MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul12i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul12i 11357
Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by NM, 11-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
mul.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
mul.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
mul12i (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))

Proof of Theorem mul12i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 mul.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‚
3 mul.3 . 2 ๐ถ โˆˆ โ„‚
4 mul12 11327 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 1 (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  decmul10add  12694  faclbnd4lem1  14200  bpoly3  15948  decsplit  16962  root1eq1  26124  cxpeq  26126  1cubrlem  26207  efiatan2  26283  2efiatan  26284  tanatan  26285  log2ublem2  26313  log2ublem3  26314  bposlem8  26655  ax5seglem7  27926  ip1ilem  29810  ipasslem10  29823  polid2i  30141  3exp4mod41  45882
  Copyright terms: Public domain W3C validator