑀 + 𝐾) + 1)) = ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀))
18568, 139, 184mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀↑((𝑀 + 𝐾) + 1)) = ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀)
18613nn0cni 11551 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ ℂ
187 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
18868, 186, 187addassi 10304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 + 𝐾) + 1) = (𝑀 + (𝐾 + 1))
189188oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀↑((𝑀 + 𝐾) + 1)) = (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
190185, 189eqtr3i 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀) = (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))
191190oveq2i 6853 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))))
19295recni 10308 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℂ
193141recni 10308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℂ
194192, 163, 193, 68mul4i 10487 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) · 𝑀)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀))
195191, 194eqtr3i 2789 . . . . . . . . . 10 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) = (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀))
196 facnn2 13273 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
1971, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁)
198195, 197oveq12i 6854 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀)) · ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
199142recni 10308 . . . . . . . . . 10 ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ
200144nncni 11285 . . . . . . . . . 10 (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ
201163, 68mulcli 10301 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝐾) · 𝑀) ∈ ℂ
202199, 200, 201, 108mul4i 10487 . . . . . . . . 9 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · ((2↑𝐾) · 𝑀)) · ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
203198, 202eqtr4i 2790 . . . . . . . 8 ((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑀) · 𝑁))
20498recni 10308 . . . . . . . . 9 ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℂ
205100nncni 11285 . . . . . . . . 9 (!‘𝑁) ∈ ℂ
206204, 78, 205mulassi 10305 . . . . . . . 8 ((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
207183, 203, 2063eqtr2i 2793 . . . . . . 7 ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) · (((2↑𝐾) · 𝑁) · 𝑀)) = (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
208181, 207syl6breq 4850 . . . . . 6 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁𝐾) · (𝑁 · ((𝑀↑(𝑁 − 1)) · 𝑀))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
209124, 208syl5eqbr 4844 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
210102nn0ge0i 11567 . . . . . . . . 9 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))
211103, 210pm3.2i 462 . . . . . . . 8 (((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
21298, 21, 2113pm3.2i 1438 . . . . . . 7 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
213 expadd 13109 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) = ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)))
21434, 93, 13, 213mp3an 1585 . . . . . . . 8 (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) = ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾))
21519nn0zi 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℤ
21613nn0rei 11550 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ ℝ
21716nnrei 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 + 1) ∈ ℝ
21817nn0ge0i 11567 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (𝐾 + 1)
219217, 218pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 + 1))
220216, 217, 2193pm3.2i 1438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 + 1)))
221216ltp1i 11181 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 < (𝐾 + 1)
222216, 217, 221ltleii 10414 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)
223 lemul1a 11131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 + 1))) ∧ 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 · (𝐾 + 1)) ≤ ((𝐾 + 1) · (𝐾 + 1)))
224220, 222, 223mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · (𝐾 + 1)) ≤ ((𝐾 + 1) · (𝐾 + 1))
225186sqvali 13150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾)
226186mulid1i 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 · 1) = 𝐾
227226eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐾 · 1)
228225, 227oveq12i 6854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾↑2) + 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (𝐾 · 1))
229186, 186, 187adddii 10306 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 · (𝐾 + 1)) = ((𝐾 · 𝐾) + (𝐾 · 1))
230228, 229eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) + 𝐾) = (𝐾 · (𝐾 + 1))
23116nncni 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 + 1) ∈ ℂ
232231sqvali 13150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 + 1)↑2) = ((𝐾 + 1) · (𝐾 + 1))
233224, 230, 2323brtr4i 4839 . . . . . . . . . 10 ((𝐾↑2) + 𝐾) ≤ ((𝐾 + 1)↑2)
23493, 13nn0addcli 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾↑2) + 𝐾) ∈ ℕ0
235234nn0zi 11649 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) + 𝐾) ∈ ℤ
236235eluz1i 11894 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘((𝐾↑2) + 𝐾)) ↔ (((𝐾 + 1)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑2) + 𝐾) ≤ ((𝐾 + 1)↑2)))
237215, 233, 236mpbir2an 702 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘((𝐾↑2) + 𝐾))
238 leexp2a 13123 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝐾 + 1)↑2) ∈ (ℤ‘((𝐾↑2) + 𝐾))) → (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2)))
23912, 37, 237, 238mp3an 1585 . . . . . . . 8 (2↑((𝐾↑2) + 𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
240214, 239eqbrtrri 4832 . . . . . . 7 ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))
241 lemul1a 11131 . . . . . . 7 (((((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2↑((𝐾 + 1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))) ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) ≤ (2↑((𝐾 + 1)↑2))) → (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
242212, 240, 241mp2an 683 . . . . . 6 (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
243242a1i 11 . . . . 5 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → (((2↑(𝐾↑2)) · (2↑𝐾)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
24492, 105, 107, 209, 243letrd 10448 . . . 4 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁))))
24577, 78, 205mulassi 10305 . . . 4 (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)) = ((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · ((𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1))) · (!‘𝑁)))
246244, 245syl6breqr 4851 . . 3 ((1 < 𝑁 ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
24785, 246jaoian 979 . 2 (((𝑁 ≤ 1 ∨ 1 < 𝑁) ∧ (((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
2485, 247mpan 681 1 ((((𝑁 − 1)↑𝐾) · (𝑀↑(𝑁 − 1))) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 1))) → ((𝑁↑(𝐾 + 1)) · (𝑀𝑁)) ≤ (((2↑((𝐾 + 1)↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + (𝐾 + 1)))) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  cexp 13067  !cfa 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem2  13285
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