Theorem mul12i 11512

Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by NM, 11-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
mul.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul12i	⊢ (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem mul12i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		mul.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		mul12 11482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	1 ⊢ (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   · cmul 11212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-mulcom 11271  ax-mulass 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  decmul10add  12895  faclbnd4lem1  14444  bpoly3  16233  decsplit  17269  root1eq1  27092  cxpeq  27094  1cubrlem  27178  efiatan2  27254  2efiatan  27255  tanatan  27256  log2ublem2  27284  log2ublem3  27285  bposlem8  27627  ax5seglem7  29522  ip1ilem  31437  ipasslem10  31450  polid2i  31768  3exp4mod41  48837