Theorem dec5nprm 16582

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11868	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 11820	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ
4		peano2nn 11807	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ
6		5nn 11881	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
7		1nn0 12071	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		1lt2 11966	. . 3 ⊢ 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 12295	. 2 ⊢ 1 < ((2 · 𝐴) + 1)
10		1lt5 11975	. 2 ⊢ 1 < 5
11	1	nncni 11805	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	2	nncni 11805	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13		5cn 11883	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
14	11, 12, 13	mul32i 10993	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = ((2 · 5) · 𝐴)
15		5t2e10 12358	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	13, 11, 15	mulcomli 10807	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	16	oveq1i 7201	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	14, 17	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = (;10 · 𝐴)
19	13	mulid2i 10803	. . . 4 ⊢ (1 · 5) = 5
20	18, 19	oveq12i 7203	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5)) = ((;10 · 𝐴) + 5)
21	3	nncni 11805	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
22		ax-1cn 10752	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	21, 22, 13	adddiri 10811	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5))
24		dfdec10 12261	. . 3 ⊢ ;𝐴5 = ((;10 · 𝐴) + 5)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = ;𝐴5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 16209	1 ⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699  ℕcn 11795  2c2 11850  5c5 11853  ;cdc 12258  ℙcprime 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-dvds 15779  df-prm 16192

This theorem is referenced by: (None)