MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul12i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul12i 11405
Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by NM, 11-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
mul.2 ๐ต โˆˆ โ„‚
mul.3 ๐ถ โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
mul12i (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))

Proof of Theorem mul12i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 mul.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‚
3 mul.3 . 2 ๐ถ โˆˆ โ„‚
4 mul12 11375 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4mp3an 1461 1 (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104   ยท cmul 11111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-mulcom 11170  ax-mulass 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7408
This theorem is referenced by:  decmul10add  12742  faclbnd4lem1  14249  bpoly3  15998  decsplit  17012  root1eq1  26252  cxpeq  26254  1cubrlem  26335  efiatan2  26411  2efiatan  26412  tanatan  26413  log2ublem2  26441  log2ublem3  26442  bposlem8  26783  ax5seglem7  28182  ip1ilem  30066  ipasslem10  30079  polid2i  30397  3exp4mod41  46270
  Copyright terms: Public domain W3C validator