Theorem dec5nprm 17151

Description: A decimal number greater than 10 and ending with five is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
dec5nprm	⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec5nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12332	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 12276	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ
4		peano2nn 12263	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℕ
6		5nn 12345	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
7		1nn0 12538	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		1lt2 12431	. . 3 ⊢ 1 < 2
9	1, 2, 7, 7, 8	numlti 12771	. 2 ⊢ 1 < ((2 · 𝐴) + 1)
10		1lt5 12441	. 2 ⊢ 1 < 5
11	1	nncni 12261	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	2	nncni 12261	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13		5cn 12347	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
14	11, 12, 13	mul32i 11424	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = ((2 · 5) · 𝐴)
15		5t2e10 12834	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
16	13, 11, 15	mulcomli 11236	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
17	16	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	14, 17	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ((2 · 𝐴) · 5) = (;10 · 𝐴)
19	13	mullidi 11232	. . . 4 ⊢ (1 · 5) = 5
20	18, 19	oveq12i 7435	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5)) = ((;10 · 𝐴) + 5)
21	3	nncni 12261	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
22		ax-1cn 11176	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23	21, 22, 13	adddiri 11240	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = (((2 · 𝐴) · 5) + (1 · 5))
24		dfdec10 12732	. . 3 ⊢ ;𝐴5 = ((;10 · 𝐴) + 5)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2799	. 2 ⊢ (((2 · 𝐴) + 1) · 5) = ;𝐴5
26	5, 6, 9, 10, 25	nprmi 16772	1 ⊢ ¬ ;𝐴5 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕcn 12251  2c2 12313  5c5 12316  ;cdc 12729  ℙcprime 16754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-prm 16755

This theorem is used by: (None)