MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5nprm 16396
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dec5nprm.1 𝐴 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
dec5nprm ¬ 𝐴5 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec5nprm
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 dec5nprm.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ
31, 2nnmulcli 11654 . . 3 (2 · 𝐴) ∈ ℕ
4 peano2nn 11641 . . 3 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ)
53, 4ax-mp 5 . 2 ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ
6 5nn 11715 . 2 5 ∈ ℕ
7 1nn0 11905 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 1lt2 11800 . . 3 1 < 2
91, 2, 7, 7, 8numlti 12127 . 2 1 < ((2 · 𝐴) + 1)
10 1lt5 11809 . 2 1 < 5
111nncni 11639 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
122nncni 11639 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
13 5cn 11717 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
1411, 12, 13mul32i 10829 . . . . 5 ((2 · 𝐴) · 5) = ((2 · 5) · 𝐴)
15 5t2e10 12190 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
1613, 11, 15mulcomli 10643 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
1716oveq1i 7149 . . . . 5 ((2 · 5) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
1814, 17eqtri 2824 . . . 4 ((2 · 𝐴) · 5) = (10 · 𝐴)
1913mulid2i 10639 . . . 4 (1 · 5) = 5
2018, 19oveq12i 7151 . . 3 (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5)) = ((10 · 𝐴) + 5)
213nncni 11639 . . . 4 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
22 ax-1cn 10588 . . . 4 1 ∈ ℂ
2321, 22, 13adddiri 10647 . . 3 (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5))
24 dfdec10 12093 . . 3 𝐴5 = ((10 · 𝐴) + 5)
2520, 23, 243eqtr4i 2834 . 2 (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = 𝐴5
265, 6, 9, 10, 25nprmi 16027 1 ¬ 𝐴5 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2112  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cn 11629  2c2 11684  5c5 11687  cdc 12090  cprime 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-prm 16010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator