MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5nprm 16767
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dec5nprm.1 𝐴 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
dec5nprm ¬ 𝐴5 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec5nprm
StepHypRef Expression
1 2nn 12046 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 dec5nprm.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 11998 . . 3 (2 · 𝐴) ∈ ℕ
4 peano2nn 11985 . . 3 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ)
53, 4ax-mp 5 . 2 ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ
6 5nn 12059 . 2 5 ∈ ℕ
7 1nn0 12249 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 1lt2 12144 . . 3 1 < 2
91, 2, 7, 7, 8numlti 12474 . 2 1 < ((2 · 𝐴) + 1)
10 1lt5 12153 . 2 1 < 5
111nncni 11983 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
122nncni 11983 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
13 5cn 12061 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
1411, 12, 13mul32i 11171 . . . . 5 ((2 · 𝐴) · 5) = ((2 · 5) · 𝐴)
15 5t2e10 12537 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
1613, 11, 15mulcomli 10984 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
1716oveq1i 7285 . . . . 5 ((2 · 5) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
1814, 17eqtri 2766 . . . 4 ((2 · 𝐴) · 5) = (10 · 𝐴)
1913mulid2i 10980 . . . 4 (1 · 5) = 5
2018, 19oveq12i 7287 . . 3 (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5)) = ((10 · 𝐴) + 5)
213nncni 11983 . . . 4 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
22 ax-1cn 10929 . . . 4 1 ∈ ℂ
2321, 22, 13adddiri 10988 . . 3 (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5))
24 dfdec10 12440 . . 3 𝐴5 = ((10 · 𝐴) + 5)
2520, 23, 243eqtr4i 2776 . 2 (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = 𝐴5
265, 6, 9, 10, 25nprmi 16394 1 ¬ 𝐴5 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2106  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cn 11973  2c2 12028  5c5 12031  cdc 12437  cprime 16376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator